抛物线及其标准方程教案理科

1、抛物线及其标准方程教案（理科）适用学科高中数学适用年级高中二年级适用区域通用课时时长（分钟）60知识点抛物线的定义、抛物线的标准方程及相关运算教学目标1理解抛物线定义及其限制条件；理解抛物线标准方程的推导；理解抛物线标准方程中p的意义；2掌握抛物线定义；掌握求抛物线标准方程的方法；3培养应用代数知识进行代数式的同解变形能力和化简能力教学重点抛物线的定义、抛物线的标准方程、坐标化的基本思想教学难点抛物线标准方程的推导与化简，坐标法的应用教学过程一、课堂导入在初中，我们学习了二次函数，知道二次函数的图象是一条抛物线，例如：（1），（2）的图象（如下图）： 那么，什么样的曲线是抛物线，它具有怎样的几

2、何特征？它的方程是什么呢？这就是我们今天要研究的内容。二、复习预习我们知道，与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹，当0 e 1时是椭圆，当e1时是双曲线那么，当e1时它是什么曲线呢？把一根直尺固定在图板上直线l的位置(如下图)把一块三角尺的一条直角边紧靠着直尺的边缘，再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条直角边的一点A，取绳长等于点A到直角顶点C的长(即点A到直线l的距离)，并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F用铅笔尖扣着绳子，使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺，然后将三角尺沿着直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出了一条曲线从图中可以看出，这条曲线上任意一点P到F的距离与它到

3、直线l的距离相等把图板绕点F旋转90°，曲线就是初中见过的抛物线平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线三、知识讲解抛物线的标准方程及准线方程下面根据抛物线的定义，我们来求抛物线的方程如下图，建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F且垂直于直线l，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合 设，那么焦点F的坐标为，准线方程是.设点M(x，y)是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d由抛物线的定义，抛物线就是集合P= M|MF|=d .将上式两边平方并化简，得 方程叫做抛物线的标准方程它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是，

4、它的准线方程是.一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：,，这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程列表如下：图形标准方程焦点坐标准线方程对表格的说明：方便学生掌握（统观四种情况） （1）表示焦点F到准线的距离； （2）抛物线标准方程，左边为二次，右边为一次。若一次项是x，则对称轴为x轴，焦点在x轴上；若一次项是y，则对称轴为y轴，焦点在y轴上；（对称轴看一次项） （3）标准方程中一次项前面的系数为正数，则开口方向坐标轴正方向；若一次项前面的系数为负数，则开口方向为坐标轴负方向；（符号决定开口方向）四、例题精析例1 （1）已知抛物线的

5、标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程； （2）已知抛物线的焦点是，求它的标准方程.【规范解答】解：（1）因为，所以抛物线的焦点坐标为，准线方程为 （2）因为抛物线的焦点在y轴上，所以抛物线方程为【总结与反思】（1）先看清一次项，判定对称轴与焦点所在位置，画草图，再求出p的值得到焦点坐标和准线方程。（2）先判定出焦点在y轴上，从而得到一次项为y，再求出p的值进而写出方程.例2 指出抛物线的焦点坐标、准线方程（1） （2）【规范解答】解:（1），焦点坐标是（0，1），准线方程是：（2）原抛物线方程为：，当时，抛物线开口向右，焦点坐标是，准线方程是：当时，抛物线开口向左，焦点坐标是，准线方程是：综合

6、上述，当时，抛物线的焦点坐标为，准线方程是：【总结与反思】（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p，再写出焦点坐标和准线方程（2）先把方程化为标准方程形式，再对a进行讨论，确定是哪一种后，求p及焦点坐标与准线方程例3 若直线与抛物线交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，求此直线方程【规范解答】解法一：设、，则由：可得：直线与抛物线相交，且，则AB中点横坐标为：，解得：或（舍去）故所求直线方程为：解法二：设、，则有两式作差解：，即，故或（舍去）则所求直线方程为：【总结与反思】由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k的方程求解另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法”求

7、k 例4 求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切【规范解答】证明： （如下图） 作于于M为AB中点，作于，则由抛物线的定义可知：在直角梯形中：，故以AB为直径的圆，必与抛物线的准线相切【反思与总结】类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交可设抛物线方程为只须证明，则以AB为直径的圆，必与抛物线准线相切五、课堂运用【基础】1、 ( 如图 )过抛物线的焦点作弦，为准线，过、作的垂线，垂足分别为、，则为（），为（）A大于等于B小于等于C等于D. 不确定【答案】C、B【规范解答】解：点在抛物线上，由抛物线定义，则，又轴，同理，而，选C过中

8、点作，垂中为，则以为直径的圆与直线相切，切点为又在圆的外部，特别地，当轴时，与重合，即，选B2、 已知点，为抛物线的焦点，点在该抛物线上移动，当取最小值时，点的坐标为_【答案】【规范解答】解：如图，由定义知，故取等号时，、三点共线，点纵坐标为2，代入方程，求出其横坐标为2，所以点坐标为3、已知定直线l及定点A（A不在l上），n为过A且垂直于l的直线，设N为l上任一点，AN的垂直平分线交n于B，点B关于AN的对称点为P，求证P的轨迹为抛物线【规范解答】证明：如图所示，连结PA、PN、NB由已知条件可知：PB垂直平分NA，且B关于AN的对称点为PAN也垂直平分PB则四边形PABN为菱形即有则P点符

9、合抛物线上点的条件：到定点A的距离与到定直线的距离相等，所以P点的轨迹为抛物线4、 若线段为抛物线的一条焦点弦，F为C的焦点，求证：【规范解答】证明一：，若过F的直线即线段所在直线斜率不存在时，则有,若线段所在直线斜率存在时，设为k，则此直线为：，且设由得： 根据抛物线定义有：则请将代入并化简得：证明二：如图所示，设、F点在C的准线l上的射影分别是、，且不妨设，又设点在、上的射影分别是A、B点，由抛物线定义知，又，即故原命题成立【巩固】1、设抛物线方程为，过焦点F的弦AB的倾斜角为，求证：焦点弦长为【规范解答】证明一：抛物线的焦点为，过焦点的弦AB所在的直线方程为：由方程组消去y得：设，则又即

10、证明二：如图所示，分别作、垂直于准线l由抛物线定义有：于是可得出：故原命题成立2、定长为3的线段的端点、在抛物线上移动，求的中点到轴的距离的最小值，并求出此时中点的坐标【规范解答】解：如图，设是的焦点，、两点到准线的垂线分别是、，又到准线的垂线为，、和是垂足，则设点的横坐标为，纵坐标为，则等式成立的条件是过点当时，故，所以，此时到轴的距离的最小值为【拔高】1、过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于、两点，求的最小值【规范解答】解：( 1 )若，此时( 2 )若，因有两交点，所以，即代入抛物线方程，有故，故所以因，所以这里不能取“=”综合( 1 )( 2 )，当时，2、已知圆锥曲线C经过定点，它的一个焦点为F（1，0），对应于该焦点的准线为，过焦点F任意作曲线C的弦AB，若弦AB的长度不超过8，且直线AB与椭圆相交于不同的两点，求：（1）AB的倾斜角的取值范围（2）设直线AB与椭圆相交于C、D两点，求CD中点M的轨迹方程【规范解答】解：（1）由已知得故P到的距离，从而曲线C是抛物线，其方程为设直线AB的斜率为k，若k不存在，则直线AB与无交点k存在设AB的方程为，由可得：设A、B坐标分别为、，则：弦AB的长度不超