202X届高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数2.6函数与方程课件理

1、 2.6 函数与方程高考理数高考理数 (课标专用)考点一函数零点个数及所在区间的判断考点一函数零点个数及所在区间的判断1.(2017课标,11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=()A.-B.C.D.1121312五年高考A A组组 统一命题统一命题课标卷题组课标卷题组答案答案C由函数f(x)有零点得x2-2x+a(ex-1+e-x+1)=0有解,即(x-1)2-1+a(ex-1+e-x+1)=0有解,令t=x-1,则上式可化为t2-1+a(et+e-t)=0,即a=.令h(t)=,易得h(t)为偶函数,又由f(x)有唯一零点得函数h(t)的图象与

2、直线y=a有唯一交点,则此交点的横坐标为0,所以a=,故选C.21eettt21eettt1 02122.(2018课标,15,5分)函数f(x)=cos在0,的零点个数为.36x答案答案3解析解析本题考查函数与方程.令f(x)=0,得cos=0,解得x=+(kZ).当k=0时,x=;当k=1时,x=;当k=2时,x=,又x0,所以满足要求的零点有3个.36x3k9949793.(2019课标,20,12分)已知函数f(x)=lnx-.(1)讨论f(x)的单调性,并证明f(x)有且仅有两个零点;(2)设x0是f(x)的一个零点,证明曲线y=lnx在点A(x0,lnx0)处的切线也是曲线y=ex

3、的切线.11xx解析解析本题考查利用导数判断函数的单调性,求函数零点以及导数的几何意义.考查学生分析、解决问题的能力,考查逻辑推理能力和运算求解能力,体现了逻辑推理和数学运算的核心素养.(1)f(x)的定义域为(0,1)(1,+).因为f(x)=+0,所以f(x)在(0,1),(1,+)单调递增.因为f(e)=1-0,所以f(x)在(1,+)有唯一零点x1,即f(x1)=0.又01,f=-lnx1+=-f(x1)=0,故f(x)在(0,1)有唯一零点.综上,f(x)有且仅有两个零点.1x22(1)xe 1e 122e1e122e3e111x11x1111xx11x(2)因为=,故点B在曲线y=

4、ex上.由题设知f(x0)=0,即lnx0=,故直线AB的斜率k=.曲线y=ex在点B处切线的斜率是,曲线y=lnx在点A(x0,lnx0)处切线的斜率也是,所以曲线y=lnx在点A(x0,lnx0)处的切线也是曲线y=ex的切线.解后反思(1)先判断函数的单调性,然后结合零点存在性定理证明函数f(x)有且仅有两个零点.(2)要证明曲线y=lnx在点A(x0,lnx0)处的切线也是曲线y=ex的切线,首先求得这条切线的斜率k=,所以必须在曲线y=ex上找一点B(x1,),使=,从而求得B点的坐标为,然后证明曲线y=lnx在点A(x0,lnx0)处切线的斜率等于曲线y=ex在点B处的切线斜率即可

5、.01x0lnex001ln,xx0011xx00001lnlnxxxx00000011111xxxxxx01x001ln,xx01x01x01x1ex1ex01x001ln,xx001ln,xx考点二由函数零点求参数的取值范围考点二由函数零点求参数的取值范围(2018课标,9,5分)已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是()A.-1,0)B.0,+)C.-1,+)D.1,+)e ,0,ln ,0,xxx x答案答案C本题主要考查函数的零点及函数的图象.g(x)=f(x)+x+a存在2个零点等价于函数f(x)=与h(x)=-x-a的图象存在2个交

6、点,如图,当x=0时,h(0)=-a,由图可知要满足y=f(x)与y=h(x)的图象存在2个交点,需要-a1,即a-1.故选C.方法总结方法总结已知函数零点的个数求参数范围的方法已知函数零点的个数求参数范围,常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点个数问题,需准确画出两个函数的图象,利用图象写出满足条件的参数范围.e ,0,ln ,0 xxx xB B组组 自主命题自主命题省省( (区、市区、市) )卷题组卷题组考点一函数零点个数及所在区间的判断考点一函数零点个数及所在区间的判断(2017江苏,14,5分)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间0,1)上,f(x)=其中集合D=,

7、则方程f(x)-lgx=0的解的个数是.2,xxDx xD*n1,Nnx xn答案答案8解析解析解法一:由于f(x)0,1),故只需考虑1x10的情况,在此范围内,xQ且x Z时,设x=,p,qN*,p2且p,q互质,若lgxQ,则由lgx0,1),可设lgx=,m,nN*,m2且m,n互质,因此1=,则10n=,此时等号左边为整数,等号右边为非整数,矛盾.因此lgx Q,因此lgx不可能与每个周期内xD对应的部分相等,只需考虑lgx与每个周期内x D对应的部分的交点.画出函数草图,图中交点除(1,0)外,其他交点的横坐标均为无理数,且x=1处(lgx)=1,则在x=1附近仅有一个交点,因此方

8、程解的个数为8.qpnm0nmqpmqp1ln10 x1ln10解法二:先证明结论:1k-,其中p,qN*且p,q互质,k,nN*.假设1=k-,则10q=.左边是整数,而右边不是整数,矛盾.则1k-,则原方程即f(x)-lg(x+k)=0,其中kN*,x0,1),该方程即k=10f(x)-x.当xD时,该方程有唯一解x=0,此时k=1,由于函数y=10 x-x在(0,1)上单调递增,因此,当x D时,k=2,3,4,5,6,7,8均满足该方程有唯一解.综上所述,方程的解的个数为8.0qp1n0qp1n1pnkn0qp1n考点二由函数零点求参数的取值范围考点二由函数零点求参数的取值范围1.(2

9、019浙江,9,4分)设a,bR,函数f(x)=若函数y=f(x)-ax-b恰有3个零点,则()A.a-1,b0B.a0C.a-1,b-1,b0答案答案C本题以分段函数为背景,考查含参数的三次函数的零点个数问题,通过对参数范围的讨论,考查学生的推理论证能力,以及数形结合思想,利用多变量的代数式的变形,考查学生的数学运算的核心素养,以及创新思维与创新意识.记g(x)=f(x)-ax-b,当x-1,当x0,a+1)时,g(x)0,函数g(x)单调递减,当x(a+1,+)时,g(x)0,函数g(x)单调递增,故g(x)有3个零点的条件为所以对照选项,应选C.0,11,(0)0,(1)0,baagg

10、a 30,11,1(1) .6baba 2.(2017山东,10,5分)已知当x0,1时,函数y=(mx-1)2的图象与y=+m的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是()A.(0,12,+)B.(0,13,+)C.(0,2,+)D.(0,3,+)x3232答案B当01时,在同一平面直角坐标系中作出函数y=(mx-1)2与y=+m的图象,如图.xx要满足题意,则(m-1)21+m,解得m3或m0(舍去),m3.综上,正实数m的取值范围为(0,13,+).方法总结方法总结已知函数有零点(方程有根或图象有交点)求参数的值或取值范围常用的方法:直接法:直接根据题设条件构建关于参数的方程或不等式

11、,再通过解方程或不等式确定参数的值或取值范围.分离参数法:先将参数分离,转化成求函数最值问题加以解决.数形结合法:在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解.3.(2019江苏,14,5分)设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数,f(x)的周期为4,g(x)的周期为2,且f(x)是奇函数.当x(0,2时,f(x)=,g(x)=其中k0.若在区间(0,9上,关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根,则k的取值范围是.21(1)x(2),01,1,12,2k xxx答案答案12,34解析解析本题考查函数的奇偶性、周期性、直线与圆的位置关系等知识,考查学生的逻辑推理能力和

12、运算求解能力,考查的核心素养为逻辑推理、直观想象和数学运算.根据函数f(x)的周期性及奇偶性作图,如图所示.由图知,当x(0,2时,g(x)与f(x)的图象在x轴上方有2个公共点,当x(2,4时,g(x)与f(x)的图象在x轴下方有1个公共点,由f(x)与g(x)的周期性知,当x(4,8时,g(x)与f(x)的图象有3个公共点,当x(8,9时,g(x)与f(x)的图象有2个公共点.当y=k(x+2)与y=(0 x2)的图象相切时,求得k=,当直线y=k(x+2)过(1,1)时,k=,k0,函数f(x)=若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解,则a的取值范围是.222,0,22 ,0.

13、xaxa xxaxa x答案答案(4,8)解析本题主要考查函数零点的应用.设g(x)=f(x)-ax=方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解即函数y=g(x)有两个零点,即y=g(x)的图象与x轴有2个交点,满足条件的y=g(x)的图象有以下两种情况:情况一:则4a8.22,0,2 ,0,xaxa xxaxa x212240,80,aaaa情况二:则不等式组无解.综上,满足条件的a的取值范围是(4,8).解题策略解题策略解决方程的根的问题时,通常转化为函数的零点问题,进而转化为函数图象的交点问题;解决函数图象的交点问题时,常用数形结合的方法,以“形”助“数”,直观简捷.212240,80,aa

14、aa5.(2018浙江,15,6分)已知R,函数f(x)=当=2时,不等式f(x)0的解集是.若函数f(x)恰有2个零点,则的取值范围是.24,43,.xxxxx答案答案(1,4);(1,3(4,+)解析解析本小题考查分段函数,解不等式组,函数的零点,分类讨论思想和数形结合思想.当=2时,不等式f(x)0等价于或即2x4或1x2,故当=2时,不等式f(x)4.两个零点为1,4,由图可知,此时13.综上,的取值范围为(1,3(4,+).思路分析思路分析(1)f(x)0,f(2)=3-log22=20,f(3)=2-log230,f(4)=-log24=-20,选项中包含f(x)零点的区间是(2,

15、4).64322.(2013重庆,6,5分)若ab0,f(b)0,由二次函数图象知f(x)的两个零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内.3.(2013天津,7,5分)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为()A.1B.2C.3D.4答案答案B易知函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数即为方程|log0.5x|=的根的个数,亦即函数y1=|log0.5x|与y2=的图象的交点个数.两个函数的图象如图所示,可知两个函数图象有两个交点,故选B.12x12x12x4.(2015安徽,15,5分)设x3+ax+b=0,其中a,b均为实数.下列条件中,使得该三次方程仅有一个实根

16、的是.(写出所有正确条件的编号)a=-3,b=-3;a=-3,b=2;a=-3,b2;a=0,b=2;a=1,b=2.答案答案解析解析设f(x)=x3+ax+b.当a=-3,b=-3时,f(x)=x3-3x-3,f(x)=3x2-3,令f(x)0,得x1或x-1;令f(x)0,得-1x2时,f(x)=x3-3x+b,易知f(x)的极大值为f(-1)=2+b0,极小值为f(1)=b-20,x-时,f(x)-,故方程f(x)=0有且仅有一个实根,故正确.当a=0,b=2时,f(x)=x3+2,显然方程f(x)=0有且仅有一个实根,故正确.当a=1,b=2时,f(x)=x3+x+2,f(x)=3x2

17、+10,则f(x)在(-,+)上为增函数,易知f(x)的值域为R,故f(x)=0有且仅有一个实根,故正确.综上,正确条件的编号有.考点二由函数零点求参数的取值范围考点二由函数零点求参数的取值范围1.(2015北京,14,5分)设函数f(x)=若a=1,则f(x)的最小值为;若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是.2,1,4()(2 ),1.xaxxa xa x答案答案-12,+)1,12解析解析当a=1时,f(x)=其大致图象如图所示:由图可知f(x)的最小值为-1.当a0时,显然函数f(x)无零点;当0a1时,易知f(x)在(-,1)上有一个零点,要使f(x)恰有2个零点,则当x1时,

18、f(x)有且只有一个零点,结合图象可知,2a1,即a,则a1,由二次函数的性质可知,当x1时,f(x)有2个零点,要使f(x)恰有2个零点,需要f(x)在(-,1)上无零点,则2-a0,即a2.综上可知,满足条件的a的取值范围是2,+).21,1,4(1)(2),1,xxxxx12121,122.(2015天津,8,5分)已知函数f(x)=函数g(x)=b-f(2-x),其中bR.若函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,则b的取值范围是()A.B.C.D.22 |,2,(2) ,2,xxxx7,47,470,47,24答案答案D由已知条件可得g(x)=函数y=f(x),y=g(x)的图象如图

19、所示:要使y=f(x)-g(x)恰有4个零点,只需y=f(x)与y=g(x)的图象恰有4个不同的交点,需满足在x0时有两个不同的解,即x2+x+2-b=0有两个不同的负根,则解得b2时有两个不同的解,即x2-5x+8-b=0有两个大于2的不同实根,令22 |2|,0,0.bx xbxx 22,yxybx14(2)0,20,bb 742(2) ,22yxybxh(x)=x2-5x+8-b,需即解得b2.综上所述,满足条件的b的取值范围是b2,故选D.(2)0,50,2hh 20,2580,4bb74743.(2015湖南,15,5分)已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有

20、两个零点,则a的取值范围是.32,.xxaxxa答案答案(-,0)(1,+)解析解析当a1时,f(x)的图象如图所示,bb当b(a2,a3时,函数g(x)=f(x)-b有两个零点,分别是x1=,x2=.综上,a(-,0)(1,+).3bb考点一函数零点个数及所在区间的判断考点一函数零点个数及所在区间的判断1.(2019山西临汾一模,6)函数f(x)=log8x-的一个零点所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)13x三年模拟A组 20172019年高考模拟考点基础题组答案答案Bf(1)=0-=-0,f(1)f(2)0,又知函数f(x)=log8x-在(0,+)上

21、为单调增函数,函数f(x)在(0,+)上只有一个零点,且零点所在的区间是(1,2),故选B.131316131613x2.(2018河南安阳一模,12)已知函数f(x)=(e为自然对数的底数),则函数F(x)=f(f(x)-f(x)-1的零点个数为()A.8B.6C.4D.3e ,0,|ln|,0 xxx x21e答案答案B令f(x)=t,则由F(x)=0得f(t)=t+1.作出y=f(x)的函数图象如图所示:设直线y=k1x+1与曲线y=ex相切,切点为(x0,y0),则解得x0=0,k1=1.21e00110e,e1,xxkk x设直线y=k2x+1与曲线y=lnx相切,切点为(x1,y1

22、),则解得x1=e2,k2=.直线y=t+1与f(t)的图象有4个交点,不妨设4个交点横坐标为t1,t2,t3,t4,且t1t2t3t4,由图象可知t10,t2=0,0t31,t4=e2.由f(x)的函数图象可知f(x)=t1无解,f(x)=t2有一个解,f(x)=t3有三个解,f(x)=t4有两个解.F(x)有6个零点.故选B.思路分析思路分析F(x)的零点个数即为F(x)=0的解的个数,换元,令f(x)=t,将方程化为关于t的方程,画函数图象,数形结合得关于t的方程的解的个数及解的范围,再由f(x)=t确定所求零点个数.212111,1ln,kxk xx 21e21e考点二由函数零点求参数

23、的取值范围考点二由函数零点求参数的取值范围(2019福建厦门一模,10)已知函数f(x)=g(x)=f(x)-ax+a,若g(x)恰有1个零点,则a的取值范围是()A.-1,01,+)B.(-,-10,1C.-1,1D.(-,-11,+)232,1,ln ,1,xxxx x答案答案A由g(x)=f(x)-ax+a=0得f(x)=a(x-1).f(1)=1-3+2=0,g(1)=f(1)-a+a=0,即x=1是g(x)的一个零点.若g(x)恰有1个零点,则当x1时,f(x)=a(x-1)没有实数根,即a=没有实根.当x1时,设h(x)=x-2,此时函数h(x)为增函数,h(x)1时,h(x)=,

24、h(x)=0,且h(1)1,即0h(x)1,作出函数h(x)的图象如图,要使a=没有实数根,则a1或-1a0.( )1f xx( )1f xx2321xxx(1)(2)1xxx( )1f xxln1xx 21(1)ln(1)xxxx( )1f xx综上,实数a的取值范围是-1,01,+),故选A.B B组组 2017201920172019年高考模拟年高考模拟专题综合题组专题综合题组时间时间:20分钟分值分钟分值:25分分选择题选择题(每题每题5分分,共共25分分)1.(2018河南安阳二模,12)设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),若f(x)在区间(0,+)上无零点,则实数a的取

25、值范围是()A.0,1B.-1,0C.0,2D.-1,1答案答案A令f(x)=0,可得ln(x+1)=-a(x2-x),令g(x)=ln(x+1),h(x)=-a(x2-x).f(x)在区间(0,+)上无零点,g(x)=ln(x+1)与h(x)=-a(x2-x)的图象在y轴右侧无交点.显然当a=0时符合题意;当a0时,作出g(x)=ln(x+1)与h(x)=-a(x2-x)的函数图象,如图2所示,若两函数图象在y轴右侧无交点,则h(0)g(0),即a1.综上,0a1.故选A.思路分析思路分析令g(x)=ln(x+1),h(x)=-a(x2-x),由题意得两函数图象在y轴右侧无交点,根据函数图象

26、得出a的范围.2.(2019湖南娄底二模,9)若x1是方程xex=1的解,x2是方程xlnx=1的解,则x1x2等于()A.1B.-1C.eD.1e答案答案A考虑到x1,x2是函数y=ex、函数y=lnx分别与函数y=的图象的公共点A,B的横坐标,而A,B两点关于直线y=x对称,因此x1x2=1.故选A.解题关键本题考查函数与方程的综合问题,正确转化是解题的关键,将方程xex=1的解、方程xlnx=1的解转化为函数y=ex、函数y=lnx分别与函数y=的图象的公共点A,B的横坐标来求解.1x111,xx221,xx1x3.(2019安徽宣城二模,11)已知a,b,c,d都是常数,ab,cd.若

27、f(x)=2019+(x-a)(x-b)的零点为c,d,则下列不等式正确的是()A.acdbB.abcd C.cdabD.cabd答案答案A根据题意,设g(x)=(x-a)(x-b),则f(x)=g(x)+2019,若g(x)=0,则x=a或x=b,即函数g(x)的图象与x轴的交点为(a,0)和(b,0).f(x)=2019+(x-a)(x-b)=0即g(x)=-2019,若f(x)=2019+(x-a)(x-b)的零点为c,d,则g(x)的图象与直线y=-2019的交点坐标为(c,-2019)和(d,-2019),由图象知acdb,故选A.解后反思解后反思本题考查函数与方程的综合应用,涉及函

28、数零点的定义,注意结合二次函数的性质进行分析.4.(2019湖北孝感一模,12)已知函数f(x)=|x2-2x-1|-t有四个不同的零点x1,x2,x3,x4,且x1x2x3x4,则2(x4-x1)+(x3-x2)的取值范围是()A.(8,4B.(8,6C.(6,4D.(6,4)522525答案答案A由f(x)=|x2-2x-1|-t=0得|x2-2x-1|=t,作出y=|x2-2x-1|的图象如图,要使f(x)有四个不同的零点,则0t2,同时x1,x4是方程x2-2x-1-t=0的两个根,x2,x3是方程x2-2x-1+t=0的两个根,则x1x4=-1-t,x1+x4=2,x2x3=-1+t

29、,x2+x3=2,则x4-x1=2,24114()4xxx x84t2tx3-x2=2,则2(x4-x1)+(x3-x2)=4+2.设h(t)=4+2(0t0得-0,得,平方得得8-4t2+t,得5t6,所以0t,此时h(t)为增函数,由h(t)0得t2,此时h(t)为减函数,故当t=时,h(t)取得极大值h=4+2=4+2=+=4,又h(0)=6,h(2)=8,且86,故h(t)的取值范围是(8,4,即2(x4-x1)+(x3-x2)的取值范围是(8,4.故选A.思路分析作出y=|x2-2x-1|的图象,利用|x2-2x-1|=t有4个不同的根,结合根与系数之间的关系,求出2(x4-x1)+(x3-x2)的表达式,构造函数,研究函数的单调性和取值范围即可.解题关键解题关键本题主要考查函数与方程的应用,数形结合,转化为关于t的函数关系,构造函数,求函数的导数,研究函数的单调性和极值是解决本题的关键.2t2t42 2t22 2t22t12t22t12t