题型四 规律探索题

1、.类型1数与式的规律探究1.2019安徽中考下面两个多位数1248624、6248624,都是按照如下方法得到的:将第一位数字乘以2,假设积为一位数,将其写在第2位;假设积为两位数,那么将其个位数字写在第2位.对第2位数字再进展如上操作得到第3位数字,后面的每一位数字都是由前一位数字进展如上操作得到的.当第一位数字是3时,仍按如上操作得到一个多位数,那么这个多位数前100位的所有数字之和是A.495B.497C.501D.5032.2019合肥蜀山区二模观察以下等式: 1=12; 2+3+4=32; 3+4+5+6+7=52; 4+5+6+7+8+9+10=72;请根据上述规律判断以下等式正确

2、的选项是A.1 008+1 009+3 025=2 0162B.1 009+1 010+3 026=2 0172C.1 009+1 010+3 027=2 0182D.1 010+1 011+3 028=2 01923.2019安徽中考观察以下关于自然数的等式:32-4×12=5;52-4×22=9;72-4×32=13;根据上述规律解决以下问题:1完成第四个等式:92-4×2=;2写出你猜测的第n个等式用含n的式子表示,并验证其正确性.4.2019合肥包河区二模观察以下式子:2×0+1=12;4×2+1=32;8×6+1=

3、72;16×14+1=152;1请按规律写出第个式子: ; 2根据你发现的规律写出第个式子n为正整数,并验证其正确性.5.2019芜湖二模观察以下各个等式的规律:第1个等式:22-12-12=1;第2个等式:32-22-12=2;第3个等式:42-32-12=3;请用上述等式反映出的规律解决以下问题:1直接写出第4个等式;2猜测第n个等式用含n的代数式表示,并证明你猜测的等式是正确的.6.2019合肥45中三模一定数量的石子可以摆成如下图的三角形和四边形,古希腊科学家把数1,3,6,10,15,21,称为“三角形数,把1,4,9,16,25,称为“正方形数.同样,可以把数1

4、,5,12,22,称为“五边形数.将“三角形数、“正方形数、“五边形数按从小到大的顺序依次填在下面表格里:三角形数 1 3 6 10 15 21a 正方形数 1 4 9 16 25b 49 五边形数 1 5 12 22c 51 70 1按照规律,表格中a=,b=,c=; 2观察表中规律,第nn为正整数个“五边形数是 . 7.2019安庆模拟特殊两位数乘法的速算假如两个两位数的十位数字一样,个位数字相加为10,那就能立即说出这两个两位数的乘积.假如这两个两位数分别写作AB和AC即十位数字为A,个位数字分别为B,C,且B+C=10,A>3,那么它们的乘积是一个四位数,前两

5、位数字是A和A+1的乘积,后两位数字是B和C的乘积.如47×43=2 021,61×69=4 209.1请你直接写出83×87的值;2设这两个两位数的十位数字为xx>3,个位数字分别为y和zy+z=10,通过计算验证这两个两位数的乘积为100xx+1+yz;399 991×99 999=. 8.2019宣城模拟阅读以下材料,并解决相关的问题.按照一定顺序排列着的一列数称为数列,排在第一位的数称为第1项,记为a1,依此类推,排在第n位的数称为第n项,记为an.一般地,假如一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫

6、做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示q0,如:数列1,3,9,27,为等比数列,其中a1=1,公比q=3.1等比数列3,6,12的公比q为,第4项是; 2假如一个数列a1,a2,a3,a4,是等比数列,且公比为q,那么根据定义可得到a2a1=q,a3a2=q,a4a3=q,anan-1=q,所以a2=a1q,a3=a2q=a1q·q=a1q2,a4=a3q=a1q2·q=a1q3,由此可得an=用含a1,n和q的代数式表示; 3假设一个等比数列的公比q=12,第2项a2=110,求它的第1项与第4项.9.2019合肥高新区模拟我们

7、学习了勾股定理后,都知道“勾三、股四、弦五.观察:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41;发现:这些勾股数的勾都是奇数,从3起就没有连续过,而且股和弦是两个连续整数.1请你根据上述的规律写出下一组勾股数:; 2假设第一个数用字母nn为奇数,且n3表示,写出后两个数用含n的代数式表示,并用所学知识说明它们是一组勾股数.类型2图形中的规律探究10.2019六安地区二模观察以下n×n的点阵与等式的关系,并填空:1根据你发现的规律,在n×n图的后面的横线上填上所对应的等式,并证明等式成立.2根据等式的性质,将上图所对应的前4个等式的左侧和右侧式子分别相

8、加,等式仍然成立,即22-12+32-22+42-32+52-42=1+2×1+1+2×2+1+2×3+1+2×4.经化简,变形后得到52-12=4+2×1+2+3+4,即1+2+3+4=52-12-42,这种方法叫等式叠加法.假如将上图2×2到n×n所对应的n-1个等式进展叠加,经化简,变形后可以得到1+2+3+n-1=. 11.2019合肥瑶海区二模1观察下面的图案与等式的关系,并填空.2通过猜测,写出第n个图案相对应的等式.12.2019安徽中考【阅读理解】我们知道1+2+3+n=n(n+1)2,那么12+2

9、2+32+n2的结果等于多少呢?在图1所示三角形数阵中,第1行圆圈中的数为1,即12;第2行两个圆圈中数的和为2+2,即22第n行n个圆圈中数的和为n+n+nn个n,即n2.这样,该三角形数阵中共有n(n+1)2个圆圈,所有圆圈中数的和为12+22+32+n2.图1【规律探究】将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵,观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数如第n-1行的第一个圆圈中的数分别为 n-1,2,n,发现每个位置上三个圆圈中数的和均为.由此可得,这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为312+22+32+n2=.因此,12+22+32+n2=. 图2【解决问题】根据以

10、上发现,计算12+22+32+201721+2+3+2017的结果为. 13.2019安徽中考在由m×nm×n>1个小正方形组成的矩形网格中,研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数f.1当m,n互质m,n除1外无其他公因数时,观察以下图形并完成下表:mnm+nf123213432354257347猜测:当m,n互质时,在m×n的矩形网格中,一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m,n的关系式是不需证明; 2当m,n不互质时,请画图验证你猜测的关系式是否仍然成立.参考答案1.A2.D【解析】由的等式规律可知,第n个等式的结果为2n-12,故A

11、,C中的等式错误.第n个等式中等号左边的项数为2n-1,故B中的等式错误,D中的等式正确.3.14172第n个等式为2n+12-4×n2=4n+1.左边=4n2+4n+1-4n2=4n+1=右边,第n个等式成立.4.132×30+1=3122第个等式为:2n2n-2+1=2n-12.验证:左边=2n×2n-2n×2+1=2n2-2×2n+1=2n-12=右边,故2n2n-2+1=2n-12是成立的.5.1第4个等式是52-42-12=4.2第n个等式是(n+1)2-n2-12=n.证明:(n+1)2-n2-12=n2+2n+1-n2-12=2n

12、2=n=右边,第n个等式是(n+1)2-n2-12=n.6.1283635解法提示:第nn为正整数个“三角形数为n(n+1)2,故a=7×82=28;第nn为正整数个“正方形数为n2,故b=62=36;第nn为正整数个“五边形数为32n2-12n,故c=32×25-52=35.232n2-12n7.17 221.2验证:10x+y10x+z=100x2+10xz+10xy+yz=100x2+10xy+z+yz=100x2+100x+yz=100xx+1+yz.39 999 000 009解法提示:由题中规律可得,假如两个n位数分别写作AB和AC即前n-1位数字部分均可表示为

13、AA>3,个位数字分别为B,C,且B+C=10,那么它们的乘积是一个2n位数,前2n-2位数字是A和A+1的乘积,后两位数字是B和C的乘积.故99 991×99 999=9 999 000 009.8.12242a1qn-13第1项a1=a2q=110÷12=15,第4项a4=a1·q3=15×123=140.9.111,60,612n2-12,n2+12说明:n2+n2-122=n2+n4-2n2+14=4n2+n4-2n2+14=n4+2n2+14=n2+122,由勾股定理的逆定理可知,n,n2-12,n2+12是一组勾股数.10.1n2-n-12=1+2n-1.证明:左边=n2-n2+2n-1=2n-1,右边=1+2n-2=2n-1=右边,左边=右边,即n2-n-12=1+2n-1.2n2-1-(n-1)211.12232324