函数极值的理论及其应用

1、精选优质文档-倾情为你奉上 2014 届本科毕业论文（设计） 论文题目： 函数极值的理论及其应用 所在院系： 数学科学学院 所学专业： 数学与应用数学 完成时间： 2014-05-20 专心-专注-专业函数极值的理论及其应用摘 要函数的极值不仅是反映函数性态的一个重要特征，而且在解决实际问题中也占有极其重要的地位。很多经济和生活中的问题都可以转化为数学中的函数极值问题进行讨论，从而得到该问题的最优方案。本文主要探讨函数极值的理论及求解方法，并附以相应的例子阐明函数极值在实际问题中的应用，重点探讨一元函数和多元函数的极值理论及应用等问题。关键词：函数极值，多元函数，极值应用The Extreme

2、 Value Theory of Function and its ApplicationsAbstractThe extreme value is not only a significant characteristic of a function, but also play an important role in solving practical problems. A lot of problems in the economy and life can be transformed into the function extremum problems, thus the op

3、timal solution of these problems can be obtained. This thesis mainly discusses the theory and its corresponding solving methods of the function extreme value, together with the corresponding extreme value theory to practical problems in the application. The main contents focus on the theory and appl

4、ications of the single variable functions and multivariate functions.Keywords: Function extreme value, Multivariate functions, Application of extreme value theory目 录一、引言1.1 概论函数极值作为函数性态的一个重要特征，无论是在数学领域还是其他学科领中都有着不可替代的地位。在这样快速发展的时代，许多现实生活中的问题的解决最终都归结于求极值或最值问题，以尽可能达到人们的预期效果。为此我们通常把实际问题通过数学建模等形式建立与函数之间

5、的联系，从而通过函数性态或函数特征来求得最优解。由此可见，函数的极值理论对人们的生产、生活都有着非凡的意义，因此研究函数的极值理论就显得尤为重要。本文将系统的介绍一元函数、多元函数的极值理论。其次，将会介绍一些判别函数极值的方法。最后，会将主要结论应用于解决实际生活中的数学问题。1.2 研究的背景在数学分析中的函数极值问题研究的基础上，常把极值理论在实际生活中加以推广应用。遇到实际问题时，一般先是通过对实际问题进行具体的分析，从而通过分析建立适当的函数关系再进而转化为函数中的极值问题进行研究。虽然无论是在国内还是国外，这方面的理论均已比较完备，但将它们经过系统的整理以便应用于实际生活仍很重要。

6、1.3 研究现状在函数极值理论的研究中，由于其牵涉到的变量会比较多，所以求解复杂的多元函数的极值问题有时也会比较困难。目前国内外关于函数极值的求解方法有代入法、拉格朗日乘数法、不等式法等。总体来说，函数极值问题的研究已经形成了比较完善的体系。1.4 研究的目的与意义为了将数学分析中的极值原理在实际生活中得以更好的应用，故需要对此进行系统的归纳、总结。极值问题无论是在经济生活还是工农业的生产中都有着极其广泛的应用，通常应用于解决如何使投入少，而利润最大化，用料最省等问题，由于这些问题的解决能使我们更好更快的进入高水平的生活，所以极值理论在现实生活中有着不可替代的地位。二、一元函数极值理论及其判别

7、方法2.1 一元函数极值的概念定义12.1.1 设函数在区间内有定义，不妨设是内的一个点。(1) 若存在点的一个邻域，并且对于该邻域内的任何点，除了点外，都有恒成立，则就称为函数的一个极小值。(2) 若存在点的一个邻域，并且对于该邻域内的任何点，除了点外，都有恒成立，则就称为函数的一个极大值。函数的极大值与极小值均称为函数的极值，且使函数取得极值的点称为极值点。2.2 一元函数极值的判定定理12.2.1 极值的第一充分条件：设函数在点处连续，且在某邻域上可导。(1) 如果当时恒有，而当时有，则在点处取得极小值。(2) 如果当时，当时，则在点处取得极大值。定理12.2.2 极值的第二充分条件：设

8、函数在的某邻域上一阶可导，在处二阶可导，且。(1) 若，则在处取得极小值。(2) 若，则在处取得极大值。证明：由已知条件可知，在处的二阶泰勒公式，由于.因此 （1）又因，故存在正数，当时，与同号。因此，当时，（1）式取负值，从而在任给的有。可知，在处取得极大值。定理12.2.3 极值的第三充分条件：设在处的某邻域内存在直到n-1阶的导函数，在处n阶可导，且有，则(1) 当n为偶数时，在处取得极值，且当时取得极大值，当时取得极小值。(2) 当n为奇数时，在处不取极值。证明：类似于定理2.2.2的证明过程，这里省略。2.3 一元函数极值的求解通常情况下，求解函数极值的步骤如下： (1) 确定函数的

9、定义域； (2) 求驻点以及使不存在的点； (3) 判断在点左右的正负号，并判断是否为极值点； (4) 求出相应的极值。三、多元函数的极值理论及其判别方法3.1 二元函数极值的概念定义13.1.1 设函数在点的某邻域内有定义。如果对于任意点，成立不等式则称函数在点取得极大值（极小值），点成为的极大（极小）值点。极大值与极小值统称为极值。极大值点、极小值点统称极值点。3.2 二元函数极值的判定定理13.2.1 二元函数极值的充分条件：设二元函数在点的某邻域上具有二阶连续偏导数，且是的稳定点。则当是正定矩阵时，在点取得极小值；当是负定矩阵时，在点取得极大值；当是不定矩阵时，在不取极值。其中(1)

10、当时，在取得极小值。(2) 当时，在取得极大值。(3) 当时，在不能取得极大值。(4) 时，不能肯定在是否取得极值。证明：由条件可知，在点的二阶泰勒公式，且已知，有。由于正定，故对任意，都有二次型。因此必存在一个与无关的正数，使得.因此，对任何充分小，只要，必有。所以在点取得极小值。同理，可证为负定矩阵时，在点取得极小值。下证当为不定矩阵时，在点不取极值。（反证法）假设能取到极值点，不妨设能取到极小值点。可知，沿任何过点的直线也必取得极小值。我们有一元函数极值的充分条件可知。又因为表明必为正半定矩阵，这与假设矛盾。所以在点不取极值。3.3 二元函数两类极值的求解3.3.1 极值的分类：(1)

11、无条件极值问题：对于函数的极值问题，除了限制自变量在其定义域范围内的变化外，没有其他条件限制的极值问题称为无条件极值问题。(2)条件极值问题：在很多实际应用问题中，通常在建立目标函数之后，会发现变量之间还要受到其他条件的约束，像这类带有其他约束条件的极值问题称为条件极值问题。一般形式为：求函数的极值，其中受条件的限制。3.3.2 两类极值问题的求解:(1) 无条件极值问题求解：根据定义求解。(2) 条件极值问题求解3：方法一：可将条件极值问题中的条件代入到目标函数中，从而转化为无条件极值问题求解。方法二：拉格朗日乘数法：欲求函数的极值，其中受条件的限制。引入辅助变量和辅助函数，其中称为拉格朗日

12、乘数，为拉格朗日函数。点为条件极值点的必要条件是满足以下方程组：点是否为极值点，一般可由问题本身的性质做出判定（或利用所确定的隐函数代入到目标函数中，再有无条件极值的判别条件进行判别）。方法三2：设二元函数在点的邻域内满足：内有连续的偏导数，是该邻域内任意一点。(i)如果,则在处取得严格极大值。(ii)如果,则在处取得严格极小值。证明：构造辅助函数，易知。且在上连续，在可微，故有一元函数的拉格朗日中值定理可知，存在一个使得。也即是说 （2）其中又因为所以，即是说。又因为将其代入（2）式可得，；如果对于任意的，有，则，所以，故在处取得严格极大值。如果对于任意的，有，则，所以，故在处取得严格极小值

13、。3.4 n元函数极值的概念设函数在点的某邻域内有定义。如果对于任何点，成立不等式，则称函数在点取得极大值（极小值），相应的点就成为的极大（极小）值点。极大值与极小值统称为极值。极大值点、极小值点统称为极值点。3.5 n元函数极值的判定多元函数极值的充分条件：设是多元函数在区域内的稳定点。如果函数在处的黑赛矩阵(Hesse)是正定矩阵时，在点取得极小值；当是负定矩阵时，在点取得极大值；当是不定矩阵时，在不取极值。其中.3.6 n元函数两类极值的求解3.6.1 极值的分类：(1) 无条件极值问题：函数中的自变量只受定义域约束的极值问题。(2) 条件极值问题：函数中的自变量除受定义域的约束外，还受

14、其他条件限制的极值问题。一般形式：在条件组的限制下，求目标函数的极值。3.6.2 两类极值问题的求解：(1) 无条件极值问题的求解4：方法一：用函数的正定性解决三元以上的函数的极值问题。定义1：设实二次型如果对于任意的，有，这时称为正定二次型，为正定矩阵。如果对于任意的，有，这时称为负定二次型，为负定矩阵。如果对于任意的，有，且存在使，这时称为半正定（半负定）二次型，为半正定（半负定）矩阵。如果对于任意的，有，而对另一些有，则称为不定二次型，为不定矩阵。定义2：设n元函数在某邻域内有连续一、二阶的偏导数，记，则称为函数点处的梯度，记作。定理1：设n元函数对每一个自变量都具有一阶连续的偏导数。是

15、的一个驻点。则在取得极值的必要条件是。定理2：设函数在点的某个邻域内有一阶、二阶连续的偏导数，记=0，则(i)当为正定矩阵时，为的极小值。(ii)当为负定矩阵时，为的极大值。(iii)当为不定矩阵时，不为的极小值。方法二：利用不等式法求极值利用均值不等式求极值均值不等式的形式为等号成立的充要条件是。柯西不等式求极值任意的和，总有当且仅当它们对应称比例时等号成立。（2） 条件极值问题的求解方法一：从约束条件解出隐函数，再代入到目标函数中从而转化为无条件极值问题，从而可有无条件极值的解法求解相应的极值。方法二：拉格朗日乘数法一般形式：在条件组的限制下，求目标函数的极值。构造辅助函数，其中称为拉格朗

16、日乘数，为拉格朗日函数。点为条件极值点的必要条件是满足以下方程组： 点是否为极值点，一般可有问题本身的性质做出判定 。四、函数极值理论的应用4.1 一元函数极值的应用例1：一艘轮船在航行中的燃料费和其速度的立方成正比。已知当速度为10（km/h）,燃料费为每小时6元，而其他与速度无关的费用为每小时96元。问轮船的速度为多少时，每航行1km所消耗的费用最小？解: 设船速为（km/h）,由题意知，每航行1km的耗费为。由已知当时，故得比例系数。所以有令，求得稳定点。有极值第一充分条件检验得是极小值点。由于在上该函数处处可导，且有唯一的极值点，所以必为最小值点。当船速为20km/h时，每航行1km的

17、耗费为最少，值为7.2元。（利用极值的第一充分条件）例2：设一个边长为的正方形，剪去这个正方形四角同样大小的正方形后制成一个无盖盒子，问剪去小方块的边长为何值时，可使盒子的容积最大。解: 设每个小方块的边长为，则盒子的容积为令在内解得稳定点，并有知道为极大值。由于在内只有一个极值点，且为极大值点，因此该极大值就是所求的极大值，即正方形四个角各剪去一块边长为的小正方形之后，能做成容积最大的盒子。（利用极值第二充分条件）例3： 求的极值。解: 由于，因此是函数的三个稳定点。的二阶导数为，可知。所以在时取得最小值。三阶导数有。由于为奇数，故在不取极值。四阶导数，有。由于为偶数，所以在取得极大值。综上

18、：为极大值，为极小值。4.2 二元函数极值的应用例1:（最小二乘法）假设通过实验得到一系列点。他们大体在一条直线上，即大体可有直线方程来反映变量的对应关系。现确定一直线使得与这个点的偏差的平方和最小（最小二乘方）。解： 设所求的直线方程为，所测得的个点已知，现欲求出使其满足为最小。令整理后得到：再求此方程组的解，即得的稳定点。为进一步确定该点是极小值点，经过计算得从而有二元函数极值的判定可知在点取得极小值，从而有实际问题可知此极小值为最小值。4.3 n元函数极值的应用例1：条件极值问题在已知周长为的一切三角形中，求出面积最大的三角形。解: 设三角形的三边分别为，面积为，则记将所求的问题转化函数

19、在上的最大值。令,得到内唯一的稳定点且又知，而在边界上均有，所以面积的最大值，这时三边的边长均为。例2：证明在个正数的和为定值条件下，这个正数的乘积的最大值为。并有此结果推出个正数的几何平均值不大于算术平均值即。证明：设，其约束条件为，则设辅助拉格朗日函数为。令解得：由于在有界闭集上必有最大值、最小值。又因为其有唯一稳定点，所以最大值在唯一稳定点处取得，所以。于是；得证。4.4 函数极值在经济生活中的应用例1：一家公司预备生产一种产品，固定成本为5000元，而每生产一台此产品直接消耗的成本增加25元。若市场对此产品每年的需求为500台，则销售的收入函数为，其中为销售的台数，为收入。把利润看成年利润的函数，问利润最大时，年产量为多少？解： 设所得利润最大时是指当生产台总收入与成本之间的差值解得当台时利润最大。五、结论通过对函数极值理论在实际生活中的应用，我们了解到了解决极值问题的重要性以及如何更好的使之与实际生活相结合，并作了以下总结。1. 极值的概念无论是对于一元函数还是多元函数实质上并无本质的区别。即：设函数在点的某邻域内有定义。如果对于任何点，有不等式成立，则称函数在点处取得极大值（极小值），其中点称为的极大（极小）值点。极大值与极小值统称为极值。极大值点、极小值点