高等数学第八章复合求导

1、推广推广第八章第八章 一元函数微分学一元函数微分学 多元函数微分学多元函数微分学 注意注意: 善于类比善于类比, 区别异同区别异同多元函数微分法多元函数微分法 及其应用及其应用 第八章 第一节第一节一、区域一、区域二、多元函数的概念二、多元函数的概念三、多元函数的极限三、多元函数的极限四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的基本概念多元函数的基本概念 )(0oPPU00 PP一、一、 区域区域1. 邻域邻域点集, ) ,(0PPU称为点 P0 的 邻域邻域. .例如例如, ,在平面上, ),(),(0yxPU(圆邻域)在空间中, ),(),(0zy

2、xPU(球邻域)说明：说明：若不需要强调邻域半径 , ,也可写成. )(0PU点 P0 的去心邻域去心邻域记为0PP)()(2020yyxx)()()(202020zzyyxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为 ),() ,U(0yxP。0P因为方邻域与圆邻域可以互相包含.,0 xx0 yy机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 区域区域(1) 内点、外点、边界点设有点集 E 及一点 P : 若存在点 P 的某邻域 U(P) E , 若存在点 P 的某邻域 U(P) E = , 若对点 P 的任一任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 EE

3、则称 P 为 E 的内点内点；则称 P 为 E 的外点外点 ;则称 P 为 E 的边界点边界点 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 的外点 ,显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的边界点可能属于 E, 也可能不属于 E . (2) 聚点聚点若对任意给定的 , ,点P 的去心机动 目录 上页 下页 返回 结束 ) ,(PUE邻域内总有E 中的点 , 则称 P 是 E 的聚点聚点.聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 所有聚点所成的点集成为 E 的导集导集 .E 的边界点 )D(3) 开区域及闭区域 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；

4、若点集 E E , 则称 E 为闭集； 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , 开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称 D 是连通的 ; 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 。 。 E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;例如，例如，在平面上0),( yxyx41),(22yxyx0),( yxyx41),(22yxyx开区域闭区域机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyo21xyoxyoxyo21 整个平面 点集 1),(xyx是开集， 是最大的开域 , 也是最大的闭域；但非区域 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 11oxy

5、对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K , 则称 D 为有界域有界域 , 界域界域 .否则称为无无3. n 维空间维空间n 元有序数组),(21nxxx),(21nxxx的全体称为 n 维空间维空间,Rnn 维空间中的每一个元素称为空间中的kx数称为该点的第 k 个坐标坐标 .记作即机动 目录 上页 下页 返回 结束 RRRRnnkxxxxkn,2, 1,R),(21一个点点, 当所有坐标时，0kx称该元素为 nR中的零元,记作 O .的距离距离记作2222211)()()(),(nnyxyxyxyx中点 a 的 邻域邻域为),(21nyyyy与点)

6、,(,R),(axxxaUn机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),(R21nnxxxx中的点,),(yxyx或规定为 ),(R21nnxxxx中的点与零元 O 的距离为22221nxxxx.,3, 2, 1xxn通常记作时当0Raxaxn满足与定元中的变元. ax 记作nR二、多元函数的概念二、多元函数的概念 引例引例: : 圆柱体的体积 定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式,2hrV,(为常数）RVTRp )2(cbapcba0, 0),(hrhr0, 0),(TTVTVcbacbacba, 0, 0, 0),( )()(cpbpappS机动 目录 上页 下页 返回 结束 hr定义定义

7、1. 设非空点集,RnD DPPfu, )(或点集 D 称为函数的定义域定义域 ; 数集DP,Pfuu)(称为函数的值域值域 .特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数2R),(),(Dyxyxfz当 n = 3 时, 有三元函数3R),(),(Dzyxzyxfu映射R:Df称为定义在 D 上的 n 元函数元函数 , 记作),(21nxxxfu机动 目录 上页 下页 返回 结束 xzy例如, 二元函数221yxz定义域为1),(22 yxyx圆域说明说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) D图形为中心在原点的上半球面., )sin(,yxz 又如机动 目录 上页 下页

8、返回 结束 的图形一般为空间曲面 .12R),(yx三元函数 )arcsin(222zyxu定义域为1),(222zyxzyx图形为4R空间中的超曲面.单位闭球xyzo三、多元函数的极限三、多元函数的极限定义定义2. 设 n 元函数,R),(nDPPf点 , ) ,(0PUDP,-)(APf则称 A 为函数(也称为 n 重极限)当 n =2 时, 记20200)()(yyxxPP二元函数的极限可写作：Ayxf),(lim0APfPP)(lim0P0 是 D 的聚若存在常数 A ,对一记作，时的极限当0)(PPPfAyxfyyxx),(lim00都有机动 目录 上页 下页 返回 结束 对任意正数

9、 , 总存在正数 ,切例例1. 设)0(1sin)(),(222222yxyxyxyxf求证：.0),(lim00yxfyx证证:01sin)(2222yxyx故0),(lim00yxfyx,0 0),( yxf,022时当yx22yx 222yx , 总有机动 目录 上页 下页 返回 结束 要证 例例2. 设0, 00,sinsin),(11yxyxyxyxfxy求证：.0),(lim00yxfyx证：证：0),(yxf故0),(lim00yxfyx, 0 20),( 22yxyxfyx 222 yx ,2 时，当022yxxyyx11sinsin总有 2 要证机动 目录 上页 下页 返回

10、结束 若当点),(yxP趋于不同值或有的极限不存在，解解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) ,22),(yxyxyxf222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx在点 (0, 0) 的极限.),(yxf故则可以断定函数极限则有21kkk 值不同极限不同值不同极限不同 !在 (0,0) 点极限不存在 .以不同方式趋于,),(000时yxP不存在 .例例3. 讨论函数函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求22222200)()cos(1limyxyxyxyx解解: 因,)(2224122yxyx222222)()cos(1yxyxyx而

11、620)cos1 (4limrrr此函数定义域不包括 x , y 轴,222yxr令则62)cos1 (4rr6402limrrr2cos1r22r故22222200)()cos(1limyxyxyxyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 仅知其中一个存在,推不出其它二者存在. 二重极限),(lim00yxfyyxx),(limlim00yxfxxyy及不同不同. 如果它们都存在, 则三者相等.例如例如,),(22yxyxyxf显然),(limlim00yxfyyxx与累次极限),(limlim00yxfyx),(limlim00yxfxy0,0但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在 .例

12、3 目录 上页 下页 返回 结束 四四、 多元函数的连续性多元函数的连续性 定义定义3 . 设 n 元函数)(Pf定义在 D 上,)()(lim00PfPfPP0)(PPf在点如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上,0DP 聚点如果存在否则称为不连续,0P此时称为间断点 .则称 n 元函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 连续.连续, 例如例如, 函数0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在点(0 , 0) 极限不存在, 又如又如, 函数11),(22yxyxf上间断.122 yx 故 ( 0, 0 )为其间断点.在圆周机动 目录 上页 下页 返回 结束 结论结论

13、: 一切多元初等函数在定义区域内连续.定理定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,0) 1 ( K)()2(Pf, ,Mm* (4) f (P) 必在D 上一致连续 .;,)(DPKPf使在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;(3) 对任意，DQ;)(Qf使(有界性定理) (最值定理) (介值定理) (一致连续性定理) 闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:(证明略) .11lim00yxyxyx解解: : 原式) 11(1) 1(lim200yxxyyxyx21例例5. .求222)3arcsin(),(yxyxyxf1322yx

14、4222yx例例6. 求函数的连续域.解解:02 yx2yx 111lim00yxyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 2oyx2内容小结内容小结1. 区域 邻域 :, ) ,(0PU) ,(0PU 区域连通的开集 空间nR2. 多元函数概念n 元函数),(21nxxxf常用二元函数 (图形一般为空间曲面)三元函数DP)(Pfu nR机动 目录 上页 下页 返回 结束 APfPP)(lim0,0 ,0 时，当00 PP有)( APf3. 多元函数的极限4. 多元函数的连续性1) 函数连续在0)(PPf)()(lim00PfPfPP2) 闭域上的多元连续函数的性质:有界定理 ;最值定理 ; 介

15、值定理3) 一切多元初等函数在定义区域内连续P11 题 2; 4; 5 (3), (5) ( 画图 ) ; 8P72 题 3; 4机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习解答提示解答提示: :P11 题 2. ),(),(2yxftytxtf称为二次齐次函数 .P11 题 4.xyxyxyxyxyxyxf2)()(),(P11 题 5(3).定义域 0:yyxDP11 题 5(5).定义域22222:RzyxrD2xy DyxoRxyoDr机动 目录 上页 下页 返回 结束 P12 题 8.间断点集02),(2 xyyxP72 题 3.定义域104:222yxxyD240422

16、001limlimxkxkyxyxxyx)0,21(),(lim021fyxfyx43ln2P72 题 4. 令 y= k x ，0若令xy 42200limyxyxyx212202limxxxDxy42yx1机动 目录 上页 下页 返回 结束 , 则 可见极限不存在 作业作业P11 5 (2), (4), (6) 6 (2), (3), (5), (6) 7，9 , 10第二节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题1. 设,),(222yxyxfxy求. ),(2yxfxy解法解法1 令uyxvxy23vuy 3vuux ),(vuf32)(2vuu32)( vu,2xyu yxv )

17、,(2yxxyf2)(2xy2y2y222yxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 .设,),(222yxyxfxy求. ),(2yxfxy解法解法2 令uvyx2vuxy2vy uvx ),(2xyyxf),(2vuuvf22vuv即),(2yxxyf222yxy),(2vuuvf机动 目录 上页 下页 返回 结束 yxyxxx200limxxxx320lim)(lim320 xxx,12.yxxyxyx)1ln(lim00是否存在？解：解：xxy取所以极限不存在.333,0,)1ln(yxyx利用yxxyxyx)1ln(lim00机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 证明),(yx

18、f)0 , 0(),(,22yxyxyx)0 , 0(),(,0yx在全平面连续.证证:,)0 , 0(),(处在yx),(yxf为初等函数 , 故连续.又220yxyxyxyx222222221yxyx2221yx 2200limyxyxyx0)0 , 0(f故函数在全平面连续 .由夹逼准则得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二节机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 偏导数概念及其计算偏导数概念及其计算二二 、高阶偏导数、高阶偏导数 偏 导 数 第八章 一、一、 偏导数定义及其计算法偏导数定义及其计算法引例引例:研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 , 就是),(txu0 xo

19、xu中的 x 固定于求一阶导数与二阶导数.),(txux0 处,),(0txu),(0txu关于 t 的机动 目录 上页 下页 返回 结束 将振幅定义定义1.),(yxfz 在点), (), (lim000yfyfx存在,xyxyxfz对在点),(),(00的偏导数，记为;),(00yxxz),(00yx的某邻域内;),(00yxxfxx00 x则称此极限为函数极限设函数)(0 xf)()(00 xfxxfx0limxx; ),(00yxfx;),(00yxxz0ddxxxy. ),(001yxf 机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyxfyxxfx),(),(lim000000),(dd0

20、 xxyxfx),(00yxfx注意注意:0),(dd0yyyxfy同样可定义对 y 的偏导数 lim0y),(00yxfy若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x,xzxfxz则该偏导数称为偏导函数, 也简称为偏导数偏导数 ,),(, ),(1yxfyxfx),(, ),(2yxfyxfy) ,(0 xf),(0 xfy记为yy00y机动 目录 上页 下页 返回 结束 或 y 偏导数存在 ,yzyfyz),(zyxfx例如例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的偏导数的概念可以推广到二元以

21、上的函数 . lim0 x), (zyf),(zyfxxx?),(zyxfy?),(zyxfzx机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数定义为(请自己写出)二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义:00),(dd00 xxyxfxxfxxyy0),(yyyxfzxTM000),(dd00yyyxfyyfxxyy是曲线0),(xxyxfzyTM0在点 M0 处的切线对 x 轴的斜率.在点M0 处的切线斜率.是曲线yxz0 xyToxT0y0M机动 目录 上页 下页 返回 结束 对 y 轴的函数在某点各偏导数都存在,显然例如例如, ,0,00,),(222222yxyxyxyxyxfz0

22、)0,(dd)0, 0(xxfxfx0), 0(dd)0, 0(yyfyfy00注意：注意：但在该点不一定连续不一定连续.上节例 目录 上页 下页 返回 结束 在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!例例1 . 求223yyxxz解法解法1:xz)2, 1 (xz解法解法2:) 2, 1(xz在点(1 , 2) 处的偏导数.) 2, 1(yz,32yx yzyx23 ,82312)2, 1 (yz72213462xx1)62(xx81xz231yy 2)23(yy72yz机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 设，）且1, 0(xxxzyzyzxxzyx2ln1 证证

23、:xzyzxxzyxln1 例例3. 求222zyxr的偏导数 . (P14 例4)解解:xryryyxx yz求证,1yxyxxylnz22222zyxx2rxrzzr,ry机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数记号是一个例例4. 已知理想气体的状态方程求证:1pTTVVpTRVp证证:,VTRp ,pTRV ,RVpT pTTVVp说明说明:(R 为常数) , Vp2VTRTVpRpTRVVpTR1不能看作分子与分母的商 !此例表明,机动 目录 上页 下页 返回 结束 整体记号,二、高阶偏导数二、高阶偏导数设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数),(, ),(yxf

24、yzyxfxzyx若这两个偏导数仍存在偏导数，)(xz)(yzx )(xzy ),()(22yxfyzyzyyy则称它们是z = f ( x , y ) 的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导22xz);,(yxfxxyxz2),(yxfyx);,(2yxfxyzxyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 数:类似可以定义更高阶的偏导数.例如，例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为3322)(xzxzxz = f (x , y) 关于 x 的 n 1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶) (yyxznn1机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数为11nnxzy

25、xe22例例5. 求函数yxez2.23xyz解解 :xz22xz) ( 223xyzxxyzyzxyz2yxz2 22 yz注意注意: :此处,22xyzyxz但这一结论并不总成立.yxe2yxe22yxe2yxe22yxe22yxe24机动 目录 上页 下页 返回 结束 的二阶偏导数及 0,)(4222224224yxyxyyxxxyfyfxxy)0, 0(), 0(lim0),(yxfy例如例如,),(yxfx)0 , 0(yxfxfxffyyxxy)0, 0()0,(lim)0 , 0(0二者不等yyy0lim1xxx0lim1),(yxf0, 022 yx0,)(4222224224

26、yxyxyyxxy0,022 yx0,222222yxyxyxyx0, 022 yx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 证明函数222,1zyxrru满足拉普拉斯0222222zuyuxu证：证：xu22xu利用对称性 , 有,3152322ryryu222222zuyuxuu方程xrr21rxr2131rxrrx4352331rxr5232231rzrzu52223)(33rzyxr2r0机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,),()()(00连续都在点和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx则证明 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理.例如例如,

27、 对三元函数 u = f (x , y , z) ,),(),(),(zyxfzyxfzyxfyxzxzyzyx说明说明:本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.),(),(),(zyxfzyxfzyxfxyzzxyyzx因为初等函数的偏导数仍为初等函数 ,当三阶混合偏导数在点 (x , y , z) 连续连续时, 有而初等(证明略) 证证: :令),(),(),(0000yxxfyyxxfyxF),(),()(00yxfyyxfx则),(yxFxxx)(10 xyxxfyyxxfxx ),(),(010010yx

28、yyxxfyx),(2010),(),(0000yxfyyxf),(),()(00yxfyxxfy)10(1)1,0(21,),()()(00连续都在点和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx则)()(00 xxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理.令),(),(),(0000yxxfyyxxfyxF),(),(0000yxfyyxf同样)()(00yyyyxyyxxfxy),(4030) 1,0(43),(),(0000yxfyxfxyyx）（）（因yxfyxfxyyx, 0 x故令),(4030yyxxfxy),(2010yyxxfyx在点)(00

29、yx ，连续,得机动 目录 上页 下页 返回 结束 0y内容小结内容小结1. 偏导数的概念及有关结论 定义; 记号; 几何意义 函数在一点偏导数存在函数在此点连续 混合偏导数连续与求导顺序无关2. 偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义 求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习解答提示: P73 题 5，时当022 yx222),(yxyxxyxfx222),(yxyxyyxfy,022 yx当0)0 ,(dd)0 , 0(xxfxfx0), 0(dd)0 , 0(yyfyfy00P

30、73 题 5 , 62223)(2yxyx222222)()(yxyxx即 xy0 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束 P73 题6(1),12yxxz22yxyyz,)(12222yxxz,)(2222yxyyxz22222)()(2yxyxyz(2),1yxyxzxxyzyln,) 1(2 .22yxyyxzxxyxyxzyyln1 .12xxyzy222ln机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P18 1（4）,（6）,（8）； 3； 5； 6（3）； 7； 8； 9（2）第三节 目录 上页 下页 返回 结束 ,)(xuuf备用题备用题 设, )(ufz 方程)(uuxytdt

31、p )(确定 u 是 x , y 的函数 ,)(, )(可微其中uuf)(),(utp连续, 且, 1)( u求.)()(yzxpxzyp解解:xzyuufyz)(xuuxu)()(xpyuuyu)()(ypxu)(1)(uxpyu)(1)(uyp)(uf yzxpxzyp)()(yuxpxuyp)()(0机动 目录 上页 下页 返回 结束 第八章 *二、全微分在数值计算中的应用二、全微分在数值计算中的应用 应用 第三节一元函数 y = f (x) 的微分)( xoxAyxxfy)(d近似计算估计误差机动 目录 上页 下页 返回 结束 本节内容本节内容:一、全微分的定义、全微分的定义 全微分一

32、、全微分的定义、全微分的定义 定义定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ),(),(yxfyyxxfz可表示成, )(oyBxAz其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，yBxA称为函数),(yxf在点 (x, y) 的全微分全微分, 记作yBxAfz dd若函数在域 D 内各点都可微,22)()(yx则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微可微，机动 目录 上页 下页 返回 结束 处全增量则称此函数在在D 内可微内可微.(2) 偏导数连续),(),(yxfyyxxfz)()(lim0oyBxA下面两个定理

33、给出了可微与偏导数的关系:(1) 函数可微函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微),(lim00yyxxfyx由微分定义 :得zyx00lim0),(yxf函数在该点连续机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数存在 函数可微 即定理定理1 1(必要条件)若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微可微 ,则该函数在该点偏导数yzxz,yyzxxzzd), (), (yfyfzxxz同样可证,Byzyyzxxzzd证证: 由全增量公式, )(oyBxAz,0y令)(xoxA必存在,且有得到对 x 的偏增量xxx因此有 xzxx0limA机动 目录 上页 下页 返回

34、 结束 反例反例: 函数),(yxf易知,0) 0, 0()0, 0(yxff 但)0, 0()0, 0(yfxfzyx因此,函数在点 (0,0) 不可微 .)(o注意注意: 定理1 的逆定理不成立 .22)()(yxyx22)()(yxyx22)()(yxyx0偏导数存在函数 不一定可微 !即:0,2222yxyxyx0, 022 yx机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),(yyxxf定理定理2 (充分条件)yzxz,证证：),(),(yxfyyxxfz)1,0(21xyxfx),( yyyxfy),(2xyyxxfx),(1),(yyxf),( yxf),(yyxfyyxfy),(若函数

35、),(yxfz 的偏导数,),(连续在点yx则函数在该点可微分.机动 目录 上页 下页 返回 结束 0lim00yx,0lim00yxzyyxfxyxfyx),(),(yyxfxyxfzyx),(),(yx所以函数),(yxfz ),(yxyx在点可微.机动 目录 上页 下页 返回 结束 0lim00yx,0lim00yx注意到, 故有)(oxxu推广推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如, 三元函数),(zyxfu ud习惯上把自变量的增量用微分表示,ud记作uxd故有下述叠加原理uuuuzyxdddd称为偏微分偏微分.yyudzzudxxuduyduzd的全微分为yyuzz

36、u于是机动 目录 上页 下页 返回 结束 uuuzyxd,d,d例例1. 计算函数在点 (2,1) 处的全微分. yxez 解解:xz222) 1 , 2(,) 1 , 2(eyzexzyexezd2dd22) 1 , 2(例例2. 计算函数的全微分. zyeyxu2sin解解: udxd1yyd) cos(221zeyzydyz,yxeyyxex)d2d(2yxezyez机动 目录 上页 下页 返回 结束 可知当*二、全微分在数值计算中的应用二、全微分在数值计算中的应用1. 近似计算近似计算由全微分定义xy)(),(),(oyyxfxyxfzyx),(yyxxfyyxfxyxfyx),(),

37、(较小时,yyxfxyxfzzyx),(),(dzd及有近似等式:),(yxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 (可用于近似计算; 误差分析) (可用于近似计算) 半径由 20cm 增大解解: 已知,2hrVV,100,20hr) 1(2005. 01002022V即受压后圆柱体体积减少了 .cm2003例例3. 有一圆柱体受压后发生形变,到 20.05cm , 则 rrh2hr 21,05. 0hr)cm(2003高度由100cm 减少到 99cm ,体积的近似改变量. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求此圆柱体例例4.4.计算的近似值. 02. 204. 1解解: 设yxyxf),(

38、,则),(yxfx取, 2, 1yx则)02. 2,04. 1(04. 102. 2fyfxffyx)2, 1 ()2, 1 ()2, 1 (08. 102. 0004. 021),(yxfy,1yxyxxyln02. 0,04. 0yx机动 目录 上页 下页 返回 结束 分别表示 x , y , z 的绝对误差界,2. 误差估计误差估计利用yyxfxyxfzyx),(),(zyx,令z 的绝对误差界约为yyxxzyxfyxf),(),(z 的相对误差界约为yyxxzyxfyxfyxfyxfz),(),(),(),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 则特别注意特别注意时，yxz ) 1 (y

39、xzyxz,)2(时xyz yxyx类似可以推广到三元及三元以上的情形.xzz )(2xyyxy x1yx乘除后的结果相对误差变大很小的数不能做除数机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 利用公式CbaSsin211 . 030,01. 03 . 8,01. 05 .12Cba求计算面积时的绝对误差与相对误差.解：解：aSaSaCbsin211800,01. 0,30,3 . 8, 5 .12CbaCba13. 0S故绝对误差约为又CbaSsin21所以 S 的相对误差约为SS30sin3 . 85 .1221bCasin21CCabcos2194.2594.2513. 0%5 . 0计

40、算三角形面积.现测得机动 目录 上页 下页 返回 结束 bbSccS例例6 6.在直流电路中, 测得电压 U = 24 伏 ,解解: 由欧姆定律可知4624IUR( 欧)所以 R 的相对误差约为IURIUR0.3 + 0.5 R 的绝对误差约为 RR0.8 0.3;定律计算电阻 R 时产生的相对误差和绝对误差 .相对误差为 测得电流 I = 6安, 相对误差为 0.5 ,= 0.032 ( 欧 )= 0.8 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求用欧姆内容小结内容小结1. 微分定义:),(yxfz zyyxfxyxfyx),(),(zdyyxfxyxfyxd),(d),(22)()(yx2.

41、重要关系:)( o函数可导函数可导函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续函数连续函数连续机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 微分应用 近似计算 估计误差zyyxfxyxfyx),(),(),(yyxxfyyxfxyxfyx),(),(绝对误差相对误差),(yxfyyxxzyxfyxf),(),(yyxxzyxfyxfyxfyxfz),(),(),(),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. P72 题 1 (总习题八)函数),(yxfz 在),(00yx可微的充分条件是( );),(),()(00连续在yxyxfA),(),(, ),()(00yxyxfyxfByx

42、在的某邻域内存在 ;yyxfxyxfzCyx),(),()(0)()(22yx当时是无穷小量 ;22)()(),(),()(yxyyxfxyxfzDyx0)()(22yx当时是无穷小量 .2. 选择题D机动 目录 上页 下页 返回 结束 答案答案:z03. 0,101. 0,2yyxx02. 0zd03. 0,101. 0,2yyxx03. 0也可写作:当 x = 2 , y =1 , x = 0.01 , y = 0.03 时 z = 0.02 , d z = 0.03 3. P73 题 7机动 目录 上页 下页 返回 结束 zfyfxffzyyd)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0

43、(d)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(4. 设,coscoscos1coscoscos),(zyxxzzyyxzyxf.d)0 , 0 , 0(f求解解: xxxfcos3)0 , 0 ,(0cos3)0 , 0 , 0(xxxfx41利用轮换对称性 , 可得41)0 , 0 , 0()0 , 0 , 0(zyff)dd(d41zyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( L. P245 例2 )注意注意: x , y , z 具有 轮换对称性轮换对称性 .d,arctanzyxyxz求答案答案: 22dddyxyxxyz作业作业 P24 1 (3) , (4) ; 3 ; 5 ;

44、8 ; 10 5. 已知第四节 目录 上页 下页 返回 结束 在点 (0,0) 可微 .备用题备用题在点 (0,0) 连续且偏导数存在,续,),(yxf而),(yxf)0 , 0(),(,1sin22yxyxyx)0 , 0(),(, 0yx证证: 1) 因221sinyxxy0),(lim00yxfyx)0 , 0(f故函数在点 (0, 0) 连续 ; 但偏导数在点 (0,0) 不连 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明函数xy222yx 所以),(yxf)0 , 0(),(,1sin22yxyxxy)0 , 0(),(, 0yx),(yxfx,)0 , 0(),(时当yx,)0 , 0

45、(),(时趋于沿射线当点xyyxP,0)0 ,(xf;0)0 , 0(xf. 0)0 , 0(yf同理y221sinyx 3222)(yxyx221cosyx ),(lim)0 , 0(),(yxfxxx极限不存在 ,),(yxfx在点(0,0)不连续 ;同理 ,),(yxfy在点(0,0)也不连续.xx(lim0|21sinx33|22xx)|21cosx2)3)题目 目录 上页 下页 返回 结束 ),(yxf)0 , 0(),(,1sin22yxyxxy)0 , 0(),(, 0yx,)()(22yx4) 下面证明)0 , 0(),(在点yxf可微 :yfxffyx)0 , 0()0 ,

46、0(1sinyx x 00.)0 , 0(),(可微在点yxf说明说明: 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件.令则题目 目录 上页 下页 返回 结束 第四节一元复合函数)(),(xuufy求导法则xuuyxydddddd本节内容本节内容:一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分xxufuufyd)()(d)(d微分法则机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元复合函数的求导法则 第八章 )(),(ttfz一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则定理定理. 若函数,)(, )(可导在点ttvtu),(vu

47、fz 处偏导连续, ),(vu在点在点 t 可导, tvvztuuztzddddddz则复合函数证证: 设 t 取增量t ,vvzuuzz)()(22vu)(o则相应中间变量且有链式法则vutt机动 目录 上页 下页 返回 结束 有增量u ,v ,0t令,0,0vu则有to)( 全导数公式全导数公式 )tvvztuuztzto)(zvutt)()(22vu )(o )()(22tvtu0(t0 时,根式前加“”号)tvtvtutudd,dd机动 目录 上页 下页 返回 结束 tvvztuuztzdddddd若定理中 说明说明: ),(),(vuvuf在点例如例如:),(vufztvtu ,易知

48、:,0)0 , 0()0 , 0(ufuz但复合函数),(ttfz 21ddtztvvztuuzdddd010100)0 , 0()0 , 0(vfvz偏导数连续偏导数连续减弱为偏导数存在偏导数存在, 2t0,22222vuvuvu,0022vu机动 目录 上页 下页 返回 结束 则定理结论不一定成立.推广推广:1) 中间变量多于两个的情形. 例如, ),(wvufz 设下面所涉及的函数都可微 .tzdd321fff2) 中间变量是多元函数的情形.例如,),(, ),(, ),(yxvyxuvufzxz1211ff2221ffyzzzwvuvuyxyxttttuuzddtvvzddtwwzdd

49、xuuzxvvzyuuzyvvz机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(, )(, )(twtvtu又如,),(, ),(yxvvxfz当它们都具有可微条件时, 有xz121ffyz22 ffz xyx注意注意: 这里xzxfxz表示固定 y 对 x 求导,xf表示固定 v 对 x 求导口诀口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导xfxvvfyvvf与不同,v机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 设设,sinyxvyxuvezu.,yzxz求解解:xzveusin)cos()sin(yxyxyeyxyz)cos()sin(yxyxxeyxveusinxuuzxvvzveu

50、cosyuuzyvvzveucosy1 x1 zvuyxyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.,sin,),(2222yxzezyxfuzyxyuxu,求解解:xu2222zyxexyxyxeyxx2422sin22)sin21(2zyxyxuyu2222zyxeyyxyxeyyxy2422sin4)cossin(2xfxzzf2222zyxezyfyzzf2222zyxezyxsin2yx cos2机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 设 ,sintvuz.ddtzztvutttzddtevtttetcos)sin(costuuzddtvvzddtz求全导数,teu ,co

51、stv 解解:tusintcos注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与机动 目录 上页 下页 返回 结束 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.为简便起见 , 引入记号,2121vuffuff ),(1zyxzyxf例例4. 设 f 具有二阶连续偏导数, ),(zyxzyxfw求.,2zxwxw解解: 令,zyxvzyxuxwwvuzyxzyx),(vufw 11 fzyf 2),(2zyxzyxfzy则zxw2111 f22221211)(fyfzyxfzxyf yxf 122fy zy121 fyxf 2221,ff机动 目录 上页 下页

52、 返回 结束 (当 在二、三象限时, )xyarctan例例5. 设二阶偏导数连续,求下列表达式在),(yxfu 222222)2(,)()() 1 (yuxuyuxu解解: 已知sin,cosryrxuryxyx极坐标系下的形式xrruxu(1), 则xyyxrarctan,22rxru,rxxr x2xy2)(1xy22yxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 xu2ryururusincosyuyrru2221)(1,yxxyryyrxyxrurucossinyu22222)(1)()()(urruyuxu题目 目录 上页 下页 返回 结束 ryru2rxuuryxyx 已知rsin)

53、(rurusincos)(xux 22)2(xururuxusincosuryxyx) (rxu) (xururusincos222cosru2cossinrucosrsinxurrucossin22222sinru2rru2sin2cos) (r注意利用注意利用已有公式已有公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 22yu2222yuxu21r22xu22222222sincossin2cosrurrururruru22sincossin2rruru22coscossin2同理可得22ru2221urrur 122)(ururrr22222222coscossin2sinrurruru题目 目

54、录 上页 下页 返回 结束 二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分设函数),(, ),(, ),(yxvyxuvufz的全微分为yyzxxzzdddxxvvzxuuzd)(yyvvzyuuzd)(uzvzuz可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, )dd(yyuxxu)dd(yyvxxv则复合函数) (fz ),(, ),(yxyxudvzvd都可微, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性.机动 目录 上页 下页 返回 结束 )cos( )sin(yxyxeyx例例1 .,sinyxvyxuvezu.,yzxz求例例 6. 利用全微分形式不变性

55、再解例1. 解解:) (dd zuveudsin)cos()sin(yxyxyeyx)cos()sin(yxyxyexzyx)cos()sin(yxyxxeyzyx所以veusinvveudcos )cos( )sin(yxyxeyx)(dyx)(dyx )cos()sin(yxyxxeyx)d(dyx xdyd)dd(yxxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 复合函数求导的链式法则“分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导”例如例如, ),(, ),(yxvvyxfuuvyxyxxu1f 3f;1yu2f 3f22. 全微分形式不变性, ),(vufz 对不论 u

56、 , v 是自变量还是因变量,vvufuvufzvud),(d),(d机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习解答提示解答提示:P31 题7vz2)(11yx1 vxxzyzvy)(2yx) 1(y12)(11yx22yxxy22vuuP31 题7; 8(2); P73 题11机动 目录 上页 下页 返回 结束 vuyvuxyxz,arctanP31 题8(2)xuy11f 11fyyu1f )(2yx2f z1zu2f )(2zy2121fzfyx22fzy机动 目录 上页 下页 返回 结束 zyyxfu,1f xzye1f 2f yxz2ye11f yex2ye13f ye

57、x21f 23f 作业作业 P31 2; 4; 6; 9; 10; 12(4); 13 P73题 11第五节 目录 上页 下页 返回 结束 yexuyxufz, ),(备用题备用题,1),(2xyyxf,2),(21xyxfxy1. 已知求.),(22xyyxf解解: 由1),(2xxf两边对 x 求导, 得02),(),(2221xxxfxxfxxxf2),(211),(22xxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. ) )1 , 1(, 1() 1 (ff1)(dd3xxx1)1 , 1 ( f1dd)(32xxx3),(,(1xxfxf ),(,(2xxfxf ),(1xxf ),(

58、2xxf 1x 351, 1)1 , 1(f,),(,()(xxfxfx ,2) 1 , 1 (xf求.1)(dd3xxx),(yxfz 在点)1 , 1(处可微 , 且设函数,3) 1 , 1 (yf解解: 由题设23)32( (2001考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第八章 第五节机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一个方程所确定的隐函数一、一个方程所确定的隐函数 及其导数及其导数 二、方程组所确定的隐函数组二、方程组所确定的隐函数组 及其导数及其导数隐函数的求导方法 本节讨论 :1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .例如, 方程02Cyx当 C 0 时, 不能确定隐函

59、数;2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性 及求导方法问题 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一个方程所确定的隐函数及其导数一、一个方程所确定的隐函数及其导数定理定理1.1. 设函数),(00yxP),(yxF;0),(00yxF则方程00),(xyxF在点单值连续函数 y = f (x) , )(00 xfy 并有连续yxFFxydd(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下： 具有连续的偏导数;的某邻域内某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足0),(00yxFy满足条件机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数0)(,(xfxF两边对 x 求导0ddxyyF

60、xFyxFFxydd0yF,0),()(所确定的隐函数为方程设yxFxfy在),(00yx的某邻域内则机动 目录 上页 下页 返回 结束 若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,22ddxy2yxxyyxxFFFFF3222yxyyyxyxyxxFFFFFFFFyxFF)(yxFFy)(2yxyxyyyyxFFFFFFF二阶导数 :)(yxFFxxyxxydd则还有机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 验证方程01sinyxeyx在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数, )(xfy 0dd,0dd22xxyxxy解解: 令, 1sin),(yxeyyxFx,0)0 , 0(