常数项级数的审敛法（课堂PPT）

1、一、正项级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛11.2 常数项级数的审敛法上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页一、正项级数及其审敛法 正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列有界. v正项级数 各项都是正数或零的级数称为正项级数. 这是因为正项级数的部分和数列sn是单调增加的, 而单调有界数列是有极限. 下页v定理1(正项级数收敛的充要条件) 上页下页铃结束返回首页v定理2(比较审敛法) 设1nnu和1nnv都是正项级数, 且 unvn (n1, 2, ). 推论 设1nnu和1nnv都是正项级数, 且 unkvn(k0, nN). 若1nnv收敛, 则1nnu收敛

2、 若1nnu发散, 则1nnv发散. 若1nnv收敛, 则1nnu收敛 若1nnu发散, 则1nnv发散. 下页上页下页铃结束返回首页 解 下页v定理2(比较审敛法) 例 1 讨论 p级数) 0( 11pnpn的收敛性. 解 当 p1 时, nnp11, 而级数所以级数pnn11也发散. nnp11, 而级数11nn发散, 设un和vn都是正项级数, 且unkvn(k0, nN). 若级数vn收敛, 则级数un收敛 若级数un发散, 则级数vn发散. 上页下页铃结束返回首页, 1p因为当nxn1,11ppxn故nnppxnn1d11nnpxx1d1111) 1(111ppnnp考虑强级数112

3、1) 1(1ppnnn的部分和n111) 1(11ppnkkkn故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .时,1) 1(11pn12) 若上页下页铃结束返回首页 证 因为11) 1(1) 1(12nnnn, 设un和vn都是正项级数, 且unkvn(k0, nN). 若级数vn收敛, 则级数un收敛 若级数un发散, 则级数vn发散. vp级数的收敛性 证 下页v定理2(比较审敛法) p级数pnn11当 p1 时收敛, 当 p1 时发散. 例 2 证明级数1) 1(1nnn是发散的. 而级数111nn发散, 故级数发散, 故级数1) 1(1nnn也发散. 上页下页铃结束返回首页调和级数

4、与 p 级数是两个常用的比较级数.若存在,ZN对一切,Nn,1) 1(nun, ) 1(1)2(pnupn.1收敛则nnu;1发散则nnu上页下页铃结束返回首页v定理3(比较审敛法的极限形式) 设1nnu和1nnv都是正项级数, (1)如果lvunnnlim(0l), 且1nnv收敛, 则1nnu收敛 (2)如果lvunnnlim(0l), 且1nnv发散, 则1nnu发散. 下页 例 3 判别级数11sinnn的收敛性. 解 因为111sinlim nnn, 而级数 解 所以级数11sinnn也发散. 111sinlim nnn, 而级数11nn发散, 上页下页铃结束返回首页 下页 例 4

5、判别级数12)11ln(nn的收敛性. 解 解 因为11)11ln(lim 22nnn, 而级数11)11ln(lim 22nnn, 而级数211nn收敛, 所以级数12)11ln(nn也收敛. v定理3(比较审敛法的极限形式) 设1nnu和1nnv都是正项级数, (1)如果lvunnnlim(0l), 且1nnv收敛, 则1nnu收敛 (2)如果lvunnnlim(0l), 且1nnv发散, 则1nnu发散. 上页下页铃结束返回首页 解 因为101lim 321) 1( 321lim lim 1 nnnuunnnnn下页收敛 当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可能发散. 设1nnu为

6、正项级数, 如果nnnuu1lim, 则当1时级数 v定理4(比值审敛法, 达朗贝尔判别法) 解 所以, 根据比值审敛法可知所给级数收敛. 例5 证明级数 ) 1( 3211 3211211111 n 是收敛的. 101lim 321) 1( 321lim lim 1 nnnuunnnnn101lim 321) 1( 321lim lim 1 nnnuunnnnn, 上页下页铃结束返回首页所以, 根据比值审敛法可知所给级数发散. 下页 例 6 判别级数 10! 10321102110132 nn的收敛性. 解 解 因为101lim ! 1010)!1(lim lim 11nnnuunnnnnn

7、n101lim ! 1010)!1(lim lim 11nnnuunnnnnnn101lim ! 1010)!1(lim lim 11nnnuunnnnnnn, 收敛 当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可能发散. 设1nnu为正项级数, 如果nnnuu1lim, 则当1时级数 v定理4(比值审敛法, 达朗贝尔判别法) 上页下页铃结束返回首页 例 7 判别级数nnn2) 12(1的收敛性. 提示:1) 22() 12(2) 12(lim lim 1nnnnuunnnn所以, 根据比值审敛法可知所给级数收敛. 1) 22() 12(2) 12(lim lim 1nnnnuunnnn1) 2

8、2() 12(2) 12(lim lim 1nnnnuunnnn, 1) 22() 12(2) 12(lim lim 1nnnnuunnnn, 比值审敛法失效. 下页 解 解 因为212) 12(1nnn212) 12(1nnn, 而级数212) 12(1nnn, 而级数211nn收敛, 收敛 当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可能发散. 设1nnu为正项级数, 如果nnnuu1lim, 则当1时级数 v定理4(比值审敛法, 达朗贝尔判别法) 上页下页铃结束返回首页 limn讨论级数)0(11xxnnn的敛散性 .解解: nnnuu1limnxn) 1( 1nxnx根据定理4可知:,1

9、0时当 x级数收敛 ;,1时当 x级数发散 ;.1发散级数nn,1时当 x上页下页铃结束返回首页下页v定理5(根值审敛法, 柯西判别法) 设1nnu为正项级数, 如果nnnulim, 则当1 时级数 收敛 当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可能发散. 例 8 证明级数 1 3121132 nn是收敛的. 01lim 1lim lim nnunnnnnnn所以, 根据根值审敛法可知所给级数收敛. 因为 解 01lim 1lim lim nnunnnnnnn01lim 1lim lim nnunnnnnnn, 上页下页铃结束返回首页v定理5(根值审敛法, 柯西判别法) 设1nnu为正项级数

10、, 如果nnnulim, 则当1 时级数 收敛 当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可能发散. 例 9 判定级数12) 1(2nnn的收敛性. 所以, 根据根值审敛法可知所给级数收敛. 因为 解 21) 1(221limlimnnnnnnu21) 1(221limlimnnnnnnu21) 1(221limlimnnnnnnu, 下页上页下页铃结束返回首页时 , 级数可能收敛也可能发散 .1例如 , p 级数 :11pnnpnnnnu1)(1n说明说明 :,1pnnu 但, 1p级数收敛 ;, 1p级数发散 .上页下页铃结束返回首页证明级数11nnn收敛于S ,似代替和 S 时所产生的误

11、差 . 解解: : nnnnnu1n1)(0n由定理5可知该级数收敛 .令,nnSSr则所求误差为21)2(1) 1(10nnnnnr21) 1(1) 1(1nnnn1) 1(1nnnnn) 1(11111n并估计以部分和 Sn 近 上页下页铃结束返回首页v定理6(极限审敛法) 设1nnu为正项级数, (1)如果)lim(0limnnnnnulnu或, 则级数1nnu发散 (2)如果 p1, 而)0( limllunnpn, 则级数1nnu收敛. 例 10 判定级数12)11ln(nn的收敛性. 因为 解 1)11ln(lim)11ln(limlim22222nnnnnnnnun根据极限审敛法

12、, 知所给级数收敛. 1)11ln(lim)11ln(limlim22222nnnnnnnnun1)11ln(lim)11ln(limlim22222nnnnnnnnun, 下页上页下页铃结束返回首页v定理6(极限审敛法) 设1nnu为正项级数, (1)如果)lim(0limnnnnnulnu或, 则级数1nnu发散 (2)如果 p1, 而)0( limllunnpn, 则级数1nnu收敛. 例 11 判定级数)cos1 ( 11nnn的收敛性. 222232321)(211lim)cos1 (1limlimnnnnnnnunnnnn222232321)(211lim)cos1 (1limli

13、mnnnnnnnunnnnn, 因为 解 根据极限审敛法, 知所给级数收敛. 首页上页下页铃结束返回首页设正项级数1nnu收敛, 能否推出12nnu收敛 ?提示提示:nnnuu2limnnu lim0由比较判敛法可知12nnu收敛 .注意注意: 反之不成立. 例如,121nn收敛 ,11nn发散 .上页下页铃结束返回首页;) 1ln(1) 1 (1nn1. 判别级数的敛散性:.1)2(1nnnn解解: (1),) 1ln(nnnn1) 1ln(111nn发散 , 故原级数发散 .(2)nlimnnn1lim111nn发散 , 故原级数发散 .nnn1n1上页下页铃结束返回首页二、交错级数及其审

14、敛法v交错级数 交错级数是这样的级数, 它的各项是正负交错的. 下页 交错级数的一般形式为11) 1(nnnu, 其中0nu. 1) 1(11nnn是交错级数, 11cos1) 1(nnnn不是交错级数. 例如, 上页下页铃结束返回首页二、交错级数及其审敛法v交错级数 交错级数是这样的级数, 它的各项是正负交错的. 交错级数的一般形式为11) 1(nnnu, 其中0nu. v定理7(莱布尼茨定理) 如果交错级数11) 1(nnnu满足条件: (1)unun1(n1, 2, 3, ) (2)0limnnu, 则级数收敛, 且其和su1, 其余项rn的绝对值|rn|un1. 下页上页下页铃结束返回

15、首页(1)1111nnunnu(n1, 2, ), (2)这是一个交错级数. 解 由莱布尼茨定理, 级数是收敛的, 且其和su11,余项11|1nurnn. 首页则级数收敛, 且其和su1, 其余项rn的绝对值|rn|un1. 如果交错级数11) 1(nnnu满足条件: v定理7(莱布尼茨定理) (1)unun1(n1, 2, 3, ) (2)0limnnu, 因为此级数满足 (n1, 2, ), (2)01limlimnunnn, 例 10 证明级数 1) 1(11nnn收敛, 并估计和及余项. 例12 上页下页铃结束返回首页收敛收敛nn1) 1(4131211) 11!1) 1(!41!3

16、1!211)21nn用Leibnitz 判别法判别法判别下列级数的敛散性:nnn10) 1(104103102101)31432收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?;1) 11nn;!1)21nn.10)31nnn发散收敛收敛上页下页铃结束返回首页 三、绝对收敛与条件收敛v绝对收敛与条件收敛 下页 若级数1|nnu收敛, 则称级数1nnu绝对收敛 若级数1nnu 收敛, 而级数1|nnu发散, 则称级1nnu条件收敛. 例如, 级数1211) 1(nnn是绝对收敛的, 级数111) 1(nnn是条件收敛的. 上页下页铃结束返回首页 三、绝对收敛与条件收敛v绝对收敛与条件收敛 若级数

17、1|nnu收敛, 则称级数1nnu绝对收敛 若级数1nnu 收敛, 而级数1|nnu发散, 则称级1nnu条件收敛. 如果级数1nnu绝对收敛, 则级数1nnu必定收敛. v定理8(绝对收敛与收敛的关系) 应注意的问题: 如果级数1|nnu发散, 我们不能断定级数1nnu也发散. 下页上页下页铃结束返回首页 解 因为|221|sinnnna, 而级数 解 下页 如果级数1nnu绝对收敛, 则级数1nnu必定收敛. v定理8(绝对收敛与收敛的关系) 12|sin|nnna也收敛, 从而级数221|sinnnna, 而级数211nn是收敛的, 所以级数 是收敛的, 所以级数 , 从而级数12sin

18、nnna绝对收敛. 例 11 判别级数12sinnnna的收敛性. 例13 上页下页铃结束返回首页例例14. 证明级数绝对收敛 :.) 1(12nnnen令,2nnenu nnnuu1lim limn12) 1(nennen2211limnnen11e因此12) 1(nnnen12) 1(nnnen收敛,绝对收敛.上页下页铃结束返回首页结束 如果级数1nnu绝对收敛, 则级数1nnu必定收敛. v定理8(绝对收敛与收敛的关系) 解 由2)11 (21|nnnnu, 有 解 121)11 (lim21|limenunnnnn可知0limnnu, 因此级数121)11 (lim21|limenunnnnn121)11 (lim21|