2007年考研高数一真题(附答案)

1、2007年考研数学一真题一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）（1） 当时，与等价的无穷小量是 ( )A. B. C. D.(2) 曲线y= ), 渐近线的条数为 ( )A.0 B.1 C.2 D.3(3)如图，连续函数y=f(x)在区间-3，-2，2，3上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间-2，0，0，2的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)= .则下列结论正确的是 ( )A. F(3)= B. F(3)= C. F(3)= D. F(3)= (4)设函数f（x）在x=0处连续，下列命

2、题错误的是 ( )A. 若存在，则f（0）=0 B. 若 存在，则f（0）=0 C. 若 存在，则=0 D. 若 存在，则=0(5)设函数f（x）在（0, +）上具有二阶导数，且, 令=f(n)=1,2,.n, 则下列结论正确的是 ( )A.若，则必收敛 B. 若，则必发散 C. 若，则必收敛 D. 若，则必发散(6)设曲线L：f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一阶连续偏导数），过第象限内的点M和第象限内的点N,T为L上从点M到N的一段弧，则下列小于零的是 ( )A. B. C. D. （7）设向量组，线形无关，则下列向量组线形相关的是： ( )（A） （B） （C） （D）（8）设

3、矩阵A=，B=，则A于B ( )(A) 合同，且相似 (B) 合同，但不相似(C) 不合同，但相似 (D)既不合同，也不相似（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为： ( )（A）(B) (C) (D) (10) 设随即变量（X，Y）服从二维正态分布，且X与Y不相关，分别表示X，Y的概率密度，则在Yy的条件下，X的条件概率密度为 ( )（A） (B) (C) (D)二填空题：1116小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上（11） _.（12）设为二元可微函数，则_.(13)二阶常系数非齐次线性方程的通解为y_.

4、(14)设曲面：，则_. (15)设矩阵A，则的秩为_.（16）在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于的概率为_.三解答题：1724小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(22)设3阶对称矩阵A的特征向量值是A的属于的一个特征向量,记其中为3阶单位矩阵验证是矩阵的特征向量,并求的全部特征值的特征向量；求矩阵.(23)设二维变量的概率密度为 求；求的概率密度.(24)设总体的概率密度为 ,是来自总体的简单随机样本，是样本均值求参数的矩估计量；判断是否为的无偏估计量,并说明理由.2007年考研数学一真题解析一、选择题（本题共1

5、0小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）（2） 当时，与等价的无穷小量是 (B)A. B. C. D.(2) 曲线y= ), 渐近线的条数为 (D)A.0 B.1 C.2 D.3(3)如图，连续函数y=f(x)在区间-3，-2，2，3上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间-2，0，0，2的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)= .则下列结论正确的是 (C)A. F(3)= B. F(3)= C. F(3)= D. F(3)= (4)设函数f（x）在x=0处连续，下列命题错误的是 (C)A. 若存在，则f（0）=

6、0 B. 若 存在，则f（0）=0 C. 若 存在，则=0 D. 若 存在，则=0(5)设函数f（x）在（0, +）上具有二阶导数，且, 令=f(n)=1,2,.n, 则下列结论正确的是(D)A.若，则必收敛 B. 若，则必发散 C. 若，则必收敛 D. 若，则必发散(6)设曲线L：f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一阶连续偏导数），过第象限内的点M和第象限内的点N,T为L上从点M到N的一段弧，则下列小于零的是 (B)A. B. C. D. （7）设向量组，线形无关，则下列向量组线形相关的是： (A)（A） （B） （C） （D）（8）设矩阵A=，B=,则A于B， (B)(A) 合同

7、，且相似 (B) 合同，但不相似(C) 不合同，但相似 (D)既不合同，也不相似（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为： (C)（A）(B) (C) (D) (10) 设随即变量（X，Y）服从二维正态分布，且X与Y不相关，分别表示X，Y的概率密度，则在Yy的条件下，X的条件概率密度为 (A)（A） (B) (C) (D)二填空题：1116小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。（11） .（12）设为二元可微函数，则.(13)二阶常系数非齐次线性方程的通解为y. (14)设曲面：，则. (15)设矩阵A，则的秩

8、为.（16）在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于的概率为.三、解答题：1724小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【详解】：【详解】【详解】证明：设在内某点同时取得最大值，则，此时的c就是所求点.若两个函数取得最大值的点不同则有设故有，由介值定理，在内肯定存在由罗尔定理在区间内分别存在一点0在区间内再用罗尔定理，即【详解】(1) 将已知条件中代入到微分方程中，整理即可得到：(2) 解题如下【详解】：因为方程组(1)、(2)有公共解，即由方程组(1)、(2)组成的方程组的解.即距阵方程组(3)有解的充要条件为.当时，方程

9、组(3)等价于方程组(1)即此时的公共解为方程组(1)的解.解方程组(1)的基础解系为此时的公共解为：当时，方程组(3)的系数距阵为此时方程组(3)的解为，即公共解为： (22)设3阶对称矩阵A的特征向量值是A的属于的一个特征向量,记其中为3阶单位矩阵验证是矩阵的特征向量,并求的全部特征值的特征向量；求矩阵.【详解】：（）可以很容易验证，于是 于是是矩阵B的特征向量. B的特征值可以由A的特征值以及B与A的关系得到，即 ， 所以B的全部特征值为2，1，1. 前面已经求得为B的属于2的特征值，而A为实对称矩阵， 于是根据B与A的关系可以知道B也是实对称矩阵，于是属于不同的特征值的特征向量正交，设B的属于1的特征向量为，所以有方程如下： 于是求得B的属于1的特征向量为（）令矩阵，则，所以 (23)设二维变量的概率密度为 求；求的概率密度.【详解】：（），其中D为中的那部分区域； 求此二重积分可得 （）