2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅰ)(文科)

1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)(文科) 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟 第卷 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1已知集合 Ax|x3n2，nN，B6，8，10，12，14，则集合 AB 中元素的个数为( ) A5 B4 C3 D2 2已知点 A(0，1)，B(3，2)，向量(4，3)，则向量( ) A(7，4) B(7，4) C(1，4) D(1，4) 3已知复数 z 满足(z1)i1i，则 z( ) A2i B2i C2i D2i 4

2、 如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长， 则称这 3 个数为一组勾股数，从 1，2，3，4，5 中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为( ) A.310 B.15 C.110 D.120 5已知椭圆 E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线 C：y28x 的焦点重合，A，B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则|AB|( ) A3 B6 C9 D12 6. 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部

3、的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有( ) A14 斛 B22 斛 C36 斛 D66 斛 7已知an是公差为 1 的等差数列，Sn为an的前 n 项和，若 S84S4，则 a10( ) A.172 B.192 C10 D12 8函数 f(x)cos(x)的部分图象如图所示，则 f(x)的单调递减区间为( ) A.k14，k34，kZ B.2k14，2k34，kZ C.k14，k34，kZ D.2k14，2k34，kZ 9执行如图所示的程序框图，如果输入的 t0.01，则输出的 n

4、( ) A5 B6 C7 D8 10已知函数 f(x)2x12，x1，log2（x1），x1，且 f(a)3，则 f(6a)( ) A74 B54 C34 D14 11圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为 1620，则 r( ) A1 B2 C4 D8 12 设函数 yf(x)的图象与 y2xa的图象关于直线 yx 对称， 且 f(2)f(4)1，则 a( ) A1 B1 C2 D4 第卷 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上) 13 在数列an中， a12， an

5、12an， Sn为an的前 n 项和 若 Sn126， 则 n_ 14 已知函数 f(x)ax3x1 的图象在点(1， f(1)处的切线过点(2， 7)， 则 a_ 15若 x，y 满足约束条件xy20，x2y10，2xy20，则 z3xy 的最大值为_ 16 已知 F 是双曲线 C： x2y281 的右焦点， P 是 C 的左支上一点， A(0， 6 6) 当 APF周长最小时，该三角形的面积为_ 三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17 (本小题满分 12 分)已知 a， b， c 分别为 ABC 内角 A， B， C 的对边， sin2B2sin Asin C. (1)

6、若 ab，求 cos B； (2)设 B90 ，且 a 2，求 ABC 的面积 18. (本小题满分 12 分)如图， 四边形 ABCD 为菱形， G 为 AC 与 BD 的交点， BE平面 ABCD. (1)证明：平面 AEC平面 BED； (2)若ABC120 ，AEEC，三棱锥 E- ACD 的体积为63，求该三棱锥的侧面积 19(本小题满分 12 分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x(单位：千元)对年销售量 y(单位：t)和年利润 z(单位：千元)的影响对近 8 年的年宣传费 xi和年销售量 yi(i1，2，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量

7、的值 (1)根据散点图判断，yabx 与 ycd x哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程； (3)已知这种产品的年利润 z 与 x，y 的关系为 z0.2yx.根据(2)的结果回答下列问题： 年宣传费 x49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ 年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回归直线 vu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 20(本小题满分 12 分)已知过点 A(0，1)且斜率为 k 的

8、直线 l 与圆 C：(x2)2(y3)21 交于 M，N 两点 (1)求 k 的取值范围； (2)若12，其中 O 为坐标原点，求|MN|. 21(本小题满分 12 分)设函数 f(x)e2xaln x. (1)讨论 f(x)的导函数 f(x)零点的个数； (2)证明：当 a0 时，f(x)2aaln2a. 请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题号 22. (本小题满分 10 分)选修 4- 1：几何证明选讲 如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，BC 交O 于点 E. (1)若 D 为 AC 的中点，证明：DE 是O 的切线； (

9、2)若 OA 3CE，求ACB 的大小 23(本小题满分 10 分)选修 4- 4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x2，圆 C2：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 (1)求 C1，C2的极坐标方程； (2)若直线 C3的极坐标方程为 4(R)，设 C2与 C3的交点为 M，N，求 C2MN 的面积 24(本小题满分 10 分)选修 4- 5：不等式选讲 已知函数 f(x)|x1|2|xa|，a0. (1)当 a1 时，求不等式 f(x)1 的解集； (2)若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围

10、 2015 年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)(文科)参考答案与详解 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟 第卷 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1解析：选 D 集合 A 中元素满足 x3n2，nN，即被 3 除余 2，而集合 B 中满足这一要求的元素只有 8 和 14.故选 D. 2解析：选 A 法一：设 C(x，y)， 则(x，y1)(4，3)， 所以x4，y2， 从而(4，2)(3，2)(7，4)故选 A. 法二：(3，2)(0，1)(3，1)， (

11、4，3)(3，1)(7，4)故选 A. 3解析：选 C (z1)ii1，z1i1i1i， z2i，故选 C. 4解析：选 C 从 1，2，3，4，5 中任取 3 个不同的数共有如下 10 个不同的结果：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，其中勾股数只有(3，4，5)，所以概率为110.故选 C. 5解析：选 B 抛物线 y28x 的焦点为(2，0)， 椭圆中 c2， 又ca12，a4，b2a2c212， 从而椭圆的方程为x216y2121. 抛物线 y28x 的准线为 x

12、2， xAxB2， 将 xA2 代入椭圆方程可得|yA|3， 由图象可知|AB|2|yA|6.故选 B. 6.解析：选 B 设米堆的底面半径为 r 尺，则2r8，所以 r16，所以米堆的体积为 V1413r2 512162 53209(立方尺)故堆放的米约有32091.6222(斛)故选 B. 7解析：选 B 公差为 1， S88a18 （81）2 18a128，S44a16. S84S4，8a1284(4a16)，解得 a112， a10a19d129192.故选 B. 8解析：选 D 由图象知，周期 T254142， 22，. 由 1422k， 得 42k，kZ，不妨取 4， f(x)co

13、sx4. 由 2kx42k， 得 2k14x0.01； 运行第二次：S0.50.250.25，m0.125，n2，S0.01； 运行第三次：S0.250.1250.125，m0.062 5，n3，S0.01； 运行第四次：S0.1250.062 50.062 5，m0.031 25，n4，S0.01； 运行第五次：S0.031 25，m0.015 625，n5，S0.01； 运行第六次：S0.015 625，m0.007 812 5，n6，S0.01； 运行第七次：S0.007 812 5，m0.003 906 25，n7，S0，所以 2a11 无解； 若 a1，则log2(a1)3， 解得

14、a18，a7， 所以 f(6a)f(1)211274. 综上所述，f(6a)74.故选 A. 11解析：选 B 如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为 r，圆柱的底面半径为 r，高为 2r，则表面积 S12 4r2r24r2 r 2r(54)r2.又 S1620， (54)r21620， r24，r2，故选 B. 12解析：选 C 设(x，y)为 yf(x)图象上任意一点， 则(y，x)在 y2xa的图象上， 所以有x2ya， 从而有yalog2(x)(指数式与对数式的互化)， 所以 yalog2(x)， 即 f(x)alog2(x)， 所以 f(2)f(4)(alog22)

15、(alog24)(a1)(a2)1，解得 a2.故选 C. 第卷 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上) 13解析：a12，an12an， 数列an是首项为 2，公比为 2 的等比数列 又Sn126，2（12n）12126，n6. 答案：6 14解析：f(x)3ax21， f(1)3a1. 又 f(1)a2， 切线方程为 y(a2)(3a1)(x1) 切线过点(2，7)，7(a2)3a1，解得 a1. 答案：1 15 解析：画出可行域(如图所示) z3xy， y3xz. 直线 y3xz 在 y 轴上截距最大时，即直线过点 B 时，z 取得最大值 由x

16、y20，x2y10，解得x1，y1，即 B(1，1)， zmax3 114. 答案：4 16解析：由双曲线方程 x2y281 可知，a1，c3，故 F(3，0)，F1(3，0) 当点 P 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|PF1|2，所以|PF|PF1|2，从而 APF 的周长|AP|PF|AF|AP|PF1|2|AF|. 因为|AF|32（6 6）215 为定值， 所以当(|AP|PF1|)最小时， APF 的周长最小， 由图象可知，此时点 P 在线段 AF1与双曲线的交点处(如图所示) 由题意可知直线 AF1的方程为 y2 6x6 6， 由y2 6x6 6，x2y281， 得 y

17、26 6y960， 解得 y2 6或 y8 6(舍去)， 所以 S APFS AF1FS PF1F 12 6 6 612 6 2 612 6. 答案：12 6 三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17解：(1)由题设及正弦定理可得 b22ac. 又 ab，可得 b2c，a2c. 由余弦定理可得 cos Ba2c2b22ac14. (2)由(1)知 b22ac. 因为 B90 ，由勾股定理得 a2c2b2， 故 a2c22ac，进而可得 ca 2. 所以 ABC 的面积为12 2 21. 18.解：(1)证明：因为四边形 ABCD 为菱形，所以 ACBD. 因为 BE平面 AB

18、CD，所以 ACBE. 故 AC平面 BED. 又 AC 平面 AEC， 所以平面 AEC平面 BED. (2)设 ABx，在菱形 ABCD 中，由ABC120 ，可得 AGGC32x，GBGDx2. 因为 AEEC，所以在 Rt AEC 中，可得 EG32x. 由 BE平面 ABCD，知 EBG 为直角三角形， 可得 BE22x. 由已知得，三棱锥 E- ACD 的体积 V三棱锥E- ACD1312 AC GD BE624x363， 故 x2. 从而可得 AEECED 6. 所以 EAC 的面积为 3， EAD 的面积与 ECD 的面积均为 5. 故三棱锥 E- ACD 的侧面积为 32 5

19、. 19解：(1)由散点图可以判断，ycd x适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型 (2)令 w x，先建立 y 关于 w 的线性回归方程 cydw56368 6.8100.6， 所以 y 关于 w 的线性回归方程为 y100.668w， 因此 y 关于 x 的回归方程为 y100.668 x. (3)由(2)知，当 x49 时， 年销售量 y 的预报值 y100.668 49576.6， 年利润 z 的预报值 z576.6 0.24966.32. 根据(2)的结果知，年利润 z 的预报值 z0.2(100.668 x)xx13.6 x20.12. 所以当 x13.626.8

20、，即 x46.24 时，z取得最大值 故年宣传费为 46.24 千元时，年利润的预报值最大 20解：(1)由题设可知直线 l 的方程为 ykx1. 因为直线 l 与圆 C 交于两点，所以|2k31|1k21， 解得4 73k0，f(x)没有零点； 当 a0 时，设 u(x)e2x，v(x)ax， 因为 u(x)e2x在(0，)上单调递增，v(x)ax在(0，)上单调递增， 所以 f(x)在(0，)上单调递增 又 f(a)0，当 b 满足 0ba4且 b14时，f(b)0 时，f(x)存在唯一零点 (2)证明：由(1)，可设 f(x)在(0，)上的唯一零点为 x0，当 x(0，x0)时，f(x)0. 故 f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增， 所以当 xx0时，f(x)取得最小值，