直线与平面平行和平面与平面平行

1、高直线与平面平行和平面与平面平行高考要求 1掌握空间直线和平面的位置关系；2掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定理实现“线线”“线面”平行的转化 3掌握空间两个平面的位置关系，掌握两个平面平行的定义；4掌握两个平面平行的判定定理及性质定理，灵活运用面面平行的判定定理和性质定理实现“线面”“面面”平行的转化知识点归纳 1直线和平面的位置关系（1）直线在平面内（无数个公共点）；符号表示为:，（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；符号表示为: ，（3）直线和平面平行（没有公共点）用两分法进行两次分类符号表示为: 2线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一

2、条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行推理模式：3 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行推理模式：4平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行5图形表示：画两个平面平行时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行的6平行平面的判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行推理模式：，7平行平面的判定定理推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行推理模式：8平行平面的性质定理：如果两个平行平面同

3、时与第三个平面相交，那么它们的交线平行推理模式：9面面平行的另一性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面推理模式：题型讲解 例1 如下图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，MAC，NFB且AM=FN，求证：MN平面BCE证法一：过M作MPBC，NQBE，P、Q为垂足，连结PQMPAB，NQAB，MPNQ又NQ= BN=CM=MP，MPQN是平行四边形MNPQ，PQ平面BCE而MN平面BCE，MN平面BCE证法二：过M作MGBC，交AB于点G（如下图），连结NGMGBC，BC平面BCE，MG平面BCE，MG平面BCE又=，GNAFBE，同样可证明GN平

4、面BCE又面MGNG=G，平面MNG平面BCE又MN平面MNGMN平面BCE点评：证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行 例2 如下图，正方体ABCDA1B1C1D1中，侧面对角线AB1、BC1上分别有两点E、F，且B1E=C1F求证：EF平面ABCD 证法一：分别过E、F作EMAB于点M，FNBC于点N，连结MNBB1平面ABCD，BB1AB，BB1BCEMBB1，FNBB1EMFN又B1E=C1F，EM=FN故四边形MNFE是平行四边形EFMN又MN在平面ABC

5、D中，EF平面ABCD证法二：过E作EGAB交BB1于点G，连结GF，则=B1E=C1F，B1A=C1B，=FGB1C1BC又EGFG=G，ABBC=B，平面EFG平面ABCD而EF在平面EFG中，EF平面ABCD点评：证明线面平行的常用方法是：证明直线平行于平面内的一条直线；证明直线所在的平面与已知平面平行例3 已知正四棱锥PABCD的底面边长及侧棱长均为13，M、N分别是PA、BD上的点，且PMMA=BNND=58 （1）求证：直线MN平面PBC；（2）求直线MN与平面ABCD所成的角（1）证明：PABCD是正四棱锥，ABCD是正方形连结AN并延长交BC于点E，连结PE ADBC，ENAN

6、=BNND又BNND=PMMA，ENAN=PMMAMNPE又PE在平面PBC内，MN平面PBC（2）解：由（1）知MNPE，MN与平面ABCD所成的角就是PE与平面ABCD所成的角设点P在底面ABCD上的射影为O，连结OE，则PEO为PE与平面ABCD所成的角 由正棱锥的性质知PO=由（1）知，BEAD=BNND=58，BE=在PEB中，PBE=60°，PB=13，BE=，根据余弦定理，得PE=在RtPOE中，PO=，PE=，sinPEO=故MN与平面ABCD所成的角为arcsin点评：证线面平行，一般是转化为证线线平行求直线与平面所成的角一般用构造法，作出线与面所成的角本题若直接求

7、MN与平面ABCD所成的角，计算困难，而平移转化为PE与平面ABCD所成的角则计算容易可见平移是求线线角、线面角的重要方法当然，也可以建立坐标系，用向量法求角，后面有专门的介绍例4 如下图，设a、b是异面直线，AB是a、b的公垂线，过AB的中点O作平面与a、b分别平行，M、N分别是a、b上的任意两点，MN与交于点P，求证：P是MN的中点证明：连结AN，交平面于点Q，连结PQb，b平面ABN，平面ABN=OQ，bOQ又O为AB的中点，Q为AN的中点 a，a平面AMN且平面AMN=PQ，aPQP为MN的中点点评：本题重点考查直线与平面平行的性质例5 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1BC1，A

8、B=CC1=a，BC=b（1）设E、F分别为AB1、BC1的中点，求证：EF平面ABC；（2）求证：A1C1AB；（3）求点B1到平面ABC1的距离（1）证明：E、F分别为AB1、BC1的中点，EFA1C1A1C1AC，EFACEF平面ABC （2）证明：AB=CC1，AB=BB1又三棱柱为直三棱柱，四边形ABB1A1为正方形连结A1B，则A1BAB1又AB1BC1，AB1平面A1BC1AB1A1C1又A1C1AA1，A1C1平面A1ABB1A1C1AB（3）解：A1B1AB，A1B1平面ABC1A1到平面ABC1的距离等于B1到平面ABC1的距离过A1作A1GAC1于点G，AB平面ACC1A

9、1，ABA1G从而A1G平面ABC1，故A1G即为所求的距离，即A1G= 评述：本题（3）也可用等体积变换法或向量法求解例6 如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直，点M在直线AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a，（0<a<）求证： MN平面CBE求MN的长度当a为何值时，MN的长度最小分析：证明直线与平面平行的基本方法是，在平面内找一条直线与平面外的已知直线平行证明（1）：作MPAB交BC于P，作NQAB交BE于Q，连结PQ，依题意易证CMPBNQ，所以MPNQ，从而MNPQ是平行四边形，MNPQ，从而得MN平面CBE（2）由（1

10、）知MN=PQ=，由CM=BN=a,CB=AB=BE=1，得AC=BF=，CP=，BQ=，MN=PQ=（3）由（2）有：MN=所以，当a=时，MN取最小值（即M，N分别在AC，BF的中点时，MN的长度最小）另解：（1）建立空间直角坐标系如图，则M（又平面CBE的一个法向量 又点M平面CBE，平面CBE（2）由两点距离公式得|例7 如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，M，N，Q分别是棱A1A，A1B1，A1D1，CB，CC1，CD的中点，求证：平面EFG平面MNQ分析：只要证明平面EFG内的两条相交直线EF，FG分别与平面MNQ内的两条直线QN和MQ平行即可证法一：

11、由已知EFAB1，AB1DC1，DC1QN，EFQN，同理FGMQ所以，面EFGMNQ证法二：建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为2，则E（0，0，1），F（1，0，2），G（0，1，2），M（2，1，0），N（2，2，1），Q（1，2，0）=（1，0，1），=（1，0，1），=（-1，1，0），=，EFQN，FGMQ，又EFFG=F，QNMQ=Q，所以，平面EFG平面MNQ小结:1证明两直线平行的常用的方法有（1）定义法，即证两线共面且无公共点（2）证明两直线都与第三条直线平行（3）同一法，即先过一直线上的一点作另一条直线的平行线，然后证明所作直线与第一条直线重合（4）应用两平面平行的

12、性质定理，设法使两直线成为两平行平面与第三个平面的交线2证明直线与平面平行的常用方法有：（1）根据定义，用反证法证明（2）证明直线在平面外且与平面内的某一条直线平行（3）证明直线在与已知平面平行的平面内（4）向量法，证明直线的一个方向向量，能用已知平面内的一个基底表示, 或与平面的法向量垂直 3证明两平面平行的常用方法有：（1）根据定义用反证法证明（2）证明一平面内的两相交直线与另一平面平行（或与另一平面内的两条相交直线平行）（3）证明两平面都垂直于同一条直线4解题中，要注意灵活地实施下面的转化，使立体几何问题转化为平面几何问题，从而使问题简化学生练习 1设有平面、和直线m、n，则m的一个充分

13、条件是A且m B=n且mnCmn且nD且m答案：D2设m、n是两条不同的直线，、是三个不同的平面给出下列四个命题，其中正确命题的序号是若m，n，则mn 若，m，则m 若m，n，则mn 若，则ABCD解析：显然正确中m与n可能相交或异面考虑长方体的顶点，与可以相交答案：A3一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是A异面B相交C平行D不能确定解析：设=l，a，a，过直线a作与、都相交的平面，记=b，=c，则ab且ac，bc又b，=l，blal答案：C4两条直线a、b满足ab，b，则a与平面的关系是Aa Ba与相交Ca与不相交Da答案：C5a、b是两条异面直线，A

14、是不在a、b上的点，则下列结论成立的是A过A有且只有一个平面平行于a、bB过A至少有一个平面平行于a、bC过A有无数个平面平行于a、bD过A且平行a、b的平面可能不存在解析：过点A可作直线aa，bb，则ab=Aa、b可确定一个平面，记为如果a，b，则a，b由于平面可能过直线a、b之一，因此，过A且平行于a、b的平面可能不存在答案：D6设平面平面，A、C，B、D，直线AB与CD交于点S，且AS=8，BS=9，CD=34，当S在、之间时，SC=_，当S不在、之间时，SC=_解析：ACBD，SACSBD，SC=16，SC=272答案：16 2727设D是线段BC上的点，BC平面，从平面外一定点A（A

15、与BC分居平面两侧）作AB、AD、AC分别交平面于E、F、G三点，BC=a，AD=b，DF=c，则EG=_解析：解法类同于上题答案：8已知RtABC的直角顶点C在平面内，斜边AB，AB=2，AC、BC分别和平面成45°和30°角，则AB到平面的距离为_解：分别过A、B向平面引垂线AA、BB，垂足分别为A、B设AA=BB=x，则AC2=（）2=2x2，BC2=（）2=4x2又AC2+BC2=AB2，6x2=（2）2，x=2答案：29在四面体ABCD中，M、N分别是面ACD、BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是_解析：连结AM并延长，交CD于E，连结BN并延长交CD于

16、F，由重心性质可知，E、F重合为一点，且该点为CD的中点E，由=得MNAB，因此，MN平面ABC且MN平面ABD答案：平面ABC、平面ABD10已知a、b为不垂直的异面直线，是一个平面，则a、b在上的射影有可能是两条平行直线；两条互相垂直的直线；同一条直线；一条直线及其外一点在上面结论中，正确结论的编号是_（写出所有正确结论的编号）解析：A1D与BC1在平面ABCD上的射影互相平行；AB1与BC1在平面ABCD上的射影互相垂直；DD1与BC1在平面ABCD上的射影是一条直线及其外一点答案：11如下图，四棱锥PABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA底面ABCD，侧面PBC内有BEPC于E，且BE= a，试在AB上找一点F，使EF平面PAD解：在面PCD内作EGPD于G，连结AGPA平面ABCD，CDAD，CDPDCDEG又ABCD，EGAB若有EF平面PAD，则EFAG，四边形AFEG为平行四边形，得EG=AFCE=a，PBC为直角三角形，BC2=CE·CPCP=a，=故得AFFB=21时，EF平面PAD12如下图，设P为长方形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PD上的点，且=，求证：直线MN平面PBC分析：要证直线MN平面PBC，只需证明MN平面PBC内的一条直线或MN所在的某个平面平面PBC证法一：过N作NRDC