状态空间分析法的特点及其应用

1、状态空间分析法的主要特点及其应用1.引言60年代以前,研究自动控制系统的传统方法 主要使用传递函数作为系统的数学描述,研究对象是 SISO 系统,这样建立起来的理论就是现在所说的“古典控制理论”。随着宇航和生产技术的发展及电子计算机的出现,控制系统日渐复杂(MIMO ,时变,不确定,耦合,大规模,传统的研究方法难以适应新的形势。在 50s'后期,Bellman 等人提议使用状态变量法,即状态空间法来描述系统,时至今日,这种方法已成为现代控制理论的基本模型和数学工具。所谓状态空间是指以状态变量n 21X X X ,为轴所构成的n 维向量空间。这样,系统的任意状态都可以用状态空间中的一个点

2、表示。利用状态空间的观点分析系统的方法称为状态空间法,状态空间法的实质不过是将系统的运动方程写成一阶微分方程组,这在力学和电工上早已使用,并非什么新方法,但用来研究控制系统时具有如下优点。1、适用面广:适用于 MIMO 、时变、非线性、随机、采样等各种各样的系统,而经典法主要适用于线性定常的 SISO 系统。2、 简化描述,便于计算机处理:可将一阶微分方程组写成向量矩阵方程, 因而简化数学符号,方便推导,并很适合于计算机的处理,而古典法是拉氏变换法,用计算机不太好处理。3、内部描述:不仅清楚表明 I-O 关系,还精确揭示了系统内部有关变量及初始条件同输出的关系。4、有助于采用现代化的控制方法

3、:如自适应控制、最优控制等。上述优点便使现代控制理论获得了广泛应用,尤其在空间技术方面还有极大成功。状态空间法的缺点:1、不直观,几何、物理意义不明显:不象经典法那样, 能用 Bode 图及根轨迹进行直观的描述。对于简单问题,显得有点烦琐。2、对数学模型要求很高:而实际中往往难以获得高精度的模型,这妨碍了它的推广和应用。2.状态空间分析法在部分系统中的应用2.1状态空间分析法在PWM 系统中的应用状态空间分析法不仅适用于时变系统(例如PWM 系统,而且可以将其简化,同时便于计算机处理。在许多控制系统中,包括直流和交流电源系统,采用了脉冲宽度调制(卫WM方式。可用于计算机和重要负荷的UPS(不停

4、电供电电源,采用PWM ,除对输出电压进行调节外,还可通过合理选择每周期脉冲数,消除指定的高次谐波,并可加快系统的动态响应速度。在对DC 一Dc 变换器等只具有正脉冲调制的系统分析中,如满足一定条件,则可运用状态空间平均值法。对交变的PWM 系统,每周期系统状态变化较大,有的变量正负值交替变化,因而不能运用平均值法分析,故采用状态空间分析方法。PWM 系统通常均含开关器件,不同的脉冲间隔对应于开关器件的不同状态,即器件的导通或开断。开关状态的变化引起系统结构或参数的变化,则描述系统运动过程的状态方程也相应改变。设输出脉冲波形如图1所示,每周期有k 个脉冲,正负脉冲数各一半,且设每个脉冲前沿可调

5、,其时刻记为j t ,j=l ,3,5,2k 一1,为奇数;脉冲后沿固定,记为l t ,l=2,4,2k ,为偶数。记在时间1-h h t t -内状态方程的系统矩阵A ,输入矩阵B 和输出矩阵C 分别记为,h h h C B A h=1,2,2k 。则系统在各脉冲间隔内的状态方程为: h h h 1-h h t t t y B X A X X C U +=, 由于一周期T 内各脉冲宽度相等;记为n D 。两个脉冲间隔为KT 。则零电平宽度为n n D K T H -=。对各区间引入逻辑变量(t d i 。 (t d -1t d i i =则描述多脉冲系统的多组状态方程式可写成如下一个完整的表

6、达式:(t U t B t X t A X t X t C y +=t t式中(=-=-=-+=+=+=ki ii i i k i i i i i k i ii i i C t d C t d t C B t d B t d t B A t d A t d t A 1212'1212'1212'分析对上式有以下结论:(l、多脉冲调制系统为时变系统,其状态方程具有时变系数A(t,B(t,C(t。(2、如果const D n =,系统处于定宽稳定工作状态,即在无扰动情况下,PWM 系统为周期时变的线性系统,其周期为T ,即有(T t A t A +=,(T t B t B

7、+=, (T t C t C +=(3、在扰动及控制作用下,(t B t A H D ,n n 为系统状态与激励的函数,此时系统为时变非线性的。当系统存在扰动作用时,设(D K T H n D D U U d U -=+=+=,t t n 有(=- +-+-n,(,sgn(0D T k i n D T k i n t D Dn t d i ,其它 式中(-+=101sgn z 如果000=z z z系统状态变量在扰动作用下变化为:(t Xt X X +=t 在无扰动作用时则系统的稳态方程为: (=-=-+=k i i i i k i i i iX B t d B t d A t d A t d

8、 12i 12'12i 12'U x 由于所选状态量在逆变器改变工作量较大。由于所选状态变量在逆变器改变工作状态时均为连续的,故采用递推方法求解。状态方程组采用定步长四阶龙格一库格法求解,步长h=0.0004s ,计算换向过程的步长改为h=0.00001s 通过计算机进行求解。多脉冲宽度调制系统由于其内部非线性开关器件状态的变化,使其电路结构或参数也发生相应变化,因而描述系统运动过程需用多组状态方程,即为非线性时变系统。在引入一些反映系统工作特点的变量后,通过给出完整的系统状态方程式和当存在扰动系统进行PWM 时系统的稳态及动态方程,并求出了稳态解。用这些方程可对系统进行计算机

9、辅助分析。这种方法还可用于系统的CAD ,例 如改变滤波器的结构或参数,通过计算对各种方案进行比较,从中择优。2。2状态空间分析法在化工系统中的应用状态空间分析法不仅适用于多变量、非线性的系统,而且可以用于系统预测,能从一定深度上揭示系统运动的规律和机制,较全面地反映系统各种因素和变量之间的相互联系。化工过程通常是多变量、非线性的,将过程多个变量反映到一个多维状态数据空间里,采用状态空间方法分析可以更全面、直观和有效地描述过程状态的变化。多变量分析方法中的主成分分析PCA(Principle Component Analysis是目前常用的方法。独立成分分析ICA(Independent Co

10、mponent Analysis是近几年在PCA 基础上发展起来的一种新方法,分解出的各分量之间相互独立的特点,使ICA 在信号处理领域,尤其是盲源信号分离(Blind Source Separation方面受到广泛的关注。化工过程的状态空间是确定的,可以通过过程的性质作出确定地判断。通过ICA 算法从状态空间中计算出对应的独立分量,实现了过程状态空间确定。通过仿真,证实了这种状态空间确定方法的合理性。2。2。1多变量化工过程的状态空间表征系统运动的信息称为系统状态(States,确定系统状态的一组独立(数目最少的变量称为状态变量。如果状态变量有n 个,一般记为X1,X2,Xn 。把描述系统状

11、态的状态向量看作向量X 的分量,则称X 为n 维状态向量,记为T n 21X X ,X X ,时间总是独立的,在状态空间中独占一维,给定t=t0时初始状态向量X(t0及t t0的输入向量,则t t0的系统状态可由状态向量X(t唯一确定。如果用函数进行表示,则:State=f(符合基本单位变量的集。下面分别对各子集中所包含的变量进行枚举:时间是统一的,t 集合中元素个数等于1。M 和N 是有关体系物料组成的变量,在过程中如果总共存在k 种物质,那么可以对应于i 个独立组成成份。物质的质量和量(摩尔数存在线性相关,可以用系统所包含的原子数乘原子量(常数得到质量,所以,M 和N 的交集中元素的数目为

12、i 。按照集中参数考虑系统,那么温度在均匀流股中是一致的,用一个变量表示,T 集合中的元素个数等于1。在L 集中,用长度描述三维几何空间,空间中所有变量,都可以表示为不大于3个长度变量的线性组合,所以L 集的元素个数不大于3,其个数用j 表示。在上述集合之间不存在交集,因此作为上述集合的并集,系统中具有基本单位变量的集合中,元素的个数等于各子集的元素数量之和。通过以上推论,得到结论:描述一个正常运行的化工过程,按照集中参数进行考虑,用来描述其状态的独立变量数目DN=2+i+j 式中i 表示系统中独立组分的数量,i 1;j 表示需要考虑的三维几何空间的维数,j 3。如果用时间序列对系统进行描述,

13、时间序列的数目SLN=1+i+j 。根据Duhem 定律,考虑的是系统的稳态行为,流股按照线性描述,依据本文所述结论:1+1+i=i+2。结论是一致的。确定了空间维数,可以找出和维数对应的实际存在的或者概念上定义的最小变量组作为状态变量对系统进行描述,同时选择有效信息损失最少和更符合过程机理特征的算法来表征系统特性。在一定的邻域内,非线性化工过程可以按照线性系统描述以简化问题的难度。按照线性状态空间,确定的空间内的变换不会增加空间维数。多变量分析方法的样本存在于状态空间中或通过状态输出方程来表达。采用多变量统计的方法在数据空间内进行变换,可以实现变量去相关和特征提取,从而获得不相关的变量组。对

14、于线性系统,多变量线性统计方法的不相关分量数目等于系统状态变量数目,得到的不相关分量是状态空间坐标变换后的一组状态变量;对于非线性的线性近似,当指定了最小变量数目后,通过多变量统计方法获得的变量组也可以被认为是线性近似的状态变量的线性变换。状态空间可以通过多变量统计来近似确定。2。2。2。1主成分分析主成分分析是应用最广的多变量统计方法,该方法在数据空间内寻找原始数据样本的离差最大方向,通过去相关确定一个正交坐标系,按照离差降低顺序,选取其中主要的几个向量(主成分或主元,省略样本分布密度低的向量完成数据降维。Karhunen-Loeve 变换(KL 变换是线性主成分分析的空间变换方法。KL 变

15、换的原理如下:设X 是经标准化的含m 个变量n 个样本的样本集,矩阵X 可以分解为m 个向量的外积之和。 即 式中T 称为得分(Score矩阵。P 称为负荷(Load-ing矩阵,即多维空间内的正交坐标系,其中j T i p p = 0(i j,j Ti p p =1( i=j。 式中是P 的特征值数组。主成分Tj 对系统信息贡献率: 从统计学观点,累计主成分贡献率大于80%,可认为能够基本反映系统信息。分量贡献率是目前多。变量分析方法判断能否正确反映系统的一个重要标准。KL 变换是线性的,非线性状态可以用线性方法近似描述。以下算例通过分量贡献率来说明多变量统计方法描述的近似程度。构造矩阵X1

16、,X2,X3:构造的坐标系是正交的。ICA 不仅实现了去相关(二阶统计独立，而且要求各高 阶统计量独立，寻找一个线性但不一定正交的坐标系来表示多维数据。 下图显示了两种分析方法的分量确定情况。 在前面的分析中可以看出， 过程的最小独立变量数目是确定的，系统的变化 是由过程状态变量的变化引起的。对过程进行 ICA 计算，指定独立信源的数目， 将过程独立变量求解变成盲源信号分离问题，那么，所得到的独立分量可以作为 状态空间描述的一组状态分量。通过 ICA 方法对一个确定的化工过程进行计算， 分离出了状态空间中的确定的状态概念分量。 通过对一个典型化工反应流程进行仿真计算， 多变量分析确定的状态空间和 化工机理分析结果是一致的。ICA 是一种有效的状态空间分析方法，和 PCA 方 法不同，ICA 可以获得具有明确解释的独立分量。对于确定的状态空间，获取的 分量是确定的，并保持相对稳定。当分量数目和状态空间维数一致时，ICA 分量 的解释和状态