数学本质概念平面图形

1、數學本質概念平面圖形目次一、認知結構2二、綱要結構3三、數學結構9（一）、平面圖形初步概念9（二）、平面圖形的辨別91.角92.三角形93.四邊形104.圓形115.正多邊形126.線對稱137.點對稱13四、兒童辨認平面圖形的迷思概念14一、認知結構理論基礎兒童的幾何概念如何發展呢? Piaget 等人 (Piaget, Inhelder & Szeminska 1960) 研究兒童的幾何概念發展，隨著兒童年齡的成長對於空間知覺能力的進展，所呈現出的幾何性質(geometrical properties)有下列漸近之分化拓樸性(topological)、投影性 (projective

2、)、歐幾里得性 (Euclidean)。Piaget 理論的研究重點在於兒童發展幾何概念的思考模式，探討幾何概念形成的運思程序，從最初發展的拓樸關係，到投影再到歐基里德關係，是屬於年齡取向的階段論，注重發展的過程。Piaget 有關兒童的空間概念發展主要是與年齡有關，相對於這個論點，Van Hiele 夫婦提出的兒童幾何思考五個發展層次的主要論點，認為幾何的思考有一定的發展層次，而經由老師適當的引導，兒童可由較低的思考層次逐步提升到較高的思考層次。van Hiele 夫婦的五個思考層次，兒童大都屬於前三期，以下就前三期的特徵描述之（Shaughnessy and Burger,1986）：(1

3、)層次 0視覺期(Visuality)在這個層次的兒童能透過圖形的整體輪廓辨認，去學習辭彙及辨認或再造出一個與指定的圖形相同的圖形，但不能利用圖形的特徵或組成要素來分析。(2)層次 1分析期(Analysis)在這個層次的兒童能分析圖形特徵及組成要素，但不能解釋性質之間的關係。他們可經由觀察與實驗操作的方式辨認圖形的特徵，發現某一群體的共有性質或規則。（3）層次 2非形式化的演繹期(Informal deduction)在這個層次的兒童能建立圖形特徵的內在關係，他們能瞭解、掌握、運用構成圖形的各種要素，並且能夠更進一步探求各種圖形特徵，以及各圖形間的包含關係。van Hie1e 模式是許多研究

4、者從事幾何概念發展研究作為理論基礎的依據，劉好（民）指出國小低年級學童大都屬於最初的層次 O（視覺辨認），因此他們對於幾何圖形的理解，需藉由實物，不斷地具體經驗學習，以豐富他們的視覺經驗之後，可循序進到下一層次。二、綱要結構國小幾何課程內涵之學習架構分析瞭解國小幾何課程內容可概分如下：一年級到三年級：強調幾何形體的認識探索與操作，並隨著新幾何概念的學習，加深對簡單幾何形體的理解。例如，在二年級學習長度的度量後，便以邊長來認識簡單幾何形體，在三年級學習平行與垂直的概念後，又可以用這些概念來認識簡單幾何形體。四年級到五年級：由於數與量的發展漸成熟，學生開始結合數與形兩大主題，學習運用幾何形體的構成

5、要素（如角、邊、面）及其數量性質（如角度、邊長、面積），來敘述幾何形體的性質，或刻畫、區分幾何形體，並利用數量關係作簡單的推理。六年級到九年級：開始由具體操作情境進入推理幾何情境中，最終目標是學會推理幾何證明，學習內容採漸進式安排，由基本幾何概念進入較深入的幾何推理領域中，學習方式最開始可由填充式推理幾何，慢慢養成完整能力，讓學生有能力及信心，快樂地學習幾何學領域知識。教材內含有認識生活中的平面圖形三角形、四邊形、多邊形、圓形；認識點、線、角、符號及幾何相關名詞；使用基本性質描述某一類形體；能以最少性質對幾何圖形下定義、並熟練定義的相關操作；體會邏輯概念：包含關係、敘述及逆敘述、推理幾何；求角

6、度問題、長度問題、面積（表面積）問題、體積問題；推理證明、尺規作圖、全等性質、相似性質、平行性質的應用、圓的相關性質。主軸類別主軸內容分年細目指標G1分析幾何形體之特徵及其性質1.辨認、分類、描述、命名幾何形體（包含平面圖形與立體形體）。1-s-02能辨認、描述與分類簡單平面圖形與立體形體。2-s-06能由邊長關係，認識簡單平面圖形與立體形體。4-s-01能運用角與邊等構成要素，辨認簡單平面圖形。5-s-06能運用頂點、邊與面等構成要素，辨認簡單立體形體。6-s-05能認識直圓錐、直圓柱與直角柱。2.描繪、仿製、建造幾何形體。1-s-03能描繪或仿製簡單平面圖形。1-s-04能依給定圖示，將簡

7、單形體作平面舖設與立體堆疊。3.辨認、描述形體之屬性及其部分（如角、直線、平面）。1-s-01能認識直線與曲線。2-s-01能認識周遭物體上的角、直線與平面（含簡單立體形體）。2-s-05能認識面積，並作直接比較。（同2-n-17）2-s-06能由邊長關係，認識簡單平面圖形與立體形體。3-s-04能認識角，並比較角的大小。（同3-n-17）4-s-05能理解旋轉角的意義。5-s-03能認識圓心角，理解180度、360度的意義，並認識扇形。4.理解形體的組成要素及其關係。2-s-06能由邊長關係，認識簡單平面圖形與立體形體。3-s-01能認識平面圖形的內部、外部與其周界。3-s-02能認識周長，

8、並實測周長。3-s-03能使用圓規畫圓，認識圓的圓心、圓周、半徑與直徑。【3-s-07】透過複製三角形、四邊形的邊、頂點及角的活動，加深了解其構成要素。4-s-01能運用角與邊等構成要素，辨認簡單平面圖形。4-s-02能透過操作，認識基本三角形與四邊形的簡單性質。【4-s-12】認識球的剖面及其組成要素。5-s-01能透過操作，理解三角形三內角和為180度。5-s-02能透過操作，理解三角形任意兩邊和大於第三邊。5.理解垂直、平行等性質及其關係。2-s-02能認識生活周遭中水平、鉛直、平行與垂直的現象。4-s-06能理解平面上直角、垂直與平行的意義。4-s-07能由直角、垂直與平行的概念，認識

9、簡單平面圖形。4-s-08能利用三角板畫出直角與兩平行線段，並用來描繪平面圖形。5-s-08能認識面的平行與垂直，並描述正方體與長方體中面與面的平行與垂直關係。G2空間方位的描述與表徵1.使用適當方位語詞或座標系統描述物體在空間中的位置及關係。1-s-05能描述某物在觀察者的前後、左右、上下及兩個物體的遠近位置。【4-s-11】認識東西南北及八方位，並能應用。【5-s-09】認識並使用座標系統表示物體的位置，並描述移動路徑。2.依空間中物體的位置關係，描述物體移動路徑及方向。【1-s-06】運用方位指示詞描述物體移動的路徑與方向，並判別路徑長短。【4-s-11】認識東西南北及八方位，並能應用。

10、【5-s-09】認識並使用座標系統表示物體的位置，並描述移動路徑。3.判別並計算物體在空間位置中的距離關係。1-s-05能描述某物在觀察者的前後、左右、上下及兩個物體的遠近位置。【1-s-06】運用方位指示詞描述物體移動的路徑與方向，並判別路徑長短。【5-s-10】在座標系統中，利用水平與垂直線，找出點與點的距離。G3 幾何形體間關係及其論證1.探究形體間的轉換、變形、合成與分解，以建立幾何性質之推測及檢驗。1-s-04能依給定圖示，將簡單形體作平面舖設與立體堆疊。3-s-06能透過操作，將簡單圖形切割重組成另一已知簡單圖形。5-s-05能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公式。

11、（同5-n-16）6-s-01能利用幾何形體的性質解決簡單的幾何問題。6-s-03*能以適當的正方形單位，對曲線圍成的平面區域估算其面積。（同6-n-11*）6-s-04能理解圓面積與圓周長的公式，並計算簡單扇形面積。（同6-n-12）6-s-06能理解簡單直立柱體的體積為底面積與高的乘積。（同6-n-13）2.辨識、描述圖形的翻轉、旋轉、平移等幾何變換及其在平面上的組合。【2-s-07】透過操作活動，察覺線對稱現象。【2-s-08】透過操作，辨識並描述圖形經過旋轉後的樣式。3-s-06能透過操作，將簡單圖形切割重組成另一已知簡單圖形。5-s-04能認識線對稱並理解簡單平面圖形的線對稱性質。3

12、.探究形體之全等、相似、放大與縮小，並運用其性質推理解題。4-s-03能認識平面圖形全等的意義。6-s-02能認識平面圖形放大、縮小對長度、角度與面積的影響，並認識比例尺。4.根據形體性質與關係之推測，發展邏輯的推論並驗證結果。【6-s-07】能利用三角形內角和180度的性質，推論出多邊形的內角和。【6-s-08】能理解各種三角形之間的包含關係。【6-s-09】能理解各種四邊形之間的包含關係。G4幾何模式化推理解題1.辨識、理解立體形體在平面上之表徵關係，並運用其推理解題。【4-s-10】透過操作，理解並描述正方體和長方體之平面表徵。5-s-07 能理解長方體和正方體的體積公式。（同5-n-1

13、8）2.利用形體之特徵與性質解決問題。6-s-01 能利用幾何形體的性質解決簡單的幾何問題。3.使用尺規工具測量與繪製圖形。2-s-03 能使用直尺畫出指定長度的線段。2-s-04能畫出兩點間的線段，並測量其長度。3-s-02能認識周長，並實測周長。3-s-03能使用圓規畫圓，認識圓的圓心、圓周、半徑與直徑。4-s-04能認識角度單位度，使用量角器實測角度或畫出指定的角。（同4-n-14）4-s-08能利用三角板畫出直角與兩平行線段，並用來描繪平面圖形。4.連結幾何、數與測量的概念，並利用幾何模式化解決問題。2-s-05能認識面積，並作直接比較。（同2-n-17）3-s-05能利用間接比較或以

14、個別單位實測的方法比較不同面積的大小，並認識面積單位平方公分。（同3-n-18）4-s-09能理解長方形和正方形的面積公式與周長公式。（同4-n-16）5.利用視覺化與空間推理解決問題。【2-s-09】透過視覺化與視覺記憶的活動，形成與轉換幾何的心像。【4-s-10】透過操作，理解並描述正方體和長方體之平面表徵。能力指標一、分析幾何形體之特徵及其性質第一階段1-s-01能認識直線與曲線。1-s-02能辨認、描述與分類簡單平面圖形與立體形體。1-s-03能描繪或仿製簡單平面圖形。1-s-04能依給定圖示，將簡單形體作平面舖設與立體堆疊。2-s-01能認識周遭物體上的角、直線與平面（含簡單立體形體

15、）。2-s-02能認識生活周遭中水平、鉛直、平行與垂直的現象。2-s-05能認識面積，並作直接比較。（同2-n-17）2-s-06能由邊長關係，認識簡單平面圖形與立體形體。3-s-01能認識平面圖形的內部、外部與其周界。3-s-02能認識周長，並實測周長。3-s-03能使用圓規畫圓，認識圓的圓心、圓周、半徑與直徑。3-s-04能認識角，並比較角的大小。（同3-n-17）【3-s-07】透過複製三角形、四邊形的邊、頂點及角的活動，加深了解其構成要素。第二階段4-s-01能運用角與邊等構成要素，辨認簡單平面圖形。4-s-02能透過操作，認識基本三角形與四邊形的簡單性質。4-s-05能理解旋轉角的意

16、義。4-s-06能理解平面上直角、垂直與平行的意義。4-s-07能由直角、垂直與平行的概念，認識簡單平面圖形。4-s-08能利用三角板畫出直角與兩平行線段，並用來描繪平面圖形。【4-s-12】認識球的剖面及其組成要素。5-s-01能透過操作，理解三角形三內角和為180度。5-s-02能透過操作，理解三角形任意兩邊和大於第三邊。5-s-03能認識圓心角，理解180度、360度的意義，並認識扇形。5-s-06能運用頂點、邊與面等構成要素，辨認簡單立體形體。5-s-08能認識面的平行與垂直，並描述正方體與長方體中面與面的平行與垂直關係。第三階段6-s-05能認識直圓錐、直圓柱與直角柱。二、空間方位的

17、描述與表徵第一階段1-s-05能描述某物在觀察者的前後、左右、上下及兩個物體的遠近位置。【1-s-06】運用方位指示詞描述物體移動的路徑與方向，並判別路徑長短。第二階段【4-s-11】認識東西南北及八方位，並能應用。【5-s-09】認識並使用座標系統表示物體的位置，並描述移動路徑。【5-s-10】在座標系統中，利用水平與垂直線，找出點與點的距離。三、幾何形體間關係及其論證第一階段1-s-04能依給定圖示，將簡單形體作平面舖設與立體堆疊。【2-s-07】透過操作活動，察覺線對稱現象。【2-s-08】透過操作，辨識並描述圖形經過旋轉後的樣式。3-s-06能透過操作，將簡單圖形切割重組成另一已知簡單

18、圖形。第二階段4-s-03能認識平面圖形全等的意義。5-s-04能認識線對稱並理解簡單平面圖形的線對稱性質。5-s-05能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公式。（同5-n-16）第三階段6-s-01能利用幾何形體的性質解決簡單的幾何問題。6-s-02能認識平面圖形放大、縮小對長度、角度與面積的影響，並認識比例尺。6-s-03*能以適當的正方形單位，對曲線圍成的平面區域估算其面積。6-s-04能理解圓面積與圓周長的公式，並計算簡單扇形面積。（同6-n-12）6-s-06能理解簡單直立柱體的體積為底面積與高的乘積。（同6-n-13）【6-s-07】能利用三角形內角和180度的性質，

19、推論出多邊形的內角和。【6-s-08】能理解各種三角形之間的包含關係。【6-s-09】能理解各種四邊形之間的包含關係。四、幾何模式化推理解題第一階段2-s-03 能使用直尺畫出指定長度的線段。2-s-04能畫出兩點間的線段，並測量其長度。2-s-05能認識面積，並作直接比較。（同2-n-17）【2-s-09】透過視覺化與視覺記憶的活動，形成與轉換幾何的心像。3-s-02能認識周長，並實測周長。3-s-03能使用圓規畫圓，認識圓的圓心、圓周、半徑與直徑。3-s-05能利用間接比較或以個別單位實測的方法比較不同面積的大小，並認識面積單位平方公分。（同3-n-18）第二階段4-s-04能認識角度單位

20、度，使用量角器實測角度或畫出指定的角。（同4-n-14）4-s-08能利用三角板畫出直角與兩平行線段，並用來描繪平面圖形。4-s-09能理解長方形和正方形的面積公式與周長公式。（同4-n-16）【4-s-10】透過操作，理解並描述正方體和長方體之平面表徵。5-s-07 能理解長方體和正方體的體積公式。（同5-n-18）第三階段6-s-01 能利用幾何形體的性質解決簡單的幾何問題。三、數學結構（一）、平面圖形初步概念初學階段可以採用環境中的具體物品，透過觀察、辨別、比較、繪製等等方式，作為教學的主要目標，從平面圖形的直線、點在帶入立體圖形。（二）、平面圖形的辨別1.角認識角、辨識直角、角的大小比

21、較及角度的實測，角由一個頂點射出兩個直線所構成。三角形：2.三角形定義(1) 頂點：三頂點的位置確定後，三角形隨之確定。連結任意兩頂點得一邊。兩邊夾得一角。(2) 邊：三邊對應相等的兩個三角形，可以經過旋轉，翻轉和平移後完全疊合，亦即全等。(3) 角：三角對應相等的兩個三角形相似。三角形的分類國小四年級開始教導學生區辨各種三角形，以等腰三角形與正三角形為主，教導學生三角形邊角的關係，需要知道大邊對大角，小邊對小角。正三角形：三邊一樣大，三角都是60度，正三角形也是等腰三角形。等邊三角形：三邊一樣長。等腰三角形：兩邊一樣長，兩等邊所對應的角一樣大。直角三角形：三角形中有角為直角（90度）三角形的

22、面積三角形面積的求法是由公式【（底×高）÷2】，因為有別於透明格板直觀而得之算法，在學生的認知上需要有推理能力。 三角形（多邊形）的內角和概念多邊形的內角和以三角形內角和為基礎，因此，討論多邊形內角和之前應先探討三角形內角和。三角形的內角和有許多觀察方式，例如：剪拼法：保持三個角的角度不變，將三角形的三個角剪（撕）下，使頂點相疊，以邊靠邊的方式拼合（如圖三），由此結果可看出合成的角之外面兩邊成一直線，因而得知三角形之內角和是180度。測量法：利用量角器分別測量三角形的三個內角之角度，再算出三個角度的和。3.四邊形定義：(1).頂點的情形和三角形的完全相同。(2).四邊對應相

23、等的兩個四邊形不一定全等。這可由以活動關結相連的四根木條的操弄得知。但是如果再加上有一個夾角對應相等，或有一條對角線對應相等，則為全等。(3).因四邊形的內角和為360，故若三角對應相等，則第四角亦相等。四邊形的型態：平面圖形是將具體物的面拓印出來的結果，它不受視覺位置、方向或翻轉的影響，故可透過分類、操作、比較、歸納推理等形成概念及命名。各圖形特徵如下：四邊形平面上一個多邊形有四個邊稱為四邊形，它具有四個頂點，四個角。正方形四邊等長，四個角為直角。長方形四個角為直角。平行四邊形一個四邊形中兩對邊互相平行。菱形四邊等長梯形一組對邊平行，另一組對邊不平行鳶形兩組鄰邊等長4.圓形圓形的定義：圓是平

24、面上的封閉曲線，這曲線上的所有點與一個定點成等距離。圓心是圓的中心;（即指固定點）。圓周是圓的周邊;（即指封閉曲線）。半徑是圓心到圓周的線段（即指一端在圓周上，另一端在圓心的線段）。直徑是通過圓心且兩端在圓周上的直線段。同圓內半徑與直徑的個數及關係同圓內有無數條半徑與直徑。同圓內直徑是半徑的2倍。圓與圓心及半徑的關係圓的位置由圓心決定。圓的大小由半徑大小決定。5.正多邊形正五邊形正六邊形多邊形的定義：由折線段圍成的簡單封閉圖形。按此定義可包括凸的和有凹的多邊形。但是在中、小學所談的多邊形一般僅限於凸多邊形，且省去凸字。（a）有交叉（複雜圖形）（b）不封閉（c）凹多邊形（有一內角超過180，為凹

25、多邊形）（d）凸多邊形小學課本僅談(d)。表1 實物包含之平面圖形整理表圓形正方形長方形三角形錢幣骰子長方體盒子三明治馬克杯鉛筆書三角柱型糖果盒球正立方體盒子長方形糖果盒鉛筆光碟正方形時鐘鍵盤御飯糰時鐘骰子筆記本旗子6.線對稱 操作型定義（直觀的概念）：若一個圖形可沿著某一直線對摺，使其在直線兩側的部分完全重合，這種圖形稱為關於此摺線的對稱圖形，簡稱為線對稱圖形。幾何上的意義：一個圖形，若可以找到一條直線將其平分成兩半，使在其中一半內的任何點，都可以在另一半內找到一個對應點，使得這互相對應的點所連成的直線段，恰被平分此圖形的直線垂直平分，這個圖形即為一種線對稱圖形。對摺的直線就是對稱軸。重疊的

26、任兩點彼此稱為對稱點。 判斷圖形是否為線對稱可1. 沿對稱軸將兩邊圖形對摺 2. 圖形能完全疊合 3. 兩圖稱為線對稱圖形 7.點對稱點對稱的定義操作型定義（直觀的概念）：平面上的圖形，若可以找到一個固定點（在此圖形上或在此圖形外），使此圖形繞著此固定點旋轉180度後，新位置恰好和原位置重合，則稱這個圖形為以此固定點為旋轉中心的點對稱圖形，一般簡稱為點對稱圖形。幾何上的定義：若一個圖形可以找到一點P（在圖形上或圖形外），滿足對此圖形上的任意點A都存在著圖形上的另一點B使P點介於A、B兩點之間，且APBP，這種圖形稱為以P為中心的點對稱圖形，A和B稱為關於P點之相互對稱的點（或以P為中心的對稱點）。太極就算點對稱圖形 四、兒童辨認平面圖形的迷思概念兒童辨認平面圖形的迷思概念比較明顯的是在圖形的封閉性、圖形的方位以及