数学常微分论文

1、宁波大学答题纸（20092010学年第 1 学期）课号： 081S07B05 课程名称： 常微分方程 改卷教师： 学号： 084773236 姓 名： 张芳芳 得 分： 对常微分方程的认识常微分方程，我经过大二第一学期的学习，不可以说是对其非常的了解，更不可以说是彻底地掌握，但是基于课前的按时预习，上课的认真听讲，课后的及时巩固，我也简单地认识了常微分方程的一些概况，掌握了一些基本常微分方程思想及其解决方法。接下来，我就来谈谈我对常微分方程的认识吧。常微分方程是指自变量只有一个的微分方程。它在微积分概念出现后即已出现，后来依次经过“求同解”的时代，“求定解”的时代，“求所有解”的时代，直到现在

2、的“求特殊解”时代。在每个时代中，都有许多大数学家的积极参与，常微分方程在其自身蓬勃发展的同时也促进了其他学科及领域的最大限度的进步，在物理、工程、力学、天文学、生物学、医学、经济学等诸多领域一直发挥着它不可估量的伟大作用。如自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等都需要常微分方程的涉及。例如，在天文学上，一般星体都是通过观察得到的，而海王星的发现却是个罕见的例外。牛顿研究天体运动的微分方程，从理论上得到行星运动的规律，而这些规律原来只是由开普勒通过观测归纳出的。而后1846年，法国巴黎天文台的勒威耶(Le-verrier, 1811-1877

3、)在对这个微分方程进行数值分析计算的基础上，预言太阳系中还有第八颗行星的存在，并计算出了第八颗行星的位置，这之后人们按照他的计算结果通过观察才找到海王星。这一事实既推动了天文学的发展，也促进了微分方程的发展。常微分方程是数学中与应用密切相关的基础学科，它在很多学科领域内有着重要的应用，著名数学家塞蒙斯曾如此评价常微分方程在数学中的地位：“300年来分析是数学里首要的分支，而微分方程又是分析的心脏，这是初等微积分的天然后继课，又是为了解物理科学的一门最重要的数学，而且在它所产生的较深的问题中，它又是高等分析里大部分思想和理论的根源。” 可见，常微分方程在数学中的地位是如此的重要，那么我们更有必要

4、潜心学习和了解它，我们即使没有深入研究做学问的目标与勇气，但是尽可能的掌握一些有关常微分方程的知识是一笔不小的人生财富。合理的结合实际应用，在将来的生活与工作中都会有一定的潜移默化的效果。可以用之于生活的东西也必定是取之于生活的，那么在我们的自然界、社会界中就有各种各样的常微分方程模型，如书中提到的RLC模型、数学摆、人口模型、传染病模型、两生物种群生态模型等。其中著名的Lorenz方程的来源就是，在20世纪60年代初，美国麻省理工学院气象学家洛伦兹（Lorenz）为了预报天气，他用数字计算机求解仿真地球大气的13个方程式，意图是利用计算机的高速运算来提高长期天气预报的准确性。1963年的一次

5、试验中，为了更细致地考察结果，他把一个中间解0.506取出，提高精度到0.506127再送回。而当他到咖啡馆喝了杯咖啡以后回来再看时竟大吃一惊：本来很小的差异，结果却偏离了十万八千里！再次验算发现计算机并没有毛病，洛伦兹（Lorenz）发现，原来这是由重新输入数据的小数尾数误差所引起的，从而发现方程的解对初值敏感的现象。后来他访问另一天气中心是，了解到另有人得到了7个变量的类似的方程组。经过重新处理，他将其中的4个变化不大的变量删去，得到仅含3个变量的微分方程组，但其解对初值异常的敏感。他将数值计算结果发表在美国气象学报上。Lorenz方程： 其中参数a,b,c均为正数。当然，在认真学好一门课

6、程时，除了勤看书，勤动笔，勤动脑，勤请教，勤探讨外，学会使用辅助工具不仅是一种技巧，也是一种必要。学习常微分方程，就需要掌握一些数学软件，这样才可以更好地辅助我们学习、研究。解除繁琐、重复的人工计算，起到事半功倍的作用。数学软件一方面可以通过计算机数值计算和绘图迅速了解或探讨某些常微分方程的性态；另一方面是应用数学软件中的符号计算功能直接求解某些常微分方程。书中附录里提到有Mathematica,MATLAB,Maple三种各具特色的计算机数学软件。在绘图上，如上面提到的Lorenz方程，我们可以直接很直观地得到它的三个性质：1.对称性。当用（-x,-y,z）替换(x,y,z)时方程形式不变，

7、方程关于z轴对称。2.z轴是不变集。因x=0，y=0满足方程，此时dz/dt=-bz,即z轴为不变集，且轨线沿着z轴趋于原点；而在平面x=0上，当y0时，dx/dt0；当y0时，dx/dt0,因此环绕z轴的轨线从平面x=0的上方看是逆时针方向旋转地。3.耗散性和吸引性。在计算上，如书中350页的例题1，求方程组解 解：将方程写成对称的形式dx/(x2-y2-z2)=dy/2xy=dz/2xz，得到一个首次积分y/z=c1,由（xdx+ydy+zdz）/x(x2+y2+z2)=dy/2xy得到另一个首次积分（x2+y2+z2）/y=c2,上述两个首次积分是彼此独立的，因此方程组的通积分可表示为 但是如果通过数学软件进行计算，只要我们按照使用软件的要求输入我们的题目，键盘一敲，运行操作，结果就只是在几秒间的事情。所以在我们只要求获得一个最终答案，而无需琢磨其中具体过程的研究中，使用数学软件是最佳，最便捷的选择，当然在数学软件中也可以看每一步运行过程。然而，我们作为常微分方程的初学者，学习数学软件只是掌握一门技术，并不是纯粹的为了计算的方便。我们还是需要自己动笔，动脑认真学习琢磨的