整体最小二乘法及其在测量数据处理中的应用_图文

1、 值影响较小，或者系数矩阵的误差较小，而观测向量的误差对增广矩阵最小奇异值影响较 大时，如表中第一种情况，就应当采用普通最小二乘法处理，采用整体最小二乘法反而与 实际情况不符。表中显示，在仅观测向量受到误差影响时，最小奇异值大小为 0.096313，仅 系数矩阵受到误差影响时最小奇异值大小为 0.17439，二者的综合影响为 0.24816。说明本例 中，系数矩阵的扰动对奇异值的大小影响比较显著，在这种情况下，就应该顾及系数矩阵 的误差，适于采用整体最小二乘处理合理。 表 1 系数阵和观测向量误差对参数求解的影响 受误差的影响情况 精 确 线 性 方 程 系数阵 观测向量 系数阵、增广矩阵奇异

2、值 参数解 Xls -0.40 1.25 -0.14 Xtls -0.40 1.25 -0.14 Xctls -0.40 1.25 -0.14 A0 L0 F ( A0 32.156 2.1977 0.37438 (C 0 32.396 2.7517 0.49147 0 A C F / A / C 0 0 F F 一 仅观 测向 量受 到误 差的 影响 系数阵 观测向量 A0 L F ( A0 32.156 2.1977 0.37438 (C1 32.395 2.6301 0.49395 0.096313 Xls Xtls Xctls -0.40132 -0.45742 -0.4406 1.1

3、33 -0.11323 1.1766 -0.12011 1.1648 -0.1183 A C F / A / C 0.00235 0.00296 F F 二 仅系 数矩 阵受 到误 差的 影响 系数阵 观测向量 A L0 F ( A 32.019 2.2893 0.39402 (C 2 32.259 2.8324 0.49084 0.17439 Xls -0.25225 1.0789 -0.10395 Xtls Xctls -0.3641 1.1649 -0.1171 -0.41523 1.1992 -0.12191 A C F / A / C 0.00427 0.00538 F F 三 系数

4、 矩阵 观测 向量 都有 误差 系数阵 观测向量 A L F ( A 32.019 2.2893 0.39402 (C3 32.258 2.7099 0.48968 0.24816 Xls -0.1876 0.91741 Xtls Xctls -0.55049 -0.4049 1.183 1.0846 A C F / A / C 0.00614 0.00766 F F -0.07138 -0.11084 -0.0968 表中 Xls、Xtls、Xctls 分别表示普通最小二乘、整体最小二乘和混合最小二乘的参数求解结果 404 5 结论 整体最小二乘方法自 20 世纪 90 年代初正式提出以来，

5、已在自动控制、信号处理、图 像处理等许多领域取得了成功应用，作为一种新的数据处理方法是目前的一个研究热点之 一。在测量数据处理中许多情况下系数矩阵和观测向量同时存在误差，如多元线性回归、 GPS 高程拟合，图形图像纠正等学多情况都适于采用整体最小二乘法处理。本文系统介绍 了整体最小二乘的思想、解算方法；并与普通最小二乘法进行了比较分析。 整体最小二乘的求解通过奇异值分解实现， 通过分析系数矩阵和观测向量的误差对奇异 值大小的影响， 本文通过对整体最小二乘的误差特性分析， 提出了要注意整体最小二乘应条 件的建议。从参数估计的角度讲，只有在系数矩阵误差对最小奇异值的大小影响显著时，整 体最小二乘法

6、效果才比较明显； 当系数矩阵的误差对最小奇异值的影响较小时， 或则系数矩 阵比较精确时，就不适于采用整体最小二乘法。 在本文的算例中系数矩阵、 观测向量的误差服从正态分布且等权独立的白噪声误差， 实 际环境中，误差分布比较复杂，对系数矩阵、观测向量影响及对参数求解影响更加复杂。在 测量数据处理中，如何结合实际测量数据特点，判断系数矩阵误差、观测向量误差对参数求 解的影响以及影响程度，整体最小二乘精度评定方法等都是值得探讨的问题。 参考文献 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 刘大杰，陶本藻.实用测量数据处理方法M.北京：测绘出版社，2000 Davis，T. G. Total le

7、ast squares curve fitting. PhD dissertation，University of South Florida， Tampa，Fla.1998 Golub G H & Van Loan C F. An analysis of the Total Least Squares problem. SIAMJ Numer Anal.1980，17（6）:883-893 Van Huffel S.，and J. Vandewalle，The Total Least Squares Problem :Computational Aspects and Analysis，SIAM，Philadelphia ，1991 Van Huffel，S.，ed. Recent advances in total least squares techniques and errors-in-variables modeling. SIAM，Philadelphia 1997 丁克良. 整体最小二乘法及其在测量数据处理中的若干应用研究D.中国科学院测量与 地球物理研究所，湖北 武汉 2006.6 魏木生.关于TLS和LS解的扰动性分析J.计算数学，1998，20（3） ：268-273 张三国，陈希孺.EV 多项式模型的估计J.中国科学（A 缉） ，2001，3