新高考导数应用完全解读 新课标

1、新高考导数应用完全解读导数，既是新教材新增内容，也是新高考重点考查的基础知识考查的基本原则是：重点考查导数的概念和计算，结合应用性问题对导数知识进行考查，不过多地涉及理论探讨和严格的逻辑证明对导数的考查有三个层次：第一个层次是主要考查导数的概念，求导的公式和求导的法则；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的增减性等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机地结合在一起考查 2002年始，导数已经由在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时必不可少的工具下面精选2004年全国高考试题中的相关内容，进行分类导析，

2、以此点津指要，抛砖引玉，供老师、同学们复习参考1考查导数与函数交汇例1全国卷·理（19）题已知R,求函数的单调区间考查点：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想解题切入：直接利用导数公式简析：函数f (x)的导数：（I）当a=0时，函数f (x)在区间（，0）内为减函数，在区间（0，+）内为增函数；（II）当a>0时，函数f(x)在区间（，）内为增函数，在区间（，0）内为减函数，在区间（0，+）内为增函数；（III）当a<0时，函数f(x)在区间（，0）内为减函数，在区间（0，）内为增函数，在区间（，+）内为减函数2考查导数与切

3、线的斜率，与解析几何交汇例2福建卷·文（21）题如图，P是抛物线C：y=x2上一点，直线l过点P并与抛物线C在点P的切线垂直，l与抛物线C相交于另一点Q（）当点P的横坐标为2时，求直线l的方程；（）当点P在抛物线C上移动时，求线段PQ中点M的轨迹方程，并求点M到x轴的最短距离 考查点：本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力解题切入：用导数求出直线的斜率，再用求轨迹的基本方法展开，注意直线、曲线的弦中点问题“设而不求法”及求最值时的“重要不等式法”的灵活使用简析：（）点P坐标为（2，2），由  ， 

4、直线l的斜率kl=  直线l的方程为y2=(x2)，即 x+2y6=0（）设过点P的切线斜率k初=x0，当x0=0时不合题意， 直线l的斜率kl =，直线l的方程为 法一：联立消去y，得x2+xx022=0 设Q M是PQ的中点，消去x0，得y=x2+(x0)就是所求的轨迹方程由x0知上式等号仅当时成立，所以点M到x轴的最短距离是法二：设Q则由y0=x02，y1=x12，x=  y0y1=x(x0x1)，   将上式代入并整理，得  y=x2+(x0)就是所求的轨迹方程后续步骤同法一3考查导数与函数、曲线交汇例3天津卷·理（20）题已

5、知函数在处取得极值（1）讨论和是函数的极大值还是极小值；（2）过点作曲线的切线，求此切线方程考查点：本小题考查函数和函数极值的概念，考查运用导数研究函数性质和求曲线切线的方法，以及分析和解决问题的能力解题切入：借助导数知识简析：（1）依题意，得 令，得故在上是增函数，在上是增函数，在上是减函数 所以，是极大值；是极小值（2）设切点为，因，故切线的方程为，注意到点A（0，16）在切线上，解得所以，切线方程为4考查导数与函数、不等式交汇例4 辽宁卷·（22）题 已知函数   （1）求函数的反函数的导数   （2）假设对任意成立，求实数m的取值范围考

6、查点：本小题主要考查反函数、指数函数和对数函数的基础知识，导数的概念和计算，以及运用函数的性质分析问题和解决问题的能力解题切入：利用对数函数及复合函数导数公式求解简析：（）yf1（x）ln（exa）（xln a）（x）ln（exa）（）法一：由已知得lnln（exa）mln（exa）ln，即对于xln（3a），ln（4a），恒有em设tex，u（t），v（t），于是不等式化为u（t）emv（t），t3a，4a 当t1t2，t1、t23a，4a时，都是增函数因此当时，的最大值为的最小值为而不等式成立当且仅当即，于是得 法二：由已知得设于是原不等式对于恒成立等价于 由，注意到故有，从而可均在上单调

7、递增，因此不等式成立当且仅当即 5考查导数与三角函数、数列、极限交汇例5全国卷·理（22）题已知函数的所有正数从小到大排成数列 （）证明数列为等比数列；（）记是数列的前n项和，求考查点：本小题主要考查函数的导数、三角函数的性质、等差数列与等比数列的概念和性质、极限等知识的综合应用解题切入：对求导之后，令=0，解方程得，易证（）；进而求出，再用错位相减法求和简析：（）证明：由得，从而     所以数列是公比的等比数列，且首项（）从而 因为，所以6考查导数的物理意义瞬时速度，与实际问题结合例6湖北卷·理（16）题某日中午12时整，甲船自A处以16k

8、m/h的速度向正东行驶，乙船自A的正北18km处以24km/h的速度向正南行驶，则当日12时30分时两船之间距间对时间的变化率是             km/h考查点：变化率，即导数值解题切入：先求出距离与时间的函数简析：以A点为原点，正东、正北方向所在的直线分别为x轴、y轴建立如图所示的直角坐标系，t时刻甲位于（16t，0）处，乙位于（0，1824t）处,则两地间距离s=12时30分时，t=05，则评注 此题不仅考查了方位角的概念，画图识图的能力，列方程解应用题的思想，更

9、重要的是考查了考生对导数的物理意义及导数定义的理解，特别是不同的方向设计，使得变化率是一个负值 这要求考生能将物理知识与数学知识相结合（意在考查学科交叉能力），要求考生能熟练运用复合函数的求导法则 从更深的角度分析，它既考查了考生用所学数学知识处理问题的能力，更考查了考生进入高校后学习的潜能，具有很好的导向作用，为今后高考填空题这块创新题型的“试验田”指引了一个新的方向友情提醒：此题易出现结果为“”的错误，要认真区分的含义；若对S（t）的关系式化简展开后求导数，则运算极繁；由于不能真正理解距离对时间的导数是瞬时速度，而速度是一个向量，许多考生在求出对应的变化率是一个负值后，给出答案时竟然特意将

10、其中的负号舍去，以致痛失4分，实为可惜！此题是由人教版高三数学教材（选修）第三章复习参考题B组题第6题改编而成7考查导数与实际问题结合例7辽宁卷·（20）题甲方是一农场，乙方是一工厂 由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x（元）与年产量t（吨）满足函数关系若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元（以下称s为赔付价格），   （1）将乙方的年利润（元）表示为年产量t（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；   （2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额（元），

11、在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？考查点：本小题主要考查函数的概念，运用导数求函数最大值、最小值的方法，以及运用数学知识，建立简单数学模型并解决实际问题的能力解题切入：利用已知条件写出实际年利润关系式2000st，利用二次函数求最值或利用导数求最值，再写出甲方净收入st0002t2，化为s的函数求最值简析：（）法一：乙方的实际年利润为：2000sts，故乙方取得最大年利润的年产量t（吨）法二：2000st，由，令0得tt0易知 tt0时，取得最大值因此乙方取得最大年利润的年产量t0（吨）（）设甲方净收入为v元，则vst0

12、002t2将t代入上式，得到甲方净收入v与赔付价格s之间的函数关系式v令0，得s20易知s20时，v取得最大值因此甲方向乙方要求赔付价格s20（元/吨）时，获得最大净收入相关链接：重庆卷·文（20）题某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量（吨）与每吨产品的价格（元/吨）之间的关系式为：,且生产x吨的成本为（元）问该产每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入成本）考查点：本小题重点考查函数导数的应用答案：3150000元【方略扫描】1应用复合函数求导法则时，首先要分析所给函数可以看作由哪些函数复合而成，或者说，所给函数能分解成哪些函数，直至能用求导法则为止2

13、函数在某点处的切线的斜率k3利用导数判断函数的单调性：设函数yf（x）在某个区间内可导，如果0，则f（x）在这个区间上为增函数；如果0，则f（x）在这个区间上为减函数应当注意，在区间内0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件；0也只是f（x）在区间上为减函数的充分条件，而不是必要条件4利用导数求函数极值的步骤：求；求方程0的根；分析在方程根左、右的值的符号；如左正右负，则f（x）在这个根处取得极大值；如左负右正，则f（x）在这个根处取得极小值；如果同正同负，那么f（x）在这个根处无极值5利用导数求最值的步骤：求f（x）在（a、b）内的极值；将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的