平面向量的复习

1、向量的正交分解及坐标表示1、两个向量的夹角（1）定义已知两个非零向量和，作，则AOB=叫做向量与的夹角。（2）范围向量夹角的范围是001800，与同向时，夹角=00；与反向时，夹角=1800。（3）向量垂直如果向量与的夹角是900，则与垂直，记作。注：在ABC中，设，则向量与的夹角为ABC是否正确？（答：不正确。求两向量的夹角时，两向量起点应相同，向量与的夹角为-ABC）。2平面向量的基本定理:若是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.3平面向量的坐标运算：若，则； 若，则； 若=(x,y)，则=(x,

2、 y)； 若，则。基本练习1在中,设是边上的一点,且满足,则的值为（ D ）源 2 在中，若点满足，则=（ A ） A. B. C. D. 3已知向量若与平行，则实数的值是（ D ）A -2B0C1D24设点在内部，且，则的面积与的面积之比是（ D ）来源:Zxxk.ComA2：1 B3：1 C4：3 D3：25，且，则的值为（ A ）A. B. C. D.6如果互相垂直，则实数等于（ D 或 或2例1已知=（1，-1），=（-1，3），=（3，5），求实数x、y，使=x +y 分析：根据向量坐标运算和待定系数法，用方程思想求解即可解：由题意有  x +y =x（1，-1）+y（-1

3、，3）=（x-y，-x+3y）     又 =（3，5） x-y=3且-x+3y=5 解之得 x=7 且y=4例2已知A（-1，2），B（2，8），= ，= -，求点C、D和向量的坐标分析：待定系数法设定点C、D的坐标，再根据向量 ， 和 关系进行坐标运算，用方程思想解之 解：设C、D的坐标为、，由题意得 =（），=（3，6）， =（），=（-3，-6）  又= ，= -  （）=（3，6）， （）=-（-3，-6）  即 ()=(1,2) ， ()=(1,2) 且，且  且 ，且 &

4、#160; 点C、D和向量 的坐标分别为（0，4）、（-2，0）和（-2，-4）  例3 如图，已知，求线段中点和三等分点的坐标 设，则 即 点的坐标为同样可求得点坐标为，点坐标为 同步练习1 化简以下各式结果为零向量的个数是( C )； A B. C. D. 2是平面上一定点，是平面上不共线三点，动点满足 ，则点的轨迹一定通过的（ C ） A外心 B.垂心 C.内心 D. 重心 3下列说法正确的是（ B ）一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底； 一个平面内有无数多对不共线的向量可作为表示该平面所有向量的基底； 零向量不可作为基底中的向量A. B. C. D.4

5、设向量，若表示向量的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量为（ ） A. B. C. D.5设为单位向量，（1）若为平面内的某个向量，则=|·(2)若与a0平行，则=|·；（3）若与平行且|=1，则=。上述命题中，假命题个数是（ D ）A0B1C2D6已知平面向量a= ，b=， 则向量 ( )A平行于轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 答案 C7已知向量，如果那么 A且与同向 B且与反向 C且与同向 D且与反向答案 D8已知=1，=,=0,点C在AOB内，且AOC=30°，设=m+n(m、nR)，则等于（B ）A B

6、3 C D9已知中，点在上，且，则= 0 10若向量与相等，已知，则的值为 11若，则与平行的单位向量是 12已知向量，且三点共线，则= 13给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是_.答案 215已知ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量， .（1） 若/，求证：ABC为等腰三角形； （2） 若，边长c = 2，角C = ，求ABC的面积 .证明：（1）即，其中R是三角形ABC外接圆半径， 为等腰三角形解（2）由题意可知由余弦定理可知， 16已知向量点，若点满足，求与的值 ，17已知，直线，点是直线上的一点，若，求

7、点的轨迹方程解：设点， 则 数量积及其应用知识点（1）两个非零向量的夹角已知非零向量a与a，作，则AA（）叫与的夹角；说明：（1）当时，与同向；（2）当时，与反向；（3）当时，与垂直，记；4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0°q180°。（2）数量积的概念 已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=·cos叫做与的数量积（或内积）。规定；向量的投影：cos=R，称为向量在方向上的投影。投影的绝对值称为射影；（3）数量积的几何意义： ·等于的长度与在方向上的投影的乘积平面向量数量积的运算律 交换律成立：；对实数的结合律成立：；分

8、配律成立：。向量的夹角：cos=。（5）两个向量的数量积的坐标运算 已知两个向量，则·=。基本练习1设是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题： 不与垂直 其中正确的是（ D ）A. B. C. D.2 若向量与的夹角为，则向量的模为（ C ）A. B. C. D.3 设，若在方向上的投影为2，且在方向上的投影为1，则与的夹角为（ B ） B C D 或4已知是两个不共线的向量,它们的起点相同,且 ,三个向量的终点在同一直线上,则的值为（ A ）A B1 C2 35在中，的面积，则与夹角的取值范围是（ B ）A B. C. D. 6已知与为互相垂直的单位向量，且与的夹角为锐角

9、，则实数的取值范围是（ A ）A B. C. D. 例1(1)已知（3，4），（4，3），求x,y的值使(x+y)，且x+y=1。 (2)已知向量，且，则 。4解析：(1)由（3，4），（4，3），有x+y=(3x+4y,4x+3y)；又（x+y）(x+y)·3(3x+4y)+4(4x+3y)=0；即25x+24y ；又x+y=1x+y；（x+4y）（x+3y）；整理得25x48xy+25y即x(25x+24y)+24xy+25y ；由有24xy+25y ；将变形代入可得：y=±；再代回得：。点评：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想。例2 已知，求与的夹角； 求； 若

10、，求的面积(1) (2)= (3)例3 已知都是非零向量，且与垂直，与垂直，求与的夹角。思路解析：把向量垂直转化为数量积为0联立求与的关系应用夹角公式求结果。解答： 例4已知向量且 求及； 若的最小值是，求的值，（2）同步练习1 设是两个非零向量，是在的方向上的投影，而是在的方向上的投影，若与的夹角为钝角，则（ C ） A B CD2 为锐角三角形的充要条件是（ D ）A    B C D 3在中，若且，则的形状是（ A ）A 等边三角形 B直角三角形 C等腰非等边三角形 D三边均不相等的三角形4 设，则=（ C ）A B. C. D. 5 如图，在AB

11、C中，则=D（A） （B） （C） （D）6定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的，令，下面说法错误的是(A)若a与b共线，则(B)(C)对任意的，有(D) 答案：B7已知向量i=(1,0),j=(0,1),A,B,若，则OCD的面积为BA。 B。 C。 D。1+2来源:Z*8若非零向量a，b满足|，则a与b的夹角为A. 300 B. 600 C. 1200 D. 15009平面上三点不共线，设,则的面积等于（A） （B） （C） （D）解析：选C. 10已知是两个互相垂直的单位向量, 且,则对任意的正实数,的最小值是 .11 在中，为的中点，为的中点，交于点 ，若（），则 112已知向量与的夹角为，则= 7 13 在中，若， 则 14 设两个向量满足：的夹角为，若向量与向量的夹角为钝角，实数的范围为_15若向量a=，b=，且a，b的夹角为钝角，则x的取值范围是 . 16设为圆上两点，为坐标原点（不共线）求证：与垂直当且时，求的值17 在平面直角坐标系xOy中，点A(1,