最新矩形折纸类问题解法分类举例

1、矩形折纸类问题解法分类举例姓名近年来，一类矩形折纸问题“折”进了中考数学题，有的考生着实感到解答起来不够顺手, 颇具难度.本文就这类题型的解题规律作点探讨与提示，请看例题.一、沿矩形对角线折叠例1.如图1,在矩形ABCD, AB= 16, BG= 8,将矩形沿AC折叠，点D落在点E处，且 CE与AB交于点F,那么AF=练习1.如图2,在矩形 ABCD, AB= 16, BG= 6,将矩形沿AC折叠,;(2)若 AB 与 CD点 B落在点 B 处，（1） /BCD=50, / ACB二交于点E, P为线段AC上的任意一点， PHXCDT H, 试求PG+ PH的值。二、沿矩形对称轴折叠例2.已知

2、矩形 ABCM边AB= 2, AA BG矩形ABCDB勺面积为s,沿矩形的对称轴折叠一次得 到一个新矩形，求这个新矩形的对角线的长度。、使其对角顶点重合折叠例3.如图3,矩形纸片 ABCD勺长AD= 95 AB= 3cmi将其折叠，使点 D与点B重合，那么折叠后，求DE的长和折痕EF的长四、使矩形一顶点落在其某一边上而折叠例4.如图4,折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8 cm,BC=10 cm,求EC的长。练习2.如图，在矩形纸片ABCD43, AB=3, AD=5,折叠纸片，使点 A落在BC边上的点Ai处，折痕为PQ设BA=x,若限定点P、Q分别在AR AD上移动，

3、则 x的取值范围是 。五、使矩形一顶点落在其对称轴上而折叠例5.已知如图5,有一块面积为1的正方形ABCD M N分别为AR BC边中点，将C点折至MN 上，落在点P的位置，折痕为 BQ连接PQ. M DK、两次小同方式的折叠例6.（初三）如图6, 一张宽为3,长为 C的位置，BG交AD于G,再折叠一 ME的长为。32.BNC图54的矩形纸片ABCD先沿又角线BD对折，点C落在点 次，使点 D与点A重合，得折痕EN EN交AD与M,则求mp11 4、（2）求证：以PQ为边长的正方形的面积等于 。）A-.-.G ：M-dTN,B/，CB图6J练习3.将f 形 ABCOU图方式折叠，EF、EC为折

4、灰在AiE的Bi处。若 AiD=4, BC=& 求BE的长。七、中考题选例7.（甘肃兰州市）如图，在直角坐标系中，将矩形A -E .B鼠折叠后点 A落在边CD的A处，点B落OABg OB折叠，使点 A落在点Ai处，已知OA=J3 , AB=1,则点A的坐标是（A）（至，3）（B）22（C） （ 3 , ）（D）22例8.（山西吕梁市）将一张纸片沿任一（）斗丫*CB3,3）J2"OA11-, ）（本题中把OA=/3改为OA=2则怎样解？）22一方向翻折，得到折痕AB （图（1）;再翻折一次，？得到折痕OC （图（2）;翻折使OA与OC重合，得到折痕 OD （图（3）;最后翻折使

5、 OB与OC重合,DOE勺大小是1)3)6)7)MNMN之间的位置并加以证明?MN间的(3)四边形(5)(6)(8)我们将一张长12那么这个的面积为距离有何变化？请说明理由(1)QPC的角度在每次翻折的过程中保持不变，则每次翻折后A落在直线PM上一点A10 cm（1） EF的长；（2）梯形ABCE勺面积PQ （P在BC上），使顶点C落在四边形 APCDrt一点C恰好落在对角线 AC上的点F处将矩形ABCDgCE折叠后，使点 D?如图，在矩形 ABCD43, AB=6, BC=&AD于M再将纸片的另一部分翻折的矩形红纸条（图甲）进行翻折 如果“红钩”中的/ 行60° ,QPC勺

6、角度在每次翻折的过程中都为459.（湖南邵阳市）10.（湖南郴州市）如图 5,矩形纸片ABCD勺边长分别为a, b （a<b）.将纸片任意翻折N的周长与a, b有何关系，为什么?11.同学们都喜欢老师给他的作业打(精确到0.1 cm 2)/ 2=例12.矩形纸片ABCD中，第一次按如图方式折叠，使点A与点D重合,折痕为EG、EF,得到五边形EGBCF ;第二次对五边形 EGBCF按如图方式折叠，使点G与点F重合，折痕恰好是EB、EC,若BC=2 ,贝U AB长度为（)(A) 2 忑2G,F图？ C(D)，5例13.已知矩形纸片 ABCD AB=2, AD=1,将纸片折叠，使顶点 A与边C

7、D上的点E?M合.（1）如果折痕FG分别与AD（2）如果折痕FG分别与CD、一，一 、2AB交于点F、G （如图9）, AF=,求DE的长；3AB交于点F、G （如图10）, 4AED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长.（2006年南京市）DB图（9）图（10）例14.（初三）已知如图，矩形OABC勺长 OA=73 ,宽 OC=1,将 AOCg AC翻折得 APC(1)填空：/ PCB=度，P点坐标为（2）若巳A两点在抛物线y=- 4x2+bx+c上，求b, c的值，并说明点 C在此抛物线上;3（3）在（2）中的抛物线 CP段（不包括 C, P点）上，是否存在一点 M,使得四边形 MCAP

8、的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M点的坐标；若不存在，请说明理由.例15.（初三）如图，矩形 ABCD中，E是AD的中点，将 ABE沿BE折叠后得到 /GBE, 延长BG交DC于点F.（1）如图1,点G在矩形ABCD内部，试判断GF与DF的数量关系，并证明你的结论；-DC AD 如图2,当点G在BC边上时，即有 生=1,则 = 的值为；DF AB_DCAD当点G在矩形ABCD内部时，如果 DC =2 ,求CD的值；DFAB当点G在矩形ABCD内部时，如果 DC=t，用t的代数式表示jAD （直接写出结论）DFAB当点G在矩形ABCD外部时，你得出的结论是否还成立？请直接写出结论即可.图

9、1例15.（初三）解：（1） GF = DF,证明略；3分（2） 2; T 分/2，过程略；3分2'、t当点G在矩形ABCD外部时，得出的结论还成立 .3分t练习:1.在一张长方形 ABCD纸片中，AD = 25cm, AB = 20cm,现将这张纸片按下列图示方式折叠,请分别求折痕的长。（1）如图甲，折痕为 AE ,点B的对应点F在AD上；（2）如图乙，P,Q分别为AB,CD的中点，B的对应点G在PQ上，折痕为 AE ;（3）如图丙，点B与点D重合，折痕为EF。乙D1c2.如图所示，现有一张矩形纸片 ABCD ,其中AB = 4cm, BC =6cm ,点E是BC的中点，实施操作：将

10、纸片沿直线 AE折叠，使点B落在梯形AECD内，记为点B 。（1）请用尺规，在图中作出 AEB （保留作图痕迹）；（2）试求B ,C两点之间的距离。（连B B得RTAB B C） 3 .（2007年乐山市）如图，把矩形纸条ABCD沿EF, GH同时折叠，B, C两点恰好落在AD边的P点处，若/ FPH =90° , PF =8, PH =6 ,则矩形ABCD的面积为 o(1)4 . （2007年江西省）如图，将矩形ABCD纸片沿对角线BD折叠，使点（第5题）C落在C'处，BC'交AD于E ,若/DBC =22.5° ,则在不添加任何辅助线的情况下，图中45&

11、#176;的角（虚线也视为角的边）有（）B. 5个C. 4个D. 3个5 .（2007淄博市）有一边长为 2的正方形纸片 ABCD先将正方形 ABCD寸折，设折痕为 EF （如图（1）;再沿过点D的折痕将角A反折，使得点 A落在EF的H上（如图（2）,折痕交AE 于点G则EG的长度为（）(A) 4.36(8) 2咨3(C) 8-4J3(D) 4 2%后6.（2007年冷水滩区）如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点B落在直角梯形AECD中位线FG上,徽磨1且AB=1 ,则AE的长为()A. 2#B. 3C. 2'D(第6题)7. （2007年贵阳）将长为20cm,宽为2cm的长方形白纸条

12、，折成图所示的图形并在其一面着色,则着色部分的面积为 8. （2011例卷）如图1,在平面直角坐标系中，点 。为坐标原点，点 A的坐标为（3, 4）,点B 的坐标为（7, 0）, D, E分别是线段AO、AB上的点，以DE所在直线为对称轴，把 ADE作轴对称变换得 A'DE,点A”恰好在x轴上(1)(2)(3)(4)/ ABO的度数为,线段AB的长是当AA'，x轴时，线段DE的长为如图2,当A' D± OA时,（1）求AD的长（2）求线段DE的长的取值范围=x,OD=y,求 y 关于 x设OA11.9.(10.的函数关系式，并直接写出自变量x(连 CE,由 O

13、C=OH=O/ HEC=90 , / ,GEC=90° , 由DC=DE导D是CG的中点于是 D (3,6 )例2如图2-2,把一张长方形纸片 ABC所叠起来，使其对角顶点 A、C重合，？若其长BC为a, 宽AB为b,则折叠后不重合部分的面积是多少？分析 图形沿EF折叠后A、C重合，可知四边形 AFED与四边形 CFE皿等，则对应边、 角相等，AF=FC且FC=AE则ABFAAD' E, ?由三角形面积公式不难求出不重合部分的面 积.2-2解：图形沿EF折叠后A、C重合， 一四边形AFED与CFED于EF对称, 则四边形 AFED0四边形 CFED / AFE4 CFEAF=

14、FG / D' =/ D=Z B=90° AB=CD=AD'. AD/ BC/ AEF=Z EFC/ AEF=Z AFE则 AE=AF RtAABF RtMD' E.在 RtABF中，. / B=90° , AB 2+BF2=AF2.设 BF=x, b2+x2= (a-x ) 2,2._ a -b2222a -b _b(a -b )2a2a2a.S=2Saabf=2X 1 bx=2X 1b 228解 如图所示，第二次翻折，折痕 OC平分/ AOA ;第三次翻折，折痕 OD?平分/ COA , OD 平分/ AOC第四次翻折，折痕 OE平分/ BOD

15、. ./ DOE=180 - /AOD-/ BOE=180 ° - 1 (/AOC吆 BOC =90° .29解如图，设EF=x,依题意知： CD且 CFEDE=EF=x CF=CD=6AC=。62 + 82 =10.1.AF_AC-CF_4 AE_AD-DE=8-x.所以两个四边形的周长都为11解 (1)在矩形 ABCD,12根据题意得：EF=AF=-.3在 RtDEF中， DE=在 RtAEF中，有 AE2=af2+ef2,于是(8-x ) 2=42+x2.解得x=3,因此EF的长是3.(2)由(1)知：AE=8-3=5,.o (AE BC)AB (5 8) 6, &q

16、uot; S 梯形 ABCE = -=39 .2210 解(1) PQ/ MN因为四边形 ABCD矩形，所以 AD)/ BG且虫AD直线上.则有 AM/ BC,所以/ AMP=/ MPC由翻折可得：/ MPQ= CPQ=1 / MPC / NMP= AMN=1 / AMP22所以/ MPQ= NMP 故 PQ/ MN(2)两折痕PQ MN'前的距离不变.过 P 作 PHL MN 使 PH=PM sin / PMH因为/ QPC勺角度不变，所以/ C' PC的角度也不变，则所有的又因为AD/ BC,所以所有的PM都是相等的.又因为/ PMHh QPC故PH的长不变.(3)当/ Q

17、PC=45时，四边形 PCQC是正方形，四边形 C因为C Q=CQ C Q+QD=a所以矩形 C QDM勺周长为2a.同理可得，矩形 BPA N的周长为2a.2a,与b无关.AB=2 , AD=1, AF=- , / D=90°31 . DF=AD-AF=.3VEF2 -DF2 = .3(2)设AE与FG交于O,取AD的中点M,连结并延长 MQ1由轴对称的性质得 AO=EOMIN/ DE, MO“ DE2PMfB是平行的.QDM1矩形.BC于 N./ D=90° , AD/ BC,Gfl 四边形 MNCDI矩形，MN=CD=AB=2设 DE=x,贝U ON=2-1x. 2

18、AED的外接圆与 BC相切，ON AED的外接圆的半径.1 . OE=ON=2 x, AE=2ON=4-x 在 RtAED中，AE2+D=A,212+x2= （4-x） 2 ,解得 x= .DE=- , OE=2- x=.88216由轴对称的性质得 AE± FG./ FOE=Z D=90° .AD DE.把 OE=17, DE=15 , AD=2代入解得 FO=17 .168301717又 / OEFW DEA.FE8 AED-FO =°E .易证 FEB GA（OFO=GO.,.FG=2FO,即折痕 FG的长是一12解（1） P点坐标为（叵,3）; 22（2） .点 P（ , 3）, A（点,0）在抛物线 y=- - x2+bx+c±,4 3.33-b c -4 3 b、3 c=0 3解得 b= 33, c=1 .抛物线的解析式是y=- 4x2