构造模型解决问题

1、构造模型解决问题反比例函数中的一个重要结论运用的教学设计一、教学目标：1、知识技能：能根据双曲线的几何意义解决实际问题，体会几何意义是刻画现实世界某些 问题（数与形的转化）的一个有效模型；能利用几何意义进行推理运算。2、数学思考：经历数学问题向数学模型转换与过渡过程，探索问题中的数量关系和几何意义之间的联系，发展合情推理和演绎推理的能力，学会独立思考，体会数学基本思想和思维方式。3、解决问题：通过运用面积法解决与反比例函数有关问题，学会将数学问题转化为数学模型，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意思。4、情感态度：通过双曲线的几何意义建立数学模型解决函数与图像的数学问题，培养学生勇于探索的

2、良好学习习惯，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性，养成认真勤奋、独立思考、合作交流反、思质疑的学习习惯。二、教学重难点：重点：运用双曲线建模，解决与反比例函数有关的数学问题。难点：数学问题与数学模型的对接（把数学问题转化为数学模型）三、教学过程设计§ 1呈现问题情境，构建数学模型1 .复习回顾，激活知识生长点。函数解析式与函数图象上点的坐标之间的关系如何？特别地，若 P （Xo,yo）是反比例 k .函数y =（k =0, k为吊数）图象上的任意一点，则 k=? X在学生回答问题的基础上， 教师及时订正，主要是对文字表述准确性订正，并画出反比例函数的草图，标出图象上 P（x,y）的

3、坐标。板书k=x0y0为后面讲述k的几何意义做准备。呈现问题情境，刻画 k的几何意。设P为反比例函数y=2上一点P,过点P作X轴，y轴的垂线，垂足分别为 M、N,Xk与矩形或直角三角则四边形OMPN的面积是多少？反之如何？思考1:当点P在第三象限时，该四边形的面积是多少？反之如何？思考2:若连接PO,则 POM的面积是多少？反之如何？k思考3：设P为反比例函数y = （k #0,k为常数）上一点，其他条x件不变，则该四边形的面积为 , APOM的面积是 。反 之如何？在学生回答上述问题的基础上，让学生明白反比例函数的比例常数 形的面积建立了一种对应关系，实现了数与形完美结合，正如著名数学家华罗

4、庚先生所说的“数缺形时少直觉，形离数时难入微。”实现了学生对事物认识的一次飞跃。设计意图：在学生回顾复习函数解析式与函数图象关系的基础上，进一步了解反比例函数图象上的点P （x,y）与k的关系，激活知识生长点，作为引导学生关注k的几何意义的同时，为建立数学模型提供必要的铺垫。§ 2模型变式，合理运用。1、等积变换，合理转化，完美融合。等积变换是几何学中的一种重要的几何变换。一个图形经过变形后面积不变，我们称这种变形为等积变换。几何就是对图形世界的定性把握和定量刻画，正因为有了等积变换，几何上的许多问题才得以完美解决。既然反比例函数的k与几何图形息息相关，那么合理灵活地运用等积变换，那

5、么将创造一个五彩缤纷的几何世界，给人以精神上的愉悦和视角美的享受。而等积变换是建立在面积计算的基础上，面积的计算与高（比如三角形的高）密不可分，高又与平行线或垂线息息相关。为此我们回顾与面积有关的几个结论：学生回顾：同底（等底）等高（同高）的两个三角形了面积相等；如果两个三角形面积 相等，它们同底或等底（相等的底共线），如果第三个顶点在底所在直线同侧，则过这两个顶点的直线平行三角形的底所在的直线。反之亦然。在学生复习回顾的基础上，出示如下问题组（由学生通过合作交流自己解决问题）：问题1: （2010?山西）如图A是反比例函数图象上的一点，过 A作AB，y轴于点B, P在x轴上，Sabp = 2

6、 ,则反比例函数的解析式为 分析：由于同底等高的两个三角形面积相等，所以 AOB的面k=AABP的面积=2,然后根据反比例函数y=中k的几何意x1求出反比例函数的义,知 AOB的面积=卜,从而确定k的值, 解析式. k解：连结OA设反比例函数的解析式为 y = k ,X1 .,AOB的面积=AABP的面积=2, AOB的面积=一卜1 .-k =2, . k=±4;又.反比例函数的图象的一支位于第一象限,2k>0.k=4 .4这个反比例函数的解析式为y =X问题2:如图，A为双曲线y =2上一点，过A作AB/ x轴与双曲线y = 9交于点B ,连 AO、BO ,则 S&B

7、O分析：关注反比例函数图象的几何意义即可获得问题解决。解法一：设AB交y轴于。1,因为 AB/X轴则S. ABO = S.AOO11S.Boo1=-(24)=3 o解法二：作AC± X轴于C, BD)± X轴于D,则1SABO = 2 (S矩形 BDOO1S矩形 ACOO1)=1(2 +|4)1.问题3:如图过 O作直线 AB父y =一的图象于 X两点，ACx轴于C,则S&BC=3图9-'分析：反比例函数的图象关于原点对称结合等积变换原XX理及其几何意义联合考察即可获得问题解决。解：作BD)±x轴于D,因为直线 AB经过原点O且交双曲线y=1于A、

8、B两点，所以xBD=AC ,故 SBC 2 s否CO - 1或由OD=OCfS ABC=S ACO ' S OCB = S ACO ' S OBD1:12解题回顾与反思:问题的解决的关键知识点是什么，用到了哪些性质？添加辅助线起到了什么作用？ 问题的解决给我们有什么启迪？比如以上我们求解的都是已知面积求反比例函数的解析式，类似的问题反过来是否可求？你能归纳出一般化的问题解决模式一一建模。以上问题在教师的引导下，学生合作交流与自主探索完成。设计意图：通过运用反比例函数图象的一个性质来解决问题的教学实践，完成数学模型的再次建构，达到将所学知识进一步升华的目的。 问题设计采用分层次有

9、梯度的设问， 层层 递进，拾级而上，留给了学生较大的思维空间，让学生注重知识的发生发展过程，亲身追寻知识成长的轨迹，领悟探究的方法和思路。2、课堂练习，深化理解，熟练运用，和谐生成。同学们在教师的引导下，通过解读反比例函数图象的几何意义，运用启发式的教学理念，从特殊到一般，运用类比、化归的数学思想，逐步把已有的知识与目标融合、链接起来，从 而摸清问题的来龙去脉，完成知识的构建，体现了新课程教学理念的核心“再创造”。题目：如图，已知动点 A在函数y=f (x>0)的图象上，ABx轴于点B, AC，y轴x于点C ,延长CA至点D,使AD=AB ,延长BA至点E ,使AE=AC ,直线DE分别

10、交x轴 于点P, Q.当QE: DP=4 : 9时，图中阴影部分的面积等于？分析：设A(m,n),作EFLY轴于F, DGL X轴于G,由题设可知 D、E坐标可求得， QF EAtDDGR还有 Q E D、P四点共线，且直线的解析式也可求出，从而 Q P坐 标亦可求出。链接相似形、解直角形(或三角函数)、两点间的距离(勾股定理)等知识，问题可以获得解决。以下展示的是一种解法。其它解法在学生的自主探究下完成。解：设 A(m,n)在双曲线 y=“上，由题设，有 AC=AE=m , AB=AD=n , mn=4xED =<m2 +n2。作 EFL丫轴于F, DGL X轴于G于是/ QFa EA

11、D DGP 所以 qEJ m2nn2n 2PDmm+ n2 ，所以m m2 nn2=4:9QGFC2 mn2m2所以S.a，CES.ABD1/2,2、13= 2(m n) =Tmn设计意图：在学生的认知发展水平和已有的问题解决的经验的基础上,加深对反比例函数图象的几何意义的认识，通过一题多解培养学生思维的深刻性、广泛性和灵活性，使学生获得一些研究问题的方法和经验的同时发展思维能力。§3 运用巩固，形成能力。k例1 双曲线y=经过Pi、P2两点，AOP为等腰x三角形，A在x轴上，/ORA = 90°,ABx轴且 AR=1,求k的值连结OP,作等腰直角三角形的高 PiB,从反比

12、例函数 的几何意义，结合面积大小的比较即可获得问题解决。有解：作BPix轴于B,则B为OA的中点，连结 OP,又APa=1,所以PB=2,从而OA=4k = 2S qp2 a = 4也可以这样来考虑：设 Pi (x, k ),由题设易知P2 (2x, 1)且x=k于是有x2=2x,而 x不等于0,所以x=2,不难求出k=4o这样从函数点的坐标与函数解析式的关系获得了另一个解法。k .例2如图，B为双曲线y = (k > 0)上一点，直线 AB / y轴，交直线y=x于点A,右xOB2 -AB2 =s，求 k。解：设 B (a,b),则 A (a,a),因为 OB2 AB2 = s,222

13、a b -(a -b)二s故2ab = s,于是k= s2注：设B (a,b ),则A (a, k),也可求出k=。a2设计意图：教学育人的过程中给予学生创新意识和实践能力的培养是教师在教学中追求的最高目标，主要体现在对学生的创造性思维训练中。本组题目是建立在数学模型完成建构的基础上，巩固和运用新知而进行的解题训练，或从双曲线的几何意义(数学模型)为研究对象，或从点的坐标与函数的解析式之间的关系为研究对象，体现了数学研究对象结构和关 系美的本质，获得运用数学知识解答问题的活动中成功的体验，建立学习的自信心。§4引申拓展，灵活运用例3如图：Pi、P2、P3Pn分别在反比例函数2y =一

14、图象上的点，且 PAi、PA2、PA3PAn分力1J垂 x直于 x 轴，且 OA i=A iA2=A 2A3=A 3A 4=An-iAn,设S 总 10Al =S，S&A2Al = S2 依次类推，求 S20i3解：连结 PnO,因为 OAi=AiA2=A2A3=A3A4=-S=An-ian,则，nAn-A =1,所以 SS.ORAnOAnn1 c1日口 cn =-S/OPnAn =一。即 S2013 nn2013k例4 (2007年武汉市中考题)如图，已知双曲线 y= (x>0)经过矩形 OABC勺边xAB的中点F,交BC于点E,且四边形OEBF的面积为2,求k的值。对题目中的

15、条件和结论进行模式识别、差异分析、和信息转换、灵活运用等一系列思维活动，找准思维的起点，促使游移无序的思维有序化，方向化，找到问题解决的切入口和路径，是我们获得问题解决常用的方法。为此，我们利用利用双曲线的解析式中k的几何意义，在实现数与形的转化过程中，找准问题解决的切入口。以矩形面积与k值之间的数量关系为切入口我们可分别过 E、F作出矩形，构建等积的几何图形：S矩形°mec =S矩形“FN =k以及OMECOAFN利用F为AB之中点，不难获得问题解决。解法一：过 E作EM，OA于M ,过F作FN，OC于N , k,E、F两点在双曲线y = 上,X贝 U S 矩形 CEMO = k,

16、 S 矩形 NOAF = k ,而F为AB中点，S矩形ABco = 2k,而 Saceo= Sa oaf =k贝S 四边形 BEOF= S 矩形 ABCO Sa CEO - SA OAF = 2k2而四边形BEOF面积为2,，k=2。以三角形面积与 k值之间的数量关系为切入口k=k 2从问题的结构模式出发， 抓住Sa OCE =SAOAF=k的本质属性，灵活 运用F为AB的中点，找准四边形 OEBF的面积与矩形 OAB2间的关 系，具体解法如下解法二：连结0B, F为AB的中点，故有1 1-kSA oaf=Sab S矩形0ABe，, E、F两点在双曲线y=一上,2 4x_1cc1cSaoce =Saoaf=- S矩形oabc，Saoce +Saoaf=- S矩形oabc421c也就ZES四边形BEOF= _ Sg形oabc =2 ,故S矩形oabc = 42Saoaf=1 , 丁 F两点在双曲线 y = K上，Saoaf =,亦即=1 ,也就是 k=2 x22设计意图：设置一组由反比例函数几何意义复合构成的综合性问题，让学生经历等积变换和反比例函数图象几何意义灵活运用解决问题的过程，体现了建构基本图形在培养学生思维能力，激励学生数学素养的养成， 发