因式分解经典题及解析

1、2013组卷1 .在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)，事实上，除了这两种方法外，还有其它方法可以用来因式分解，比如配方法.例如，如果要因 式分解x2+2x-3时，显然既无法用提公因式法，也无法用公式法，怎么办呢？这时，我们 可以采用下面的办法：x2+2x - 3=x2+2 XM + 12T - 3=(x+1 )2-22=解决下列问题：(1)填空：在上述材料中，运用了 的思想方法，使得原题变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法；(2)显然所给材料中因式分解并未结束，请依照材料因式分解x2+2x-3;(3)请用上述方法因式分解 x2 - 4x

2、- 5.2 .请看下面的问题：把 x4+4分解因式分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢19世纪的法国数学家苏菲 ？热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和( x2) 2+ (22) 2的形 式，要使用公式就必须添一项 4x2,随即将此项4x2减去，即可得x4+4=x4+4x2+4 - 4x2= (x2+2) 2-4x2= (x2+2) 2- (2x) 2= (x2+2x+2) (x2-2x+2)人们为了纪念苏菲？热门给出这一解法，就把它叫做 热门定理”，请你依照苏菲？热门的做法， 将下列各式因式分解.(1) x4+4y4; (2) x2-2ax- b2- 2ab.3 .下

3、面是某同学对多项式(x2 - 4x+2) (x2-4x+6) +4进行因式分解的过程.解：设 x2- 4x=y原式二(y+2) (y+6) +4 (第一步)=y2+8y+16 (第二步)=(y+4) 2 (第三步)=(x2-4x+4) 2 (第四步)回答下列问题：(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 .A、提取公因式B.平方差公式C、两数和的完全平方公式 D.两数差的完全平方公式(2)该同学因式分解的结果是否彻底 .(填 彻底”或不彻底”) 若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 .(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2- 2x) (x2- 2x+2) +1进行因式分解.4 .找出能使

4、二次三项式 x2+ax- 6可以因式分解(在整数范围内)的整数值a,并且将其进行因式分解.5 .利用因式分解说明：两个连续偶数的平方差一定是4的倍数.6 .已知关于x的多项式3x2+x+m因式分解以后有一个因式为(3x-2),试求m的值并将 多项式因式分解.7,已知多项式(a2+ka+25) - b2,在给定k的值的条件下可以因式分解.请给定一个 k值 并写出因式分解的过程.8 .先阅读，后解题：要说明代数式2x2+8x+10的值恒大于0还是恒等于0或者恒小于0,我们可以将它配方成一个平方式加上一个常数的形式，再去考虑，具体过程如下：解：2x2+8x+10=2 (x2+4x+5)(提公因式，得

5、到一个二次项系数为1的二次多项式)=2 (x2+4x+22- 22+5)=2 (x+2) 2+1(将二次多项式配方)=2 (x+2) 2+2(去掉中括号)因为当x取任意实数时，代数式 2 (x+2) 2的值一定是非负数，那么 2 (x+2) 2+2的值一定为正数，所以，原式的值恒大于0,并且，当x=-2时，原式有最小值 2.请仿照上例，说明代数式- 2x2-8x-10的值恒大于0还是恒小于0,并且说明它的最大值 或者最小值是什么.9 .老师给学生一个多项式，甲、乙、丙、丁四位同学分别给了一个关于此多项式的描述：甲：这是一个三次三项式；乙：三次项系数为 1;丙：这个多项式的各项有公因式；丁：这个

6、多项式分解因式时要用到公式法；若已知这四位同学的描述都正确，请你构造一个同时满足这个描述的一个多项式.10 .在对某二次三项式进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为2 (x- 1)(x-9),而乙同学看错了常数项，而将其分解为2 (x-2) (x-4),请你判断正确的二次三项式并进行正确的因式分解.11 .观察李强同学把多项式(x2+6x+10) (x2+6x+8) +1分解因式的过程：解：设x2+6x=y,则原式=(y+10) (y+8) +1=y2+18y+81=(y+9) 2=(x2+6x+9) 2(1)回答问题：这位同学的因式分解是否彻底？若不彻底，请你直接写出因式分解的

7、最后结果：.(2)仿照上题解法，分解因式：(x2+4x+1) (x2+4x-3) +4.12 . (1)写一个多项式，再把它分解因式(要求：多项式含有字母 m和n,系数、次数不限，并能先用提取公因式法再用公式法分解).(2)阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题：1+x+x (x+1) +x (x+1) 2= (1+x) 1+x+x (x+1)=(1+x) 2 (1+x)2 / 91 / 93=(1+X ) 上述分解因式的方法是 ,由到 这一步的根据是 ； 若分解 1+X+X(X+1) +X(X+1 ) + , - +X(X+1) 2006,结果是 ； 分解因式：1+x+x (x+1) +

8、x (x+1) 2+ +x (x+1) n (n 为正整数).13.阅读下面的材料并完成填空：因为(x+a) (x+b) =X2+ (a+b) x+ab,所以，对于二次项系数为1的二次三项式 x2+px+q的因式解，就是把常数项q分解成两个数的积且使这两数的和等于p,即如果有a, b两数满足 a . b=a+b=p,贝U有 x2+px+q= (x+a) (x+b).如分解因式X2+5X+6 .解：因为 2M=6, 2+3=5,所以 x2+5x+6= (x+2) (x+3).再如分解因式X2- 5x - 6.解：因为6M=6, - 6+1= - 5,所以 X2 - 5x - 6=(X-6) (x

9、+1).同学们，阅读完上述文字后，你能完成下面的题目吗？试试看.因式分解：(1)X2+7X+12； (2)x27X+12; (3)x2+4x12;(4)X2-X-12.答案(1) 看下面的问题：把 X4+4分解因式分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢19世纪的法国数学家苏菲 ？热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和( X2) 2+ (22) 2的形 式，要使用公式就必须添一项 4x2,随即将此项4x2减去，即可得x4+4=x4+4x2+4 - 4x2=(X2+2) 2-4x2=(X2+2) 2 (2x) 2=(X2+2X+2) (x2 2x+2)人们为了纪念苏菲？热门给

10、出这一解法，就把它叫做 热门定理”，请你依照苏菲？热门的做法， 将下列各式因式分解.(2) x4+4y4; (2) X2 2ax b2 2ab.考点：因式分解-运用公式法.专题：阅读型.分析：这是要运用添项法因式分解，首先要看明白例题才可以尝试做以下题目.解答：解：(1) x4+4y4=x4+4x2y2+4y2 - 4x2y2,=(x2+2y2) 2 - 4x2y2,=(x2+2y2+2xy ) (x2+2y2 2xy);(3) x2- 2ax - b2- 2ab,=x 2-2ax+a2 - a2 - b2 - 2ab,=(x - a) 2- ( a+b) 2,=(x a+a+b) (x aa

11、 b),=(x+b) (x- 2a - b).点评：本题考查了添项法因式分解，难度比较大.2.下面是某同学对多项式(x2-4x+2) (x2-4x+6) +4进行因式分解的过程.解：设 x2- 4x=y原式二(y+2) (y+6) +4 (第一步)=y2+8y+16 (第二步)=(y+4) 2 (第三步)=(x2-4x+4) 2 (第四步)回答下列问题：(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的C .A、提取公因式B.平方差公式C、两数和的完全平方公式D.两数差的完全平方公式(2)该同学因式分解的结果是否彻底不彻底 .(填 彻底”或 不彻底”)若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果(x-2)

12、4 .(3)请你模仿以上方法尝试对多项式( x2- 2x) (x2- 2x+2) +1进行因式分解.考点：提公因式法与公式法的综合运用.专题：阅读型.分析：(1)完全平方式是两数的平方和与这两个数积的两倍的和或差;(4) x2 - 4x+4还可以分解，所以是不彻底.(3)按照例题的分解方法进行分解即可.解答：解：(1)运用了 C,两数和的完全平方公式；(5) x2 - 4x+4还可以分解，分解不彻底；(3)设 x2 - 2x=y .(x2 - 2x) ( x2 - 2x+2) +1 ,=y (y+2) +1,=y2+2y+1 ,=(y+1) 2，=(x2 - 2x+1 ) 2,=(x - 1

13、) ,按照提供的方法和样式解答点评：本题考查了运用公式法分解因式和学生的模仿理解能力, 即可，难度中等.3 .找出能使二次三项式 x2+ax- 6可以因式分解(在整数范围内)的整数值a,并且将其进行因式分解.考点：因式分解-十字相乘法等.分析：根据十字相乘法的分解方法和特点可知：a是-6的两个因数的和，则-6可分成3X(-2), - 3浸，6X(- 1), - 6M,共4种，所以将x2+ax-6分解因式后有4种情 况.解答：解：x2+x - 6= (x+3) (x 2);x2-x-6= (x-3) (x+2);x2+5x - 6= (x+6) (x T);x2 - 5x - 6= (x 6)

14、(x+1 ).点评：本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，常数-6的不同分解是本题的难点.4 .利用因式分解说明：两个连续偶数的平方差一定是4的倍数.考点：因式分解的应用.分析：根据题意设出两个连续偶数为2n、2n+2,利用平方差公式进行因式分解，即可证出结论.解答：解：设两个连续偶数为 2n, 2n+2,则有2 2n+2) 2 - ( 2n) 2,=(2n+2+2n) (2n+2-2n),=(4n+2) 2=4 (2n+1),因为n为整数，所以4 (2n+1)中的2n+1是正奇数，所以4 (2n+1)是4的倍数，故两个连续正

15、偶数的平方差一定能被4整除.点评：本题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确设出两个连续正偶数，再用平方差公式对列出的式子进行整理，此题较简单.5.已知关于x的多项式3x2+x+m因式分解以后有一个因式为(3x-2),试求m的值并将多项式因式分解.考点：因式分解的意义.分析:由于x的多项式3x2+x+m分解因式后有一个因式是3x- 2,所以当x_2时多项式的值为0,由此得到关于 m的方程，解方程即可求出 m的值，再把m的值代入3x2+x+m进行因式分解，即可求出答案.解答：解：二伙的多项式3x2+x+m分解因式后有一个因式是3x- 2,2当x二用时多项式的值为0,即 3XIV=0，2+m=0

16、, m= - 2;3x2+x+m=3x 2+x - 2= (x+1 ) (3x - 2);故答案为：m=-2, (x+1) (3x-2).点评：本题主要考查因式分解的意义，有公因式时，要先考虑提取公因式；注意运用整体代 入法求解.6,已知多项式(a2+ka+25) - b2,在给定k的值的条件下可以因式分解.请给定一个 k值 并写出因式分解的过程.考点：因式分解-运用公式法.5/93/9专题 ： 开 放型分析：根 据完全平方公式以及平方差公式进行分解因式即可解答：解 ： k= 10，假设 k=10 ，则有(a2+i0a+25) - b2= (a+5) 2b2= (a+5+b) (a+5b).点

17、评： 此 题主要考查了运用公式法分解因式， 正确掌握完全平方公式和平方差公式是解题关键7先阅读，后解题：要说明代数式2x2+8x+10 的值恒大于 0 还是恒等于0 或者恒小于0，我们可以将它配方成一个平方式加上一个常数的形式，再去考虑，具体过程如下：解： 2x2+8x+10=2( x2+4x+5 ) (提公因式，得到一个二次项系数为1 的二次多项式)=2 (x2+4x+22- 22+5)=2 (x+2) 2+1 (将二次多项式配方)=2( x+2 ) 2+2(去掉中括号)因为当 x 取任意实数时，代数式2(x+2) 2 的值一定是非负数，那么 2(x+2) 2+2 的值一定为正数，所以，原式

18、的值恒大于0,并且，当x=-2时，原式有最小值 2.请仿照上例，说明代数式-2x2-8x-10的值恒大于0还是恒小于0,并且说明它的最大值或者最小值是什 么考点 ： 配 方法的应用；非负数的性质：偶次方分析： 按 照题目提供的方法将二次三项式配方后即可得到答案解答：解：一2x2- 8x- 10=-2 (x2+4x+5)=-2 (x2+4x+2 2- 22+5)=-2 (x+2) 2+1=-2 (x+2) 2- 2因为当x取任意实数时，代数式2 (x+2) 2的值一定是非负数，那么- 2 (x+2) 2-2的值一定为负数，所以，原式的值恒小于0,并且，当x=-2时，原式有最大值-2.点评： 此

19、题考查了配方法与完全平方式的非负性的应用 注意解此题的关键是将原代数式准确配方8老师给学生一个多项式，甲、乙、丙、丁四位同学分别给了一个关于此多项式的描述：甲：这是一个三次三项式；乙：三次项系数为 1；丙：这个多项式的各项有公因式；丁：这个多项式分解因式时要用到公式法；若已知这四位同学的描述都正确，请你构造一个同时满足这个描述的一个多项式考点： 提 公因式法与公式法的综合运用专题： 开 放型分析：能 用完全平方公式分解的式子的特点是：三项；两项平方项的符号需相同；有一项是两底数积的 2 倍解答：解 ：由题意知，可以理解为：甲：这是一个关于 x三次三项式；乙：三次项系数为 1,即三次项为x3;丙

20、：这个多项式的各项有公因式X；丁：这个多项式分解因式时要用到完全平方公式法.故多项式可以为 x (x-1) 2=x (x2-2x+1) =x3-2x2+x.点评：本题考查了提公因式法和公式法分解因式，是开放性题，根据描述按照要求列出这个 多项式.答案不唯一.9.在对某二次三项式进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为2 (x- 1)(x-9),而乙同学看错了常数项，而将其分解为2 (x-2) (x-4),请你判断正确的二次三项式并进行正确的因式分解.考点：因式分解的应用.分析：此题可以先将两个分解过的式子还原，再根据两个同学的错误得出正确的二次三项 式，最后进行因式分解即可.解答：

21、解：2 (x1) (x 9) =2x2- 20x+18 , 2 (x2) (x4) =2x2 12x+16;由于甲同学因看错了一次项系数，乙同学看错了常数项，则正确的二次三项式为：2x2- 12x+18;再对其进行因式分解：2x2- 12x+18=2 (x-3) 2.点评：本题考查了因式分解的应用，题目较为新颖，同学们要细心对待.10.观察李强同学把多项式(x2+6x+10) (x2+6x+8) +1分解因式的过程：解：设x2+6x=y ,则原式=(y+10) (y+8) +1=y2+18y+81=(y+9) 2=(x2+6x+9) 2(1)回答问题：这位同学的因式分解是否彻底？若不彻底，请你

22、直接写出因式分解的最后结果：(x+3) 4(2)仿照上题解法，分解因式：(x2+4x+1) (x2+4x3) +4.考点：因式分解-十字相乘法等.专题：换元法.分析：(1)根据x2+6x+9= (x+3) 2,进而分解因式得出答案即可;(2)仿照例题整理多项式进而分解因式得出答案即可.解答：解：(1)这位同学的因式分解不彻底，原式=(y+10) (y+8) +1=y2+18y+81=(y+9) 2=(x2+6x+9) 2=(x+3) 4.故答案为：(x+3) 4;(2)设 x2+4x=y ,贝U原式二(y+1) (y - 3)+4=y 2 2y+1=(yT) 2=(x +4x 1) .点评：此

23、题主要考查了因式分解法的应用，正确分解因式以及注意分解因式要彻底是解题关键.11. (1)写一个多项式，再把它分解因式(要求：多项式含有字母 m和n,系数、次数不限， 并能先用提取公因式法再用公式法分解).(2)阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题：1+x+x (x+1) +x (x+1) 2= (1+x) 1+x+x (x+1)=(1+x) 2 (1+x) 3=(1+x) 上述分解因式的方法是提公因式法分解因式，由到 这一步的根据是同底数哥的乘法法则； 若分解 1+x+x (x+1) +x (x+1) 2+ - +x (x+1 ) 2006,结果是 ( 1+x) 2007 ； 分解因式：1+x+x (x+1) +x (x+1) 2+ - +x (x+1) n (n 为正整数).考点：因式分解-提公因式法.分析：(1)根据题目要求可以编出先提公因式后用平方差的式子，答案不唯一；(2)首先通过分解因式，可发现 中的式子与结果之间的关系，根据所发现的结论可直接得到答案.解答：解：(1) m3- mn2=m (m2n2) =m (m n) (m+n),(2)提公因式法，同底数