圆与函数整合中考题

1、2012潍坊如图，三角形 ABC的两个顶点B、C在圆上，顶点 A在圆外，AB AC分别交圆于E、D两 点，连结EG BD.(1)求证：A AB3 AACB(2)若A BEC与A BDC勺面积相等，试判定三角形ABC的形状.2012威海20.如图，AB为。的直径，弦 CDXAB ,垂为点E。K为Ac上一动点，AK、DC的延长线 相交于点F,连接CK、KD。(1)求证：/ AKD= / CKF;(2)若，AB=10 , CD=6,求 tan/CKF 的值。【答案】解：(1)证明：连接AD。.一/CKF是圆内接四边形 ADCK的外角,/ CKF= / ADC 。. AB 为。的直径，弦 cdxab,

2、Ad Ac 。/ ADC= / AKD 。/ AKD = / CKF 。(2)连接OD。.AB为。的直径， AB=10OD=5。,.弦 CD，AB, CD=6, DE=3o在 RtODC 中，OE JOD2DE 4。. . AE=9。_ AE 9 _在 RtAADE 中，tan ADE 3。 DE 3 Z CKF= Z ADE , tan CKF 3。11. （2011芜湖）如图，已知直线PA交。O于A、B两点，AE是。的直径. 上一点，且 AC平分/ PAE,过 C作CDLPA,垂足为 D.点C为。O求证：CD为。的切线；(2)若DC + DA = 6,。的直径为10,求AB的长度.解(1)

3、证明：连接OC,.点 C 在。O 上，OA=OC, ./ OCA= ZOAC. . CDXPA,CDA= 90°, ./ CAD+ / DCA=90°. AC 平分 / PAE, ./ DAC= / CAO./ DCO = / DCA + / ACO = / DCA + / CAO = / DCA + / DAC = 90°.又点C在。O上，OC为。的半径， .CD为。O的切线.(2)解：过O作OFLAB,垂足为F,/ OCD = / CDA = / OFD = 90°, 四边形OCDF为矩形，.OC=FD , OF = CD. . DC + DA=6,

4、设 AD=x,贝U OF = CD = 6 x. .OO 的直径为 10, .-.DF = OC=5,AF=5-x.在RtAAOF中，由勾股定理得AF2+OF2=OA2.即(5 x)2+(6 x)2=25,化简彳导:x2-11x+18=0,解得x=2或x= 9.由 AD<DF ,知 0<x<5,故 x= 2. . AD=2, AF = 5-2= 3.OFLAB,由垂径定理知，F为AB的中点， AB=2AF=6.2012大连26.如图15,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-J3,0)、B(J3,0)、C(0,3)三点，线段BC与抛物线 的对称轴l相交于点D。设抛物线的顶点为

5、P,连接PA、AD、DP,线段AD与y轴相交 于点E。(1)求该抛物线的解析式；(2)在平面直角坐标系中是否存在点Q,使以Q、C、D为顶点的三角形与 ADP全等？若存在，求出点 Q的坐标，若不存在，说明理由；(3)将/ CED绕点E顺时针旋转，边 EC旋转后与线段 BC相交于点M,边ED旋转后与 对称轴l相交于点N,连接PM、DN,若PM=2DN ,求点N的坐标(直接写出结果)。1 22.3 八26、(1) y x x 33 3(2) Qi(0,7)；Q2(3.3,4)03(3 2);Q4( 2.3,1)(3)如图，做EFL于点F,由题意易证明 PMD EMD , CME DNEPM=EM=E

6、N= 2DN ,由题意 DF= 1, EF= V3 , NF= 1-DN在RtAEFN中_ 2 2_ 2EN EF NF22 , 4DN2 3 1 DN 解得 DNP3.c 13 17137.13 GN 2 -. NH,3,-)333(1)求抛物线解析式及顶点坐标；(2)设点E ( x, y)是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形.求平行四边形 OEAF的面积S与X之间的函数关系式，并写出自变量X的取值范围；当平行四边形 OEAF的面积为24时，请判断平行四边形 OEAF是否为菱形？是否存在点E,使平行四边形 OEAF为正方形？若存在，求出点 E的坐标；若

7、不存 在，请说明理由.12. （2011某江）在如图的直角坐标系中，已知点 A（1,0）、B（0, 2）,将线段AB绕点A 按逆时针方向旋转 90°至AC.求点C的坐标；1 C（2）若抛物线y= 2X2+ax+2经过点C.求抛物线的解析式；在抛物线上是否存在点P（点C除外）使 ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点 P的坐标；若不存在，请说明理由.解过点C作CDx轴，垂足为D,在4ACD 和 ABAO 中，有 / CAD + / BAO= 90 ； / ABO+ / BAO= 90 ； . . / CAD = /ABO.又/ADC = /AOB=90°,

8、 CA=AB, /.A ACDA BAO,，CD = OA=1, AD = BO11- 1=- 2X 32+ 3a+2,解得 a = 2.1 1抛物线的解析式为y= jx2+ ；x+ 2.解法一：i）当A为直角顶点时 ，延长CA至点P1,使AP1 = AC=AB,则4ABP1是以AB为直 角边的等腰直角三角形.过点 P1 作 PEx 轴， AP1 = AC, /EAP=/DAC, / P1EA = / CDA = 90°,EP1AA DCA,AE= AD = 2, EP = CD = 1, .可求得 P1 的坐标为（一1,1）.经检验点P1在抛物线上，因此存在点P1满足条件；ii）当

9、B为直角顶点时，过点 B作直线 UBA,在直线l上分别取BP2=BP3=AB,得到 以AB为直角边的等腰 RtABP2和等腰RtA ABP3.# PzFy轴，同理可证 BPzFABO, .P2F=BO=2, BF=OA=1,可得点P2的坐标为（ 2, 1）,经检验P2在抛物线上，因此存在点P2满足条件.同理可得点P3的坐标为（2, 3）,经检验P3不在抛物线上，故不存在满足条件的点综上，抛物线上存在点Pi（1,1）, P2（ 2, 1）两点，使得 4ABP1和4ABP2是以 AB为直角边的等腰直角三角形.解法二：,，一入一， 一，11,i）当点A为直角顶点时，易求出直线AC的解析式为y=2x

10、+ 2，由11y= ?x+ 2,y= - 2x2+ 2x+2,解之可得P1（1,1）（已知点C除外）.作 PEx 轴于 E,则 AE=2, P1E=1,由勾股定理有 AP1="JaE2+P1E2 =V5. . AB =®，AP1 = AB, .P1AB是以AB为直角边的等腰直角三角形；ii）当B点为直角顶点时，过 B作直线l/AC交抛物线于点P2和点P3,易求出直线l的 解析式为：11y=-2x-2，y=-2x2,由1 1）y=- 2x2+2x+2,解得 x1=- 2 或 x2=4., P2（2, 1）, P3（4, - 4）.作P2F，y轴于F,同理可求得BP2= V5=

11、 AB,.P2AB是以AB为直角边的等腰直角 三角形.作P3HLy轴于H,可求得BP3 = 22+42 = 2寸5 w AB,. ABP3不是等腰直角三角形， ，点P3不满足条件.综上，抛物线上存在点P1（- 1,1）, P2（ - 2, 1）两点，使得 AABP1 AABP2是以AB为直角边的等腰直角三角形.13. （2011襄阳）如图，在平面直角坐标系 xOy中，AB在x轴上，AB=10,以AB为直径的。O'与y轴正半轴交于点 C,连接BC、AC, CD是。O'的切线，ADLCD于点D, 1tanZ CAD =-,抛物线 y= ax2 + bx+c 过 A、B、C 二点.求

12、证：/ CAD =/ CAB;(2)求抛物线的解析式；判定抛物线的顶点 E是否在直线CD上，并说明理由；(3)在抛物线上是否存在一点P,使四边形PBCA是直角梯形.若存在，直接写出点P的坐标(不写求解过程)；若不存在，请说明理由.解(1)证明：连接O' C.CD 是。O'的切线，O' CXCD.ADXCD, .O' C/AD, ./O' CA=/CAD. O' C=O' A,./O' CA=/CAB. ./ CAD= / CAB.(2). AB 是。O'的直径，. ./ACB=90 °. .OCXAB, ./ C

13、AB= / OCB,CAOA BCO,OC_ OB , , _ _ _ OA OC即 OC2=OA OB.1 . tan/ CAO = tanZ CAD =Q, .OA=2OC.X/AB=10, -OC2=2OCX(10-2OC). .OC>0, .OC = 4, OA=8, OB=2. A(-8,0), B(2,0), C(0,4). 抛物线y=ax2+bx+c过A、B、C三点，_14a+2b+c= 0,a= 4,由题意得 64a-8b+c=0,解之得 b=_3,c= 4,c= 4.y= - ：x2 |x+ 4.设直线DC交x轴于点F,易证AOCADC,AD = AO = 8. O&#

14、39; C/ AD,.FO' CA FADO F O' CAF = AD .5 + BF10+BFBF = 103，设直线DC16F(5,0).的解析式为y=kx+m,m= 4,则16-k+ m= 033k-3k4即 4m = 4.y= /+ 4.由 y=-4x2-|x12 25+ 4=- 4(x+3)2+,得顶点E的坐标为E(-3, 25). 25 33-25将E( 3, 丁)横坐标代入直线 DC的解析式y=-4x+ 4中，右边=4X(-3)+4= .抛物线的顶点E在直线CD上.(3)存在.Pi(-10, 6), P2(10, 36).28.如图1,抛物线y=ax2+bx+3

15、与x轴相交于点 A (-3, 0), B (-1, 0),与y轴相交于点C, OO1为ABC的外接圆，交抛物线于另一点D.(1)求抛物线的解析式；(2)求cos/ CAB的值和。01的半径；(3)如图2,抛物线的顶点为 P,连接BP, CP, BD, M为弦BD中点，若点N在坐标平 面内，满足 BMNBPC,请直接写出所有符合条件的点N的坐标.求出点N的坐标.BC= " 32 屈.【分析】(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式;(2)如答图1所示，由4 AOC为等腰直角三角形，确定/ CAB=45 ° ,从而求出其三角函数值；由圆周角定理，确定 BO1C为等腰直角三角形，从

16、而求出半径的 长度；(3)如答图2所示，首先利用圆及抛物线的对称性求出点D坐标，进而求出点 M的坐标和线段 BM的长度；点B、P、C的坐标已知，求出线段 BP、BC、PC的长 度；然后利用 BMN sbpc相似三角形比例线段关系，求出线段 BN和MN的长度；最后利用两点间的距离公式，列出方程组, 【解答】解：(1) ,抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点 A (-3, 0), B (-1, 0),.9a 3b 3 0 ?a b 3 0解得 a=1, b=4,，抛物线的解析式为：y=x2+4x+3 .(2)由(1)知,抛物线解析式为:y=x2+4x+3 ,令 x=0,得 y=3, C (0, 3),OC=OA=3，则4AOC为等腰直角三角形，/ CAB=45 ° ,2 cos/ CAB=.在RtABOC中，由勾股定理得：如答图1所示，连接O1B、O1B,由圆周角定理得：/ BOiC=2 / BAC=90. BO1C为等腰直角三角形，O O1 的半径 O1B=2 bc= J5 .(3)抛物线 y=x2+4x+3= (x+2) 2-1,，顶点P坐标为(-2, -1),对称轴为x= -2. 又 A (-3, 0), B (-1, 0),可知点 A、B 如答图2所示，由圆及抛物线的对称性可知：D、点C (0, 3)关