《常微分方程》模拟考试试卷一

1、常微分方程模拟考试试卷一单项选择题（每小题2分，共40分）1.下列四个微分方程中，为三阶方程的有（)个.工dxA. 1B. 2C.D. 42.为确定一个一般的n阶微分方程 尸（见箝包也）=0的一个特解，通常应给出'r小r '投的初始条件是（).A.y 丁 =由axB.dx与 加1C.X = x0 时,变二 dxD.dx).3.微分方程 工勺,=（9一,y- 1的一个解是（A. - kB. V = .7C.IDD DD. V 一XK4.下列方程中，既是齐次方程又是线性方程的是（）.A.二一.B.二一C.5.若方程d* xdx x xD.；、 rdx xC.，+工"以4

2、J寸心上口是恰当方程，则丁=A.二,I-D-二6.若方程 M（工+ 力=U有只与y有关的积分因子 白，则可取拄为1 (3MB.3犷 由C. - ：_：1,加/ 吟，I- uV f中 广L 飞 / JD.7.可用变换（）将伯努利方程 玄=化为线性方程dxC.A.1-"8 .是满足方程 y”+2y45y + jv = 1和初始条件（）的唯一解.B.八一TC. . ,' /1' 'D.y = LV(O)=Q»" =09 .设九上一入是n阶齐线性方程 也+/。+口式加=0的解，其中鼻是某区间中的连续函数.如下叙述中，正确的是（）.A.若当,尸”,，

3、瑞的伏朗斯基行列式为零，则出，心,.乂线性无关B.若1yL，尸=y/的伏朗斯基行列式不为零，则九当,.,砥线性相关C.若九为-%的伏朗斯基行列式不为零,则必，为，,居线性无关D.由尸1，为八的伏朗斯基行列式是否为零，不能确定 人内一4的线性相关性10.设线性无关的函数 乂（工）和匕衣）是方程臣+以为":+虫=0的解，则方程 一上产 dx2 dx土斗以力今+变二1的通解是（）dF dx1 dxA.'二.一,二（C=Gj,q是任意常数，下同）B.为仆)+c“ + iC.ii.三阶系数齐线性方程 J"-2”+了 = 0的特征根是（）.A. 0, 1, 1B. 0, 1,-

4、1C. 1, 二2D. 1,12.方程 y J6y+i0y= o的基本解组是（).C. ' . ' '' "t 'D. = ,一： 1- -13.方程y-y的待定特解可取如下的形式:D. G十J|，iD.A.14 .已知j（T）=ly式工）二jtj式工）二一是某一三阶齐线性方程的解和y式工的伏朗斯基行列式 即切=（).A. 3B. 2C. 1D. 015 .可将三阶方程 /卜山上白/尸.出口 +工）化为二阶方程的变换为).16.方程组JA. - rC.D.Jrdt“满足初始条件4忒0）二。的解为（MO）=o).diA.B.C.D.17. n阶函

5、数方阵 A（E）在（一通+地）上连续，方程组立二A0）工有基解矩阵 中，如出下叙述中，正确的是（）.A.堂（f）的每个列向量是该方程组的解向量且det中 在某一点环为零B.巾的每个行向量是该方程组的解向量且det虱。工0C.的每个列向量是该方程组的解向量且d吐（f）恒不为零D.©的每个行向量是该方程组的解向量且det（f）恒不为零18 .设A是n阶常数方阵，）是A的一个特征值， 则方程组 = Aa有解为 出忒上）=电气,其中曾是（）A.矩阵A的对应于工的特征向量B.任意向量C.矩阵A任意一个行向量D.矩阵A的任意一个列向量19 . n阶函数方阵 在（-s,+g）上连续，方程组四二A&

6、#169;工有两个基解矩阵 Q） cis和小（£）,如下叙述中，正确的是（）.A.存在非奇异的常数矩阵 C,使得已©二中b.存在非奇异的常数矩阵c,使得中（力=乎（C.存在非奇异的常数矩阵 C,使得中=甲+ CD.存在非奇异的常数矩阵 C,使得以£）= 丁90）仃20 .设©和3（力都是由方程组 空二4的n个解向量所组成的方阵,其 di''中 A（£）是在（-电十可上连续的函数方阵,/（）是连续的列向量,则如下断言中正确的为（）.A.-乎必是方程组 四二的基解矩阵JrB.一乎（£）仍是方程组 也二Aq）x+.©

7、;的解矩阵 di''C.4（£）一于（£）是方程组 竺二A&）工的解矩阵dtD.中© 十里口）也是方程组 M=AQ）工+ /1）的解矩阵.dt二简答题（每小题3分，共15分）21.写出把方程里二月di化为变量分离方程的变换，并将变换后的方程进行变量分离.22 .试写出二阶欧拉方程 ,之竺工42尸=口的一个基本解组 心？ 以23 .写出初值问题 变二丈十3” ,y（0） = 0的第二次近似解. dx24 .函数y =。和,=”都是初值问题 处二2后,尸（0） 二 口的解.试用解的唯一存在 dx性定理解释这个初值问题的解存在但不唯一的原因.25

8、 .已知三阶方阵 A的特征值为1，1，2,对应的特征向量分别为出方程组 电二Ax的标准基解矩阵（既当t=0时为单位矩阵的基解矩阵）亡即Af . 业三计算题（一）（每小题5分，共15分）26.解方程一 _；dx x27.解方程'" ii' "(': j -.28.求解方程尸= 1（y尸+1（尸尸，其中了二史23dx：一 .解方程，: £1 或士四计算题（二）（每小题6分，共18分）29.30.求方程组 皿二Ax的一个基解矩阵，其中A = di31 .求解方程 4K+4/二忠吕.五应用题（6分）32 .求平面上过原点的曲线方程，该曲线上任一点处

9、的切线与切点和点（1,0）的连线相互垂直.六证明题（6分）33 .设都是区间（-oo?+co）上的连续函数,且伊（工）,啊（工）是二阶线性方程 '”+（工»+式芯）7/=。的一个基本解组.试证明：（i） Mx）和靴都只能有简单零点（即函数值与导函数值不能在一点同时为零）；（ii） 伊 和炉Q）没有共同的零点；（iii） 停幻和亚国力没有共同的零点.常微分方程模拟试题一参考答案一单项选择题（每小题2分，共40分）1. C 2. A 3. D 4. D 5. C 6. A 7. B 8. C 9. C 10. A11. D 12. BB 20. C二简述题（每小题21. j -,

10、 x-1 -13. C 14.B15. A 16. D 17. C 18. A 19.3分，共15分）T1 血g -n du =.22.kl + Wx23 . .1324 .，一一,卡不满足利普希茨条件.f t n 力e U 8 - e25 .0 J 0.I。/ J三计算题（一）（每小题5分，共15分）26 .解：对应齐方程为 包易得其通解为： l#（C为任意常数）.利用常数变易法:令八”则尸+Q京.代入原方程整理得 小）二1，积分有Cij）=ln I工I+C .原方程的通解为X门I 5¥，（C是任意常数）y = （In | x +CjeJ、/27 .解：记4, 口 = /+4巧/.

11、则因军=日/="2知原方程为恰当方 为程.将原方程分项组合为因而原方程的通解为（C是任意常数）-1.28 .解：引入参数F“二也则原方程变为 dx在方程两边对x求导，得到若 ”Q,可得 =Q为解.否之分离变量并积分可得到由此可得原方程的参数解（C是任意常数）：大二并+ ；并“ + D1 3 1 5y = -p2 3四计算题（二）（每小题6分，共18分）29 .解：令三二迎,则U=.原方程化为 &x dd dy（对于z = Q,可得A二匚也是原方程的解）分离变量后容易得解:厘=上利用左二竺再次分离变量并积分整理可得原方程的通解（clf q是任意常数）：/ 7 1_ E '

12、;30 .解：dut（；lI - A）=det=£-3N-1。.即 A的特征根为"2 1-2）4 = 5, 及=-24 = 5所对应的特征向量可取为5儿=-2所对应的特征向量可取为则基解矩阵为31.解:力© =特征方程为 选4万+4工=0，特征根为 入=。8 =2.对应齐方程的通解为，-",！.设原方程的特解有形如：.代如原方程可得二. - - -1 .利用对应系数相等可得 昂= IQ =。，故jP：R）:.原方程的通解可以表示为（c1r 4 c3是任意常数）:- - 1-,+一；.五应用题（6分）32 .解：设曲线方程为y 二（£）,切点为（x,y）,切点到点（1,0）的连线的斜率为工,则由题意可得如下初值问题：,y iy= -11工-1P=。分离变量,积分并整理后可得 / =_（X_1）2 +C .代入初始条件可得 c = l，因此得所求曲线为六证明题（6分）33 .证明：口。）和田5）的伏朗斯基行列式为郎=因仍泛）和幔（K）是基本解组，故.，.一 一.1二 1 L.若存在 晶巨（-吗+co） ,使得 病/）= 0sa）