极限的运算法则与复合函数的极限（课堂PPT）

1、.2一、极限的四则运算法则一、极限的四则运算法则三、复合函数的极限三、复合函数的极限二、求极限举例二、求极限举例四、小结四、小结 第一章 .3一、一、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则,)(lim,)(limBxgAxf则有则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA定理定理2.7 2.7 若若)()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA推论推论 1、)(lim)(limxfCxfC推论推论3 、nnxfxf )(lim)(lim推论推论 2、1111lim( ).( )lim( ).lim( )nnnc fxc f xcfxcfx .4为无穷小为无穷小定理定理2.

2、9 2.9 若若,)(lim,)(limBxgAxf且且 B0 , 则有则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf证证: :因因,)(lim,)(limBxgAxf有有,)(,)(BxgAxf其中其中,设设BAxgxf)()(BABA)(1BB)(AB无穷小无穷小有界有界BA因此因此由极限与无穷小关系定理得由极限与无穷小关系定理得BAxgxf)()(lim)(lim)(limxgxfBAxgxf)()(为无穷小为无穷小,.5注注2：对定理：对定理2.9，B不为；推论不为；推论1、2、3只适只适 用于有限个函数。用于有限个函数。注：注： 在同一变化趋势下，极限都要在同一变化趋势下，极

3、限都要 在，否则不能用上述法则。在，否则不能用上述法则。)(),(xgxf则则 一定不存在；一定不存在；注注3：若：若 , 其中只有一个存在，其中只有一个存在，)(lim),(limxgxf)()(lim(xgxf 则则 不一定不存在；不一定不存在； 注注4：若：若 ，两个极限都不存在，两个极限都不存在，)(lim),(limxgxf)()(lim(xgxf 比如：比如：.1)1cos11(coslim,)11(coslim,1coslim000 xxxxxxx但但.6二、求极限举例二、求极限举例例例1 22lim (232)xxx 例例2 xxxxlim22222(lim)3 limlim

4、2xxxxx 解 原式解 原式.7小结小结: :则则有有设设,)(. 1110nnnaxaxaxf nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf 则则有有且且设设, 0)(,)()()(. 20 xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx )()(00 xQxP ).(0 xf .,0)(0则则商商的的法法则则不不能能应应用用若若 xQ注：注：当当 f (x)为初等函数时为初等函数时，x0为定义域内的点，则为定义域内的点，则)()(lim00 xfxfxx.8 分析：分析：x = 3

5、时分母为时分母为 0 例例3、934lim223xxxx31lim3xxx)3)(3() 1)(3(lim3xxxxx6231解、解、 原式原式.9例例4、设、设 ，求，求b、c的值的值 2213lim21xxbxcx 23lim(1)0 xx 解、解、 因为因为 分母趋于分母趋于0极限的反问题极限的反问题且极限且极限 存在存在2213lim21xxbxcx 所以必有存在所以必有存在21lim30 xxbxc21lim330 xxbxcbc 否则原极限否则原极限应当为无穷大应当为无穷大得得 c=-3-b.102222112211333limlim113(1)(1)lim3lim113222,1

6、xxxxxbxcxbxbxxxb xbxxbbc 结论：如果结论：如果 存在，且存在，且( )limg( )f xxlimg( )0 x 则必有则必有lim( )0f x 证明：证明：( )lim( )lim.g( )0g( )f xf xxx.11例例5 5 求求.4532lim21xxxx解解: x = 1 时时3245lim21xxxx0312415124532lim21xxxx分母分母 = 0 , 分子分子0 ,但因但因.12例例6 6 求求.125934lim22xxxxx解解: x时时,分子分子.22111125934limxxxxx分子分母同除以分子分母同除以,2x则则54分母分

7、母“ 抓大头抓大头”原式原式.13小结小结: :为为非非负负整整数数时时有有和和当当nmba, 0, 000 , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx当当当当当当无穷小分出法无穷小分出法: :以分母中自变量的最高次幂除分以分母中自变量的最高次幂除分子、分母子、分母,以分出无穷小以分出无穷小,然后再求极限然后再求极限.14例例7 7).21(lim222nnnnn 求求解解是是无无穷穷小小之之和和时时, n222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先变形再求极限先变形再求极限.注意：无限个

8、无穷小量的和不一定是无穷小注意：无限个无穷小量的和不一定是无穷小。)(lim xxx另例另例 xxxxlim xxxlim.15.)(lim)(lim)()(lim)()(lim)(0000AufxfxxxfAufauufaxaxxxuauxxauxx 时时的的极极限限也也存存在在，且且当当，则则复复合合函函数数又又，有有定定义义在在点点，而而函函数数即即，时时的的极极限限存存在在且且等等于于当当运运算算法法则则）设设函函数数定定理理（复复合合函函数数的的极极限限)(lim0 xfxx )(limufau)(xu 令令)(lim0 xaxx 意义：意义：.16例例8 8 求求解解: :令令.9

9、3lim23xxx932xxu已知已知ux3lim61 原式原式 =uu61lim6166.17例例9 9 求求解解: :方法方法 1.11lim1xxx,xu 则则, 1lim1ux令令11112uuxx1 u 原式原式) 1(lim1uu2方法方法 211lim1xxx1) 1)(1(lim1xxxx) 1(lim1xx2.18四、小结与思考练习题四、小结与思考练习题2、极限求法：、极限求法：(1) (1) 多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限; ;(2) (2) 消去零因子法求极限消去零因子法求极限; ;（0/00/0型）型） （因式分解、有理化）（因式分解、有理化）

10、(3) (3) 利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限; ; (4) (4) 利用通分方法求极限利用通分方法求极限; ;（-型）型）(5) (5) 分子分母同除最大项。（分子分母同除最大项。（/型）型）1、极限的四则运算法则和推论、极限的四则运算法则和推论3、复合函数的极限运算法则、复合函数的极限运算法则.19._1sinlim520 xxx、._33lim132 xxx、一、填空题一、填空题:._11lim231 xxx、._)112)(11(lim32 xxxx、._5)3)(2)(1(lim43 nnnnn、.20._2324lim72240 xxxxxx、._)12()23()32(lim8503020 xxxx、二、求下列各极限二、求下列各极限:)21.41211(lim1nn 、hxhxh220)(lim2 、._coslim6 xxxeex、.2138231lim4xxx 、)(lim5xxxxx 、1412lim6 xxx、2lim71 nmnmxxxxx、)1311(lim331xxx 、