备战中考数学复习圆与相似专项易错题含答案

1、备战中考数学复习圆与相似专项易错题含答案一、相似1 .如图，AB是半圆 O的直径，AB= 2,射线 AM、BN为半圆 O的切线.在AM上取一点 D,连接BD交半圆于点C,连接AC过。点作BC的垂线OE,垂足为点E,与BN相交于点 F过D点作半圆O的切线DP,切点为P,与BN相交于点 Q.(1)若AB4 4BFO,求 BQ 的长;(2)求证：FQ=BQ【答案】(1)解：.,卜二二，二1步月以均为半圆切线，连接 ，四边形物端为菱形, . DQ / /, /悲浏均为半圆切线，.加/磔，.四边形况超为平行四边形.加=-d(2)证明：易得酰,”AB而=取D片是半圆的切线，.过4点作QA 上出 J i 5

2、则.在业1战中，- 3 +联, .。山留尸-C U） 醺户+ W8 -解得： 小，211FQ = BF - BQ = A起 AD 业.|崂树【解析】【分析】（1）连接OP由AAB里ABFOT彳# AD=OB,由切线长定理可得 AD=DP, 于是易得 OP=OA=DA=DP根据菱形的判定可得四边形 DAOP为菱形，则可得 DQ/AB,易 得四边形DABQ为平行四边形，根据平行四边形的性质可求解；BF AA（2）过Q点作QK，AM于点K,由已知易证得 A ABM A BFQ可得比例式0B 杷,可得BF与AD的关系，由切线长定理可得 AD=DPQB=QP ,解直角三角形 DQK可求得BQ与AD 的关

3、系，则根据 FQ=BF-BQ可得FQ与AD的关系，从而结论得证。2.如图，在依/ 制中，乙曲一如“，点M是AC的中点，以AB为直径作 G团若北d,当出处时，班 ；会连接如咽，当4的度数为 时，四边形ODME是菱形.【答案】 （1）证明：Z ABC=90 , AM=MC , . . BM=AM=MC , ，/A=/ABM. .四边形 ABED 是圆 内接四 边形， ，/ADE+/ ABE=180 , 又 / ADE+/ MDE=180 , . / MDE=/MBA,同理证明： /MED=/A, . . / MDE=/MED, . MD=ME2;宛僧【解析】【解答】解：（2）由（1）可知，/A=/

4、MDE, DE/ AB, . . .IB =g11 g桁. AD=2DM, DM: MA=1 : 3, . . DE=1AB士 X 6=2故答案为：2. 当/A=60时，四边形 ODME是菱形.理由如下：连接OD、OE.OA=OD , Z A=60 , .AOD 是 等边三 角形， ，/ AOD=60 , DE/ AB , ，/ODE=/ AOD=60 ； / MDE=/MED=/A=60 ； .ODE, DEM 都是等边三角形， .OD=OE=EM=DM, .四边形 OEMD 是菱形.故答案为：60.【分析】（1）要证 MD=ME,只须证/MDE=/MED即可。根据直角三角形斜边上的中线 等

5、于斜边的一半可得BM=AM=MC ,则/ A=Z ABM ,由圆内接四边形的性质易得 /MED=/A, ZMDE=Z MBA,所以可得 /MDE=/MED;DE 监（2）由（1）易证得DE/ AB,可得比例式AB .明，结合中的已知条件即可求解； 当/A=60时，四边形 ODME是菱形.理由如下：连接OD、OE,由题意易得 ODE, DEM都是等边三角形，所以可得OD=OE=EM=DM,由菱形的判定即可求解。3.如图1,经过原点 O的抛物线y=ax2+bx （awQ与x轴交于另一点 A （二，0）,在第（1）求这条抛物线的表达式;(2)在第四象限内的抛物线上有一点C,满足以B, O, C为顶点

6、的三角形的面积为 2,求点C的坐标；(3)如图2,若点M在这条抛物线上，且 ZMBO=ZABO,在(2)的条件下，是否存在点P,使得POSMOB?若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由.(2)解：如图F,【答案】(1)解：B (2, t)在直线y=x上， . .t=2, /.B (2,2),4a b - 23把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得, 二 ，解得力，抛物线解析式为y=2x2 - 3x 1,过C作CD/ y轴，交x轴于点E,交OB于点D,过B作BF CD于点图I点C是抛物线上第四象限的点， 可设 C (t, 2t2 3t),则 E (t, 0) , D (t, t),.OE=

7、t, BF=2 t, CD=t- (2t23t) =2t2+4t, / / / Sa obc=S cdo+Sx cdb= CD?OE+ CD?BF= (2t2+4t) (t+2t) =- 2t2+4t, OBC的面积为2,一 2t2+4t=2 ,解得 ti=t2=1 ,T)(3)解：存在.设 MB交y轴于点N,如图2,J不图:1 . B (2, 2) , ZAOB=Z NOB=45 ,在 AOB和ANOB中AOB = ZNOB/ 08 = OSZABO = ZNBC2 .AOBANOB (ASA),1 , J.ON=OA=上，.3N (0, 2),JJ1可设直线BN解析式为y=kx+1 把B点

8、坐标代入可得 2=2k+-，解得k=13口 士产可2直线BN的解析式为y= J x+上，联立直线BN和抛物线解析式可得小，解得士 二.M (、，丸)，,. C (1 , - 1) ,Z COA=Z AOB=45 ；且 B (2, 2),.OB=2 7二，OC=,.POCAMOB,办 (2B. OF =庞=2, / POC4 BOM,当点P在第一象限时，如图 3,过M作MGy轴于点G,过P作PHx轴于点H,图3 / COA=Z BOG=45 ；/ MOG= / POH,且 / PHO=Z MGO,.MOGAPOH,=2,- M (占，MG=，PH= - MG=3/6OH=二 OG= 4/.JP

9、( 士浦16当点P在第三象限时，如图 4,过M作MGy轴于点G,过P作PHy轴于点H,同理可求得PH= - MG= MOH=二二 OG=64P (-lb刈）；综上可知存在满足条件的点P,其坐标为（四）【解析】【分析】（1）根据已知抛物线在第一象限内与直线出点B的坐标，再将点 A、B的坐标分别代入 y=ax2+bx,建立y=x交于点B （2, t）,可求次方程组，求出a、b的值，即可求得答案。(2)过C作CD/ y轴，交x轴于点E,交OB于点D,过B作BFL CD于点F,可知点 C、 D、E、F 的横坐标相等，因此设设C (t,2t23t),则 E (t, 0) , D (t, t) , F(t

10、,2),再表示出 OE、BF、CD的长，然后根据 Sxobc=Scdo+Sx cdb=2,建立关于t的方程，求出t 的值，即可得出点 C的坐标。(3)根据已知条件易证 AOBNOB,就可求出 ON的长，得出点 N的坐标，再根据点 B、N的坐标求出直线 BN的函数解析式，再将二次函数和直线BN联立方程组，求出点 Man的坐标，求出 OB、OC的长，再根据 POgMOB,得出死一 , /POC=/ BOM,然 后分情况讨论：当点 P在第一象限时，如图 3,过M作MGy轴于点G,过P作PHIx 轴于点H,证MOGsPOH,得出对应边成比例，即可求出点 P的坐标；当点 P在第三 象限时，如图4,过M作

11、MGy轴于点G,过P作PHy轴于点H,同理可得出点 P的坐 标，即可得出答案。4.如图1,在矩形 ABCD中，AB=6cm, BC=8cm, E、F分别是 AB BD的中点，连接 EF, 点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为 1cm/s,同时，点Q从点D出发，沿DB方 向匀速运动，速度为 2cm/s,当点P停止运动时，点 Q也停止运动.连接 PQ,设运动时间 为t (0vtv4) s,解答下列问题：图密篝用葺A G (1)求证：ABEFADCB;(2)当点Q在线段DF上运动时，若4PQF的面积为0.6cm2 ,求t的值；(3)如图2过点Q作QGXAB,垂足为G,当t为何值时，四边形 EP

12、QG为矩形，请说明 理由；(4)当t为何值时，4PQF为等腰三角形？试说明理由. 【答案】(1)解：二四边形.妣当是矩形,Z AD = BC = 8* AD K,= 909 ,在Ri 物中,血小了.分别是版的中点，I.：EF 步 AD,球二册二 4, BF - DF - 5,二 ZBEF = WT = ZCt EF BQ二 ZBFE = ZDBCt Z BEF s0 腔（舍）或F 。；秒I A QPF A BEFf,：A 触 BEF，QM QFBE BF砌 5 - 2l7=3二 QM = * （5 - 2t）, 5113.：S a m =-fF X - t） X -（5 - 2t） - ft

13、qqQg*： r 二 一QF PF 赤一万2t 54 40解得:,；(4)解：当点C在，;上时，如图2, F尸 防当点6在此上时，件=肮|如图3,19二 r -6仝生综上所述，i -，或6或7或G秒时， A 即1是等腰三角形【解析】 【分析】(1)要证ABED DCB,根据有两对角对应相等的两个三角形相似可得证。根据三角形中位线定理可得EF/ AD/BC,可得一组内错角相等，由矩形的性质可得/C=/A=/BEF=U ,所以 ABEFADCB;(2)过点 Q作QMLEF于M,结合已知易得 QM/ BE,根据相似三角形的判定可得QM 点 QMFsbef,则得比例式BQ 处,QM可用含t的代数式表示

14、，PF=4-t,所以三角形PQF的面积=-QM *PF=0*6,解方程可得t的值；(3)因为QGXAB,结合题意可得PQ |AB,根据相似三角形的判定可得I QPF BEF于是可得比例式求解；(4)因为Q在对角线BD上运动，情况不唯一。当点Q在DF上运动时，PF=QF;当点Q在BF上运动时，分三种情况：第一种情况；PF =QF第二种情况：PQ=PF;第三种情况：PQ=FQ5.在正方形 如仪中，.田8 ,点A在边修上, ,点&是在射线 出上的 一个动点，过点|4作的平行线交射线 小于点,点力在射线如上，使|属始终与直线 史垂直.(1)如图1,当点齐与点重合时，求用的长;磔(2)如图2,试探索：

15、耽的比值是否随点的运动而发生变化？若有变化，请说明你的 理由；若没有变化，请求出它的比值;8C上，设网 .t , RKy，求/关于工的函数关系式，并写（3）如图3,若点|C在线段科 出它的定义域.【答案】（1）解：由题意，得A5 - BC - CD - AD - S在 RtA Bit 中,ZC = 909PC tan/用士 - -BCJ弋皿上PBC -i度 a . .眇 -PB =.照/处=10（2）解：答：血的比值随点k的运动没有变化 理由:如图，8C.解/如ABC - NABP + /取-909.心虬s4巴8RM 3. 第 1画w.席的比值随点1的运动没有变化，比值为7 解：延长 跳交态的

16、延长线于点bS-;!/-2 - 81-:Tn R办照期玩3 7, 网而冏竺施丝附104 IL-v x + 一., 339 av -才 + -20 二260r W 它的定义域是【解析】【分析】(1)根据正方形的性质得出 A B = B C = C D = A D = 8 , Z C = Z A = 90 ；在Rt B C P中，根据正切函数的定义得出 tan / P B C = P C : B C,又tan / P B C3=，从而得出PC的长，进而得出 RP的长，根据勾股定理得出PB的长，然后判断出 P BC P R Q根据相似三角形对应边成比例得出PB： RP=PC： PQ,从而得出PQ的长

17、；(2) RM : MQ的比值随点 Q的运动没有变化，根据二直线平行同位角相等得出/ 1 = / AB P , / Q M R = /A,根据等量代换得出 / Q M R = / C = 90 ,根据根据等角的余角相等得 出/R Q M = / P B C,从而判断出 R M Q p C B,根据相似三角形对应边成比例， 得出PM : MQ=PC： BC从而得出答案；(3)延长B P 交 A D 的延长线于点N,根据平行线分线段成比例定理得出PD ： AB=ND ： NA,又N A = N D + A D = 8 + N D ,从而得出关于 ND的方程，求解即可得出ND,根据勾股定理得出PN,

18、根据平行线的判定定理得出PD/ MQ,再根据平行线分线段成4比例定理得出 PD： MQ=NP ： NQ,又 RM : MQ=3 : 4,RM=y,从而得出 MQ= y又 P D = 2 , N 乌Q = P Q + P N = x +；,根据比例式，即可得出 y与x之间的函数关系式。6.如图1,在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx-5与x轴交于A(-1, 0), B(5, 0)两点，与y轴交与点C.(2)若点D是y轴上的点，且以 B、C、D为顶点的三角形与 4ABC相似，求点D的坐标；(3)如图2, CE/X轴与抛物线相交于点 E,点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点 H 且与y轴

19、平行的直线与BC、CE分别相交于点F, G,试探求当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点 H的坐标及最大面积.【答案】(1)解：把A(-1, 0), B(5, 0)代入y=ax2+bx-5可得(2)解：如图1,令x=0,则y=-5, C(0,-5),.OC=OB,/ OBC=Z OCB=45 ；.AB=6,BC=5，AB BC AB BC要使以B,C,D为顶点的三角形与4ABC相似，则有CD 取或无AB BC 当山加时,CD=AB=6,即：D的坐标为(0,1)或(0, 3 );(3)解：设 H(t, t2-4t-5)7 Cfi/x 轴，: F” 一 J ,又因为点E在抛物线上，即-

20、打 方=-5 ,解得|打工凡J E(4f - 5),J* CE = | 7 B OhC(Or -到52 28BC所在直线解析式为y=x-5,“. HF = t - 5 - (t2 - 4t - 5)= 一炉 +|尸化F -财则5 国该愚的 - -E , HI2 而CE是定值，当HF的值最大时，四边形 CHEF有最大面积。A26当二:时，HF取得最大值 / ,四边形CHEF的最大面积为/125 支-CE HF X 4 乂一二二O9./J?,435fBBB- mBBBB此时hG：,/)2)分两种情况，利 BC的解析式，进而求出四【解析】【分析】(1)根据待定系数法直接确定出抛物线解析式；用相似三角

21、形的比例式即可求出点D的坐标；(3)先求出直线边形CHEF的面积的函数关系式，即可求出最大值;7.如图，抛物线二h/ J扇 米与坐标轴交点分别为匕叫,作直线BC(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线上第一象限内一动点，过点 P作,用上上轴于点D,设点P的横坐标为【答案】(1)解：把“ -M , B G,刃， a - b c = 0/9d + 3b + c = 0 c = 2a - - b =-解得：，,c = j抛物线的解析式为三3(2)解：设点P的坐标为(t,-3t X2+ t+2),. A(-1,0), B(3,0), .AB=4,9 *PD = g X 4 X ( 一 , y - J

22、 =OD DP(3)解：当| 0DP|s A COB时，而一而，即 整理得：M 4 t 心二心,_ 7193- 1 7 193解得：18或S舍z-J t7*933 3：0D = t = UI1 = -0D = 82J一工+ 7193 - 3 十 3 193二点P的坐标为SC自力代入丫 - a-b，c得：46 8/ + 7 + 4(0 V r /3k） 2+ （而 k） 2=32,解得：k=R!或k=0 （舍），3 .BC=2 而 k=4 拒；设 OM=d,则 MD=3 - d, MC2=OC2 - OM2=9 - d2, .BC2= （2MC） 2=36 4d2,AC2=DC2=DM2+CM2

23、= （3-d） 2+9-d2,由（2）得 AB?AC=BC AC2=-4d2+6d+182+81,43当 d=,即4OM=3时，AB?AC最大，最大值为 81 ,44DC2=27 ，2.AC=DC=3_6 ,2.-.AB=9-：I,此时4AB 3AC 2点睛：本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆的有关性质、圆内接四边形的性 质及菱形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识点.10.（类比概念）三角形的内切圆是以三个内角的平分线的交点为圆心，以这点到三边的距离为半径的圆，则三角形可以称为圆的外切三角形，可以得出三角形的三边与该圆相切.以此类推，如图1,各边都和圆相切的四边形称

24、为圆外切四边形（性质探究）如图1,试探究圆外切四边形的 ABCD两组又边AB, CD与BC, AD之间的数事关系猜想结论：（要求用文字语言叙述）写出证明过程（利用图 1,写出已知、求证、证明）（性质应用）初中学过的下列四边形中哪些是圆外切四边形 （填序号）A:平行四边形：B:菱形：C:矩形；D:正方形如图2,圆外切四边形 ABCD,且AB=12, CD=8,则四边形的周长是 .圆外切四边形的周长为 48cm,相邻的三条边的比为 5: 4: 7,求四边形各边的长.图工图2【答案】见解析.【解析】【分析】（1）根据切线长定理即可得出结论；（2） 圆外切四边形是内心到四边的距离相等，即可得出结论;根

25、据圆外切四边形的对边和相等，即可求出结论；根据圆外切四边形的性质求出第四边，利用周长建立方程求解即可得出结论.【详解】性质探讨：圆外切四边形的对边和相等，理由：如图1,已知：四边形 ABCD的四边AB, BC, CD, DA都于。相切于G, F, E, H. 求证：AD+BCAB+CD.证明：AB, AD 和。相切，AG=AH,同理：BG=BF, CE=CF, DE=DH, .AD+BC=AH+DH+BF+CF=AG+BG+CE+DE=AB+CD,即：圆外切四边形的对边和相等. 故答案为：圆外切四边形的对边和相等；性质应用：二.根据圆外切四边形的定义得：圆心到四边的距离相等.平行四边形和矩形不

26、存在一点到四边的距离相等，而菱形和正方形对角线的交点到四边 的距离相等.故答案为：B, D; :圆外切四边形 ABCD,AB+CD=AD+BC. AB=12, CD=8, . AD+BC=12+8=20, .四边形的周长是 AB+CD+AD+BC=20+20=40.故答案为：40 ；二相邻的三条边的比为 5: 4: 7, 设此三边为5x, 4x, 7x,根据圆外切四边形的性质 得：第四边为5x+7x- 4x=8x.圆外切四边形的周长为48cm, .1.4x+5x+7x+8x=24x=48, . x=2,此四边形的四边为4x=8cm, 5x=10cm, 7x=14cm, 8x=16cm.【点睛】

27、本题是圆的综合题，主要考查了新定义圆的外切的性质，四边形的周长，平行四边形，矩 形，菱形，正方形的性质，切线长定理，理解和掌握圆外切四边形的定义是解答本题的关 键.11.如图，AB是。的直径，点 C, D是半圆O的三等分点，过点 C作。的切线交 AD 的延长线于点 E,过点D作DF, AB于点F,交。O于点H,连接DC, AC.(1)求证：/AEC=90;(2)试判断以点 A, O, C, D为顶点的四边形的形状，并说明理由；(3)若DC=2,求DH的长.E(2)四边形AOCD为菱形；(3) DH=2H【解析】试题分析：(1)连接OC,根据EC与。切点C,则/OCE=90,由题意得用二局，/

28、DAC=Z CAB,即可证明 AE / OC,则/ AEC+/ OCE=180 ,从而得出/AEC=90I? ra(2)四边形AOCD为菱形.由(1)得则/DCA=/ CAB可证明四边形 AOCD是平行四边形，再由 OA=OG即可证明平行四边形 AOCD是菱形(一组邻边相等的平行四边 形是菱形)；(3)连接OD.根据四边形 AOCD为菱形，得4OAD是等边三角形，则 / AOD=60,再由DHLAB于点F, AB为直径，在 RtOFD中，根据sin/AOD= 求得DH的长.试题解析：(1)连接OC,.EC与。切点C, OCX EC,/ OCE=90,点CD是半圆O的三等分点,r?i (71 r

29、?i,7TD = C77 = LHZ DAC=Z CAB, .OA=OC,Z CAB=Z OCA,Z DAC=/ OCA, .AE/ OC (内错角相等，两直线平行) / AEC-+Z OCE=180,/ AEC=90；(2)四边形AOCD为菱形.理由是：lyl T?Z DCA=Z CAB,.CD/ OA,又. AE/ OC,四边形AOCD是平行四边形，,.OA=OC,平行四边形AOCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形)； (3)连接OD. 四边形AOCD为菱形， .OA=AD=DC=2 .OA=OD, .OA=OD=AD=2, .OAD是等边三角形，/ AOD=60 ； DHL AB于

30、点F, AB为直径， .DH=2DF,OF在 RtOFD中，sin/AOD=门，DF=ODsinZ AOD=2sin60 =。3, .DH=2DF=2V.考点：1.切线的性质2.等边三角形的判定与性质3.菱形的判定与性质 4.解直角三角形.12.如图1,在RtABC中，AC=8cm, BC=6cm, D、E分别为边 AR BC的中点，连结DE,点P从点A出发，沿折线 AD- DE运动，到点E停止，点P在AD上以5cm/s的速度 运动，在DE上以1cm/s的速度运动，过点 P作PQLAC于点Q,以PQ为边作正方形 PQMN.设点P的运动时间为t (s).B(1)当点P在线段DE上运动时，线段 D

31、P的长为 cm.(用含t的代数式表示)(2)当正方形PQMN与 ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S (cm2),求S与t的函数关系式，并写出 t的取值范围.(3)如图2,若点O在线段BC上，且CO=1,以点。为圆心，1cm长为半径作圆，当点 P 开始运动时，。的半径以0.2cm/s的速度开始不断增大，当 。与正方形PQMN的边所 在直线相切时，求此时的 t值.【答案】(1) tT; ( 2) S=- 3t2+3t+3 (1 vtt- 1, t0, .t- 10, 解得：t1, - 1 t4. ADFNAABC,DN AC 8 4=FN BC 6 3 DN=PN - PD,DN=3

32、- (tT) =4 t,4 t 4 .3(4 t)=) FN.FM=3-3(4 t)_ 3t ,44S=S 梯形 FMHD+S 矩形 DHQP,3t.,=1X(更+3) x (4-t) +3 (t - 1) =- 3 t2+3t+3 (1vtv4).248(3)当圆与边PQ相切时，如图:A当圆与PQ相切时，r=PE,由(1)可知，PD= (t- 1) cm, .PE=DE DP=4- (t 1) =(5 t) cm.r以0.2cm/s的速度不断增大，. . r=1+0.2t,1+0.2t=5 - t,解得：t=s.3 当圆与 MN相切时，r=CM.B由(1)可知，DP= (t1) cm,贝U

33、PE=CQ= (5t) cm, MQ=3cm, ，MC=MQ+CQ=5-t+3= (8-t) cm, - 1+0.2t=8 - t,解得：t = s.6, 一，r35 人P至|JE点停止，.t- 1/3 3a，%a)V3、V3-ma) La,DE边上的高为：卷a,/. Sade3 373x7a：a416故答案为：D (-,E (一a, 0)V32；DEnra2.EM=OE=-a, OMj a, 24 q 15.已知：BD为。的直径，O为圆心，点A为圆上一点，过点 B作。的切线交DA的 延长线于点F,点C为。上一点，且 AB= AC,连接BC交AD于点E,连接AC.(1)如图 1,求证：/ABF

34、=/ABC;(2)如图2,点H为。内部一点，连接 OH, CH若/ OHC=/HCA= 90时，求证：CH=1DA；2在(2)的条件下，若 OH=6,。的半径为10,求CE的长.圄I图？【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3) 4.51由BD为e O的直径，得到 D ABD 90,根据切线的性质得到FBA ABD 90,根据等腰三角形的性质得到 结论；2如图2,连接OC,根据平行线的判定和性质得到 的性质得到OBC OCB , ABC CBO的性质即可得到结论；C ABC ,等量代换即可得到ACOCOH ,根据等腰三角形ACBOCB ,根据相似三角形3根据相似三角形的性质得到箜肛2,根据勾股定理得到OH OCAD JBD2 AB2 16,根据全等三角形的性质得到BF BE，AF AE ,根据射影定理得到AF122169 ,根据相交弦定理即可得到结论.1 Q BD为e O的直径，BAD 90,D ABD 90,Q FB是e O的