一单项选择题(本大题共5小题-每小题2分-共10分)

1、、单项选择题(本大题共 5小题，每小题2分，共10分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号 内。错选、多选或未选均无分。1.设 f(x)=lnx且函数(x)的反函数1(x)=2(x+1)x-1，则 f (x)(2.3.x-2AJn 一x+20 tex1 cosxA. 0设 y f(xoA. lim y 0x 0x+2B.ln 一 x-22 dt (B.x)C.CJn2-xx+2DJnx+22-x-1D.f(x0)且函数f (x)在x x0处可导，则必有(B. y 0C.dy 0d. ydy4.设函数f(x)=2x ,x 1 ,则 f(x)在点 x=1

2、处3x 1,x 1A.不连续5.设 xf(x)dx=eB.-x2连续但左、右导数不存在C ,则 f(x)=C.连续但不可导D. 可导2A.xe "B.-xe2-x C.2e-x2D.-2e -x二、填空题(本大题共 10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1 ,一1)的定义域是4则生产100件产品时的边际成本MCg 1006 .设函数f(x)在区间0, 1上有定义，则函数 f(x+ 1 )+f(x-47 . lim a aq aq2 Laqnnarctanx8 - lim x x H29 .已知某广品厂量为g时,总成本是C=9+篇,10 .函数

3、f(x) x3 2x在区间0 , 1上满足拉格朗日中值定理的点己是11 .函数y 2x3 9x2 12x 9的单调减少区间是 .312 .微分万程xy' y 1 x的通解是.13.设a21n 2 出14.设 Zet2cos x=,J®a1615.设 D贝U dz= .y(x, y) 0 x 1,0 y 1 ,则xe 2ydxdy三、计算题)(本大题共5小题，每小题5分，共25分)16.设 yx1 宙” 一，求 dy.xIn cot x17.求极限lim x 0 In x，一八1,18 .求不定积分dx.5x 1 In 5x 119 .计算定积分i= 0 va2x2dx.20

4、.设方程 x2y 2xz ez1 确定隐函数 z=z(x,y),求 z'x,z'y四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）21 .要做一个容积为 v的圆柱形容器，问此圆柱形的底面半径r和高h分别为多少时，所用材料最省？22 .计算定积分 xsin2xdx0 sin y2 23 .将二次积分I dx , 一ydy化为先对x积分的二次积分并计算其值。0 x y五、应用题（本题 9分）224 .已知曲线y x2,求（1）曲线上当x=1时的切线方程；（2）求曲线y x2与此切线及x轴所围成的平面图形的面积， 以及其绕x轴旋转而成的旋转体的体积 Vx.六、证明题（本题 5

5、分）25 .证明：当 x>0 时，xln（x 小 x2） 1x2 1参考答案一、单项选择题（本大题共 5小题，每小题2分，共10分）1 .答案：B2 .答案：A3 .答案：A4 .答案：C5 .答案：D二、填空题（本大题共 10小题，每空3分，共30分）-1 36 .答案： 一，一4 48.答案:9 .答案:10 .答案:0141311 .答案：(1, 2) 3 一 x12 .答案：一 1 Cx213 .答案：a ln2 21cos x14 .答案： 一 sin2xdx dyyy入 1215 .答案：一1 e4三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分)2x2x ez四、计算

6、题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分)一116 .答案： ln x 1 dx x17 .答案：-1218 .答案：2Jln 5x 1 C5 ,219 .答案：-ah0V-2021 .答案：r0222 .答案：一423 .答案：1五、应用题(本题 9分)24 .答案：(1) y=2x-1 (2),12 3031(2) 所求面积S (-Jy)dy-y 1 ， 2xy 2z )，20.答案：Zx一r，Zy2x e - y202431212125630所求体积Vx2dx六、证明题（本题 5分）25.证明:Q f (x)xln(x,rv)x2 1故当三.解答题（16计算lim(f '(

7、x)ln(xln(xln(xQx 0x .1 x2f '(x) ln(x1 x2).1 x2).1 x2)x 0时f（x）单调递增，则xln(x每小题x x23解原式=lim e7分4x31, 2x 3x_ln x 3共28分）1户4x1mA02xln 2ln 2x limx 0e3x 4xx原式=17.设 f(x)解显然18.设 wlxm02x3 24 23 3工t：1 tf(1)0, f (x)f (x)dx212xsin x0解令u x 2y3xln3 4xln43x4x10xf(x)dx2xsin x2f(x)2dx2y 3z,xyz3z, vx x2x2 1 x2x1 x20

8、f(x)ln3uf1x1 x2f(0),即lim A ex 0In 2 ln3 ln 42sin x2x1 2x0.2 , 2sin x dxf (x)dx12一 cosx 2ln3 24cos1f具有二阶连续偏导数,f 2'''''zy 1 zf22 flif12xz'zy 2f21f22xzzf2''2'''2f11 x 2y zf12 xyz f22 zf2x19.求摆线ysin1 cos，（）的弧长L1 cos. 2,sin d综合题（共18分）20 .修建一个容积等于 108 并求出它的最小表面积

9、。sin - dcos 82 0m3的无盖长方体蓄水池，应如何选择水池长、宽、高尺寸，才使它的表面积最小,解 设水池长、宽、高分别为 x, y, z m，则问题是在条件x, y,z xyz 108下，求函数 S xy 2yz 2zx x 0, y 0,z 0的最小值，作Lagrange函数L x, y, z xy 2yz 2zx xyz 108解方程组Lxy2zyz0Lyx2yxz0Lz2x2yxy0xyz 108得唯一可能极值点 6,6,3 ,由实际问题知表面积最小值存在，所以在长为 6 m,宽为6 m,高为3m时,表面积最小，最小值为108 m2 .21. 21、若f（x）在0,1上连续，

10、在 0,1内有二阶导数，求证(1)存在0,1/2 ,使 f(1) 2 f (12) f (0) f (1/2) f ( ) /2(2)存在 0,1 ,使 f(1) 2f(12) f (0) f ( )/4证明(1)设 Fx f (x 1/2) f(x) x0,1/2 ,则 F(x)在 0,12 上满足Lagrage中值定理条件，所以，存在 0,12 ,使F 12F(0) F ( )/2 f (1) f (12) f (12) f (0)f(1) 2f(12) f (0) f (1. 2) f ( ) /2(2)由已知还有，f (x)在，1/20,1内可导，再次用Lagrage中值定理所以，存在

11、 ，1/20,1 ,使f (12) f ( ) f ( )/2结合(1)有f(1) 2f(12) f (0) f (12) f ( ) /2 f ( )/4试题及答案、单项选择题1.设f （x,y）在点（a,b）处的偏导数存在,. f (a x, b)则 lim xf (a x, b)A、0； B、fx(2a,b); C、fx(a,b) ; D、2fx(a,b)。2.设曲面z f（x,y）与平面y yo的交线在点（x°, yO, f （x。，y。）处的切线与x轴正向所成的角为A、fx（xo,y。）C、fx（xo,y。）cos 6tg6、.3一；2,3一；3-1B、fy（xo,y。）c

12、os（-）-;2 62D、fy（xo,y。） tg（ ） V3 °2 63 . liQ u n 0是级数 u n发散的 nn 0A、必要条件； B、充分条件； C、充要条件；D、既非充分又非必要。4 .在区域D： 0 y R R2 x2上的 xy2d 值为。D_ 2_ _ 22 _3A、R ; B、4 R ; C、 R ; D、0。5 .下列函数中，哪个是微分方程 dy 2xdx 0的解2A、y 2x ； B、y x ； C、y 2x ； D、y二、是非判断题（15分）2y 1按逆时针转一周（xdy ydx ,1.:2 =0,其中L为圆周L x y2.如果，均存在，则（x, y）沿任

13、何方向的方向导数均存在（3 .以f （x, y）为面密度的平面薄片 D的质量可表为 f （x, y）d 。（）D4 . f（x）在（0,上连续且符合狄利克雷条件，则它的余弦级数处处收敛，且0,上收敛于f（x）°（1.微分方程的通解包含了所有的解。（）三、计算题（16分）21 .设f（x2 y2,exy）,其中f具有一阶连续偏导数，求。x x y2 .已知 yz zx xy 1,确定的 z z（x, y）,求 dz。四、（10分）求（x2 y2）dxdydz的值，其中为曲面x2 y2 2z和平面z 2所围成的区域。五、（12分）验证： 吗 ydx在右半平面（x 0）内是某个函数的全微分

14、，并求出一个这样的函数。 x y六、（10分）求口 x2dydz z2dxdy,其中 为z x2 y2和z 1所围立体边界的外侧。y y sin 2x 0七、（12分）求微分方程y（ ） 1的特解。y（ ） 1n八、（10分）求一x的和函数。n 0 n 1参考答案一i、单项选择题（15分，每题3分）1、D; 2、C; 3、A; 4、D; 5、B。二、是非判断题（15分，每题3分）1、X ;2、X;3V、；4、V;5、X。三、计算题（16分）1. -uf1 2xf2 yexy4 分x2xfii( 2y)f12 xexyyexy f21 ( 2y)f22xexyf2exyf2xyexy2 xy2x

15、yf11 2x e f122 xy2xyxyxy2y e f21xye f22 e f2 xye f2 10 分2. F yz zx xy 1 1 分Fxz yFyz x3 分Fz y xzFxzyxFzyxzFyzx5分yFzyx,1,dz (y z)dz (x z)dy -x y n n2四、(10 分) (x1 2 3 y2)dxdydz ° d, 6分22d 2o 一23dz16310分五、(12分)P 2 ) 2x y22p y x2 22X2y (x y ) xx22x y4分在右半平面内恒成立，因此在右半平面内xdy2 x草是某个函数的全微分 y(x,y) xdyydx

16、u(x,y)(10)22 .8 分(l,0) x y12分(2x 2z)dxdydz 4 分y xdy * y y x yrarctg - arctg 0 x yx 0 x22 .k、( 10 分)o x dydz z dxdy2112 d rdr (r cos z)dz8 分00r2八10分3七、(12 分) r故此万程的通解为：y c1cosx c2 sinx sin2x10分 1 0r i2分设此万程的特解为：y Acos2x Bsin2x代入原万程得3Acos2x 3Bsin2x sin2xA 01 6分B -31代入初始条件Ci1。特解为:cosx31 -sin31 .x -sin

17、2x12 分3八、（10分）从而收敛域为设 S(x)limn1,1)nxR 12分xsin( x)(xS(x)xS(x)nxn 0-dx1 xS(0)S(x)(x1)ln(1x)(1 x 1)8分0时,有S(x)11n(1 xx)lixm S(x) 11ln(1 x),x x1,x 01.0)(0.1)10分三、计算题（每小题11、求极限lim （x 1 ln x7分，共49分）解：购（In xx 1 In x(x 1) In xlxm1 xx 1 Iln x x2、求极限x 1 xln x2xlimx 1 1 ln x 1limx 12xx 1解:设y2x2xx 1则 limln故原式.2x

18、 2x lim lnx 1 x 1,2x lim-J x 1 x 1lxm1x2x2(x1) 2x2x(x 1)2112 x2&设 y sin x cosx tan x cot x cscx.求y22y cosx sinx sce x csc x cscx cot x4、设 y(x)，.1、cos(sin ),求 dy.dy y(x)dxx12x一 1、1 .sin(sin)cos - dx7、求函数y x5 5x4 5x3 1在1,2上的最大值，最小值 2-y 5x (x 1)(x 3)在 1, 2上的驻点：x10, x21而y(0) 1, y(1) 2, y( 1)10, y(2)7Ymaxy(1) 2ymin y( 1)10四、问答题(每小题6分，共