等腰三角形常用辅助线专题练习含答案

1、1 .如图：已知，点 D、E在三角形 ABC的边 BC上，AB=AG AD=AE求证：BD=CE证明：作 AFI BC,垂足为 F, WJ AFI DE v AB=AC AD=AE又AF，BG AF± DE,BF=CF DF=EF（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）。BD=CE.2 .如图，在三角形ABCt, AB=AC,AFMT BC于F, D是AC边上任意一点，延长BA到E, 使AE=AD连接DE,试判断直线AF与DE的位置关系，并说明理由解：AF± DE 理由：延长 ED交 BC于 G, AB=AC AE=AD. / B=/ C, / E=/ ADE，/ B

2、+/ E=/ C+/ ADE/ ADEW CDG. / B+/ E=/ C+/ CDG. / B+/ E=/ DGC / C+Z CDG = BGE /BGE+CGD=180 . . / BGEW CGD=90 . . EG! BC v AF/ BC, AF± DE解法2:过A点作ABC®边上的高，再用 / BACN D+AED =2/ADE,即/ CAG= AED证明 AG/ DE利用 AF/ BC证明 AF± DE3 .如图， ABC中，BA=BC点D是AB延长线上一点，DF,AC交BC于E,求证： DBE®等腰三角形 证明：在 ABC中，v BA=

3、BC-./A=/ C, DF，AG / C+/ FEC=90 , / A+/D=90° , ./FECW D . /FEC之 BED / BEDW D, . BD=BE 即 DBE®等腰三角形.4 .如图，4ABC中，AB=AC,ES AC上，且AD=AE,DE勺延长线与 BC相交于F。求证：DF, BC.证明：v AB=AC B=/ C,又 v AD=AE / D=/ AED/ B+/ D=/ C+/ AED/ B+/ D=/ C+/ CEF ./EFCWBFE=180 X 1/2=90 ° , a DF± BC;若把"AD=AE与结论&qu

4、ot; DF! BC互换，结论也成立。若把条件" AB=AC与结论" DF! BC'互换，结论依然成立。5.如图，AB=AE,BC=ED, B=Z E,AMCD,A求证：CM=MD.证明：连接AC,ADv AB=AEZ B=Z E,BC=E» AB登 AED(SAS)AC=AD AMLCD,. /AMC=AMD=90 -AM=AIM(共边) RTAC阵RTAADM(HL)CM=DM6.如图，已知 AD是 ABC的中线，BE交AC于F,且AE=EF求证：BF=AC证明：过B点做AC的平彳T线，交AD的延长线于G点. AD为中线，. BD=CD BG¥

5、;行于 AC, . / FGBW CAF / DBG=ACD在4AFE和GFBt,/ FGBW CAF / GFBW AFE； AAFEAGFB / FGBW FAEAE=EFJ/ FAE士 AFE ./BFGW G， GF斯等腰三角形，且 BF=B(3±AADCJP GBDK-/ DBG= ACD BD=CD/ BDG= CDA. AD(C GBD. BG=ACBF=AC7 .已知：如图， ABC(A字AC)中,D E在BC上，且DE=EC过D点作DF/ BA,交AE于点 F,DF=AC,求证：AE平分/ BAC证明：延长 AE,过D作DMI AC交AE延长线于 M； / M叱1,

6、 / C=/2在 DEMWCEAt/M=Z 1, / C=/ 2,DE=CE - DE阵 CEA - DM=CAL = DF=CAJ DM=DF； / M=/ 3AB| FD, 二 / 3=/ 4,/ 4=3 1AE平分/ BAC8 .已知：如图， ABC中，AB=AC在AB上取一点D,在延长线上取一点 E,连接DE交BC于点F,若F是DE中点。求证：BD=CE 证明：过 D作 DF/ AC交 BC于 F, v DF/ AC （已知），. / DFCW FCE / DFBW ACB（平 行线的性质）. AB=AC已知），/B=/ ACB（等边对等角），/B=/ DFB（等量代换）， .BD=D

7、F（等角对等边），= BD=CE已知），.二DF=CE（等量代换）, /DFCW FCE /DGF=CGE（已证）,. .DF®zECG（AAS ,. DG=G E对应边相等）9.已知：如图，在 ABC中,AB=AC=CE,BI AD上一点，BEXCB交 CD于 E,ACDC,求证： BE=1/2BC证明：过点A作AF, BC交BC于点F.ABC是等腰三角形，AB=AC / ABF玄ACF（1） ；AF是BC上的垂直平分线，AF±BGBF=CF=BC/ 2(2)BE! BG . BE/AF / DBEW BAF (3)./CBE=90 . / DBEABF=90 =/ACF

8、吆 ECB (4)由(1)和(4)知道：/ DBE=/ECB (5)由(3)和(5)知道：/ BAF=/ ECER v AB=CE / BFA4 EBC=90.R3BFARTAEBC(角角边)BF=EB (6)由(2)和(6)知道:BE=BC/210.如图，AD为4ABC的角平分线，M为BC的中点，ME/ DA交BA延长线于E,求证:BE=CF=1/2(AB+AC)证明：(1)延长EMJ使EM=M,G连接CG.点 M是 BC的中点，. .BM=CM/BME=CMG ABME3 ACMG( SAS)BE=CGZ E=/ G AD平分/ BAC/. / BADW CADME/ DA,； / BAD

9、W E, / CADW AFE； / E=/ AFEAE=AF/ AFE玄 CFG 二 / G之 CFG. CF=CG : BE=CG : BE=CF(2) v BE=AB+AE2BE=2AB+2AEv CF=BE AC=CF+AF AE=AF2BE=2CF=AB+(AB+AE)+AE=AB+BE+AE=AB+(CF+AE=AF+C F 2BE=AB+ACBE=CF=1/2(AB+AC)11 .如图，已知 ABC, ACL BC,/ABC=Z C.试说明AB+BD=CD理由。证明：在 DC上截 取 DE=BD 连接 AEADL BC, / ADBN ADE=90 = AD=AD RTA ADB

10、 RIA ADE (SAS)； AB=AE /ABCW AEBvZ AEBW C+/ EAC-/ ABC=Z C (已知). / EACW CAE=CE AB=CE, CD=CE+DE； AB+BD=CD12 .已知：如图，AD是AABC的角平分线，且 AC=AB+BD证：/ B=2/ C.证明：在 AC上作 AE= AB,连结 DEAC=AB+BDAE+CE.BD= CEAD是角平分线， . / BAD=/ EAD又 v AB=AE AD=AD. AABtD EAD. / B= / AED BD= DE= CE ./ EDCW C, / AED= 2/C即：/ B= 2/C13.如图所示，已

11、知在 ABC中AD是/A的平分线，且/ B=2/ C.求证：AC=AB+BD.证明：延长 AB到E,使AC=AE连接DE: AD是/ BACK角平分线BADW DAC（角平分线的定义）二.公共边 AD=ADAC=AHBAD=/ DAC，AACIDAED（SAS），/ ACBW DEA（全等三角形形的对角相等）/ BDE廿 DEBW CBA CBA=Z AC" ACBW DEA. / BDEW DEA，BD=BE（等角对等边）v AB+BE=AE,AC=AE,BD=BEAB+BD=AC14 .如图，点E是等边 ABC内一点，且EA=EBABC外一点D满足BD=AC旦BE平分/BDE求/

12、 BDE的度数解：连接 CE， v AC=BC AE=BE CE为公共边，. BC陷AACE ./BCEW ACE=30 又. BD=AC=B C/DBEW CBE BE 为公共边，BD窜 ABCE ./BDEW BCE=3015 .如图，已知在 ABC中，AB=BC=CA,是 AD上一点，并且 EB=BD=DE证：BD+DC=AD.A提示：证明 AB草ABCCSP可EBC16 .已知：如图， ABC中，Z C=9(J , CW AB于 M,AT平分/ BAC CMT D,交 BC于 T,过D 作 DE/ AB交 BC于 E,求证：CT=BE证明1 :作DF/ BC交AB于F,贝U:/ AFDW B=/ ACD,AT%/ BAC的角平分线，AD为公共边AF阴 ACD,AF=AC1接 TFAF=AC,AT%/ BAC的角平分线,AT 为公共边ACH AFT,TF± AF,TF / CMDF/ CT/BE,TF/CD,DE/BF.四边形 CTFDffi四边形 BEDFtB是平行四边形CT=DF=BE证明 2:作 T