高中圆锥曲线椭圆双曲线抛物线规律技巧总结

1、八、圆锥曲线1 .圆锥曲线的两个定义：（1）笫二定义小要更选:括号，区的限制条件：椭圆中，与两个定点Fi, F2的距离的和等于常数2a,且此常数2a一定要大于FF?,当常数等于FF2时，轨迹是线段F1F2,当常数小于|FiF2|时，无轨迹；双曲线中，与两定点Fi, F2的距离的差的绝对值等于常数2a,且此常数2a一定要小于| F1F2I ,定义中的“绝对值”与2a<IF1F2I不可忽视。若2a =尸产2,则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a>|F1F2| ,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如（1）已知定点F1（ 3,0）,F2（3,0）,在满足下

2、列条件的平面上动点 P的轨迹中是椭圆的是A. PF1 PF2 4 B. PF1 PF2 6 C. PF1PF2 10D. |PFj2|PF2|212 （答：C）;.（2）方程 J（x6）2y2*x 6）2y28表示的曲线是 （答：双曲线的左支）（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、 点线距为分母”，具商即是离心率e。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点 到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转2化。如已知点Q（2j2,0）及抛物线y L上一动点P （x,y）,则y+|PQ|的最小值是 4（答:2）坐标轴为对称轴时的2.圆锥

3、曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点, 标准位置的方程）：X2（1）椭圆：焦点在X轴上时-2 a2 y b21 (a b 0) x ybcos (参数方程, sin2其中为参数），焦点在y轴上时鼻 a2 x b7=1 (a b 0)。方程Ax2 By2 C表示椭圆的充要条件是什么？ （ ABCW0,且A, B, C同号，AWB）。如（1）已知方程22一 1表示椭圆，则k的取值范围为（答：（3, 1）U（1,2） ; （2）若3 k 2 k22x, y R ,且3x2 2y2 6 ,则x y的最大值是,x2 y2的最小值是（答而2)2222(2)双曲线：焦点在x轴上：x2 与=1 ,焦

4、点在y轴上：与 之=1 a ba b(a 0,b 0)。方程Ax2 By2 C表示双曲线的充要条件是什么？(ABCW0,且A,B异号)。如(1)双曲线的离心率等于5,且与椭圆K i1有公共焦点，则该双曲2942线的方程(答：y2 1) ; (2)设中心在坐标原点O,焦点F1、F2在坐标4轴上，离心率e V2的双曲线C过点P(4,丽,则C的方程为(答：22x y 6)(3)抛物线：开口向右时y2 2px(p 0),开口向左时y22px(p 0),开口向2 2上时 x 2 py( p 0),开口 向下时 x 2py( p 0)。3 .圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程，然后再判断)：(1)椭

5、圆：由x 2, y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程221表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是_(答：m 1 2 m (,1) (1,)2(2)双曲线：由x 2, y 2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；(3)抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。特别提醒：(1)在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点 Fi, F2 的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程 中的两个参数a,b,确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；(2)在椭圆中，a最大，

6、a2 b2 c2,在双曲线中，c最大，c2 a2 b2。4.圆锥曲线的几何性质：22（1）椭圆（以与y2- 1 （a b 0）为例）：范围：a x a, b y b； a b焦点：两个焦点（c,0）;对称性：两条对称轴x 0,y 0, 一个对称中心（0,0）,四个顶点（a,0）,（0, b）,其中长轴长为2a,短轴长为2b;准线：两条准线2xa-;离心率：e £,椭圆 0 e 1, e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越ca22,八。二扁。如（1）若椭圆上 L 1的离心率e 任，则m的值是 （答：3或一）；（2） 5 m53以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长

7、轴的最小值为_（答：2J2）X2 y2（2）双曲线（以二 二 1 （ a 0,b 0）为例）：范围：x a或x a, y R; a2 b2焦点：两个焦点（c,0）;对称性：两条对称轴x 0,y 0, 一个对称中心（0,0）,两个顶点（a,0）,其中实轴长为2a,虚轴长为2b,特别地，当实轴和虚轴的长相等2时，称为等轴双曲线，其方程可设为 x2 y2 k,k 0;准线：两条准线x ;c离心率：e c,双曲线 e 1,等轴双曲线e 拒，e越小，开口越小，e越a大，开口越大；两条渐近线：y bx。如（1）双曲线的渐近线方程是3x 2y 0, a则该双曲线的离心率等于（答：逅或逅）;23（2）双曲线a

8、x2 by2 1的离心_122率为百，则a:b= （答：4或1）； （3）设双曲线三 y-r 1 （a>0,b>0）中,4a2 b2离心率eC V2,2,则两条渐近线夹角8的取值范围是（答：,）；3 2（3）抛物线（以y2 2 Px（p 0）为例）：范围：x 0, y R;焦点：一个焦点（E,0）,其中p的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴y 0,2没有对称中心，只有一个顶点（0,0）;准线：一条准线x 卫；离心率：e 2抛物线 e 1。如设a 0,aR,则抛物线4ax2的焦点坐标为(0+);5、2点P(x0, y°)和椭圆二 a0)的关系：(1)点P(xo

9、,yo)在椭圆外2驾 1; (2)点P(x°,y°)在椭圆上 b2 x0 -2 a2包=1b2，(3)点P(xo,yo)在椭圆内2四1 b2过双曲线 J 匕 1的右焦点直线交双曲线于 A、B两点，若|AB| =4,则这样的直 12线有条(答：3);(2)相切：0直线与椭圆相切；0直线与双曲线相切；0直线与抛物线相切；(3)相离：0直线与椭圆相离；0直线与双曲线相离；0直线与抛物线相离。特别提醒：(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形： 相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个交点； 如果直线与抛物线的轴平行时，直线与抛

10、物线相交，也只有一个交点；(2)过双曲线221 4=1外一点P(x0, y。)的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下： P点在两a b条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条； P在两条 渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线； P6.直线与圆锥曲线的位置关系：(1)相交： 曲线相交不一定有 一个交点，故0 直线与椭圆相交;0直线与双曲线相交，但直线与双0,当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线

11、相交且只有0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件;0 直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0,当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。如(1)若直线y=kx+2与双曲线x2-y 2=6的右支有两个不同的交15点，则k的取值范围是(答：(-詈，-1)； (2)直线y kx1=0与椭圆22 1包有公共点，则m的取值范围是(答：1, 5) U (5, +oo) ) ； (3) 5 m为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。如（1）

12、过点（2,4）作直线与抛物线 y2 8x只有一个公共点，这样的直线有 （答：2） ; （2）过点（0,2）与双曲线22- 匕1有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为 （答：9 164, 述）;（3）过双曲线x2工1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点， 332若AB 4,则满足条件的直线l有条（答：3） ; （4）对于抛物线C: y2 4x ,我们称满足y02 4x0的点M（x0,y0）在抛物线的内部，若点M%小）在抛物线的内部，则直线l: y°y 2（x x0）与抛物线C的位置关系是 （答：相离）；（5）过抛物 线y2 4x的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ

13、的长分别是p、22（答：1） : （6）设双曲线二 1的右焦点为F,右准线169为l ,设某直线m交其左支、右支和右准线分别于 P,Q,R,则 PFR和 QFR的大小关系为（*大于、小于或等于）（答：等于）；（7）求椭圆7x2 4y2 28上的点到直线3x 2y 16 0的最短距离（答:813、（8）直线y ax 1与双曲线3x2 y2 1交于A、B两点。当a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？（答： 瓜如;a 1）;7、焦半径（圆锥曲线上的点P到焦点F的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第 二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径 r ed ,其中d表

14、示P到与F所对应的准线22的距离。如（1）已知椭圆匕1上一点P到椭圆左焦点的距离为3,则点P到右准25 16线的距离为 （答：35） ; （2）已知抛物线方程为y2 8x,若抛物线上一点到y轴 3的距离等于5,则它到抛物线的焦点的距离等于 ; （3）若该抛物线上的点M到焦22点的距离是4,则点M的坐标为 （答：7,（2, 4） ； （4）点P在椭圆人 工1259上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点 P的横坐标为（答：25) ; (5)抛物线y2 2x上的两点A、B到焦点的距离和是5,则线段AB的中点到y12轴的距离为2（答：2） ; （6）椭圆 42在椭圆上有一点M,MP2MF之值

15、最小，则点M的坐标为（等 1）;8、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点P(xo,y。)到两焦点Fi,F2的x2距离分别为riJ2,焦点F1PF2的面积为S,则在椭圆 a2b2一 .arccos( 1),且当n r2即P为短轴环点时，取大为1222b cmax= arccos2一 ；aS b2tan2 c|yo1,当1y01b即P为短轴端点时，Smax的最大值为be；对于双曲线223 -y2- 1的焦点三角形有： arccos 1 a b2b21 一 . 2,; S r1r2sinb cot-。如22(1)短轴长为J5,离心率e 2的椭圆的两焦点为 己、F2,过F1作直线交椭圆于A、3B两点，则ABF?的周长为.(答：6); (2)设P是等轴双曲线x2 y2 a2(a 0)右支上一点，Fi、F2是左右焦点，若PF2讦2 0, |PR|=6,则该双曲线的方程为2 x（答：x y 4） ; （3）椭圆一 91的焦点为Fi、F2,点