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文档简介
1、八、圆锥曲线1 .圆锥曲线的两个定义:(1)笫二定义小要更选:括号,区的限制条件:椭圆中,与两个定点Fi, F2的距离的和等于常数2a,且此常数2a一定要大于FF?,当常数等于FF2时,轨迹是线段F1F2,当常数小于|FiF2|时,无轨迹;双曲线中,与两定点Fi, F2的距离的差的绝对值等于常数2a,且此常数2a一定要小于| F1F2I ,定义中的“绝对值”与2a<IF1F2I不可忽视。若2a =尸产2,则轨迹是以F1,F2为端点的两条射线,若2a>|F1F2| ,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如(1)已知定点F1( 3,0),F2(3,0),在满足下
2、列条件的平面上动点 P的轨迹中是椭圆的是A. PF1 PF2 4 B. PF1 PF2 6 C. PF1PF2 10D. |PFj2|PF2|212 (答:C);.(2)方程 J(x6)2y2*x 6)2y28表示的曲线是 (答:双曲线的左支)(2)第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线,且“点点距为分子、 点线距为分母”,具商即是离心率e。圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点 到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系,要善于运用第二定义对它们进行相互转2化。如已知点Q(2j2,0)及抛物线y L上一动点P (x,y),则y+|PQ|的最小值是 4(答:2)坐标轴为对称轴时的2.圆锥
3、曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点, 标准位置的方程):X2(1)椭圆:焦点在X轴上时-2 a2 y b21 (a b 0) x ybcos (参数方程, sin2其中为参数),焦点在y轴上时鼻 a2 x b7=1 (a b 0)。方程Ax2 By2 C表示椭圆的充要条件是什么? ( ABCW0,且A, B, C同号,AWB)。如(1)已知方程22一 1表示椭圆,则k的取值范围为(答:(3, 1)U(1,2) ; (2)若3 k 2 k22x, y R ,且3x2 2y2 6 ,则x y的最大值是,x2 y2的最小值是(答而2)2222(2)双曲线:焦点在x轴上:x2 与=1 ,焦
4、点在y轴上:与 之=1 a ba b(a 0,b 0)。方程Ax2 By2 C表示双曲线的充要条件是什么?(ABCW0,且A,B异号)。如(1)双曲线的离心率等于5,且与椭圆K i1有公共焦点,则该双曲2942线的方程(答:y2 1) ; (2)设中心在坐标原点O,焦点F1、F2在坐标4轴上,离心率e V2的双曲线C过点P(4,丽,则C的方程为(答:22x y 6)(3)抛物线:开口向右时y2 2px(p 0),开口向左时y22px(p 0),开口向2 2上时 x 2 py( p 0),开口 向下时 x 2py( p 0)。3 .圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断):(1)椭
5、圆:由x 2, y 2分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程221表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是_(答:m 1 2 m (,1) (1,)2(2)双曲线:由x 2, y 2项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;(3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。特别提醒:(1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点 Fi, F2 的位置,是椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程 中的两个参数a,b,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物线问题时,首先要判断开口方向;(2)在椭圆中,a最大,
6、a2 b2 c2,在双曲线中,c最大,c2 a2 b2。4.圆锥曲线的几何性质:22(1)椭圆(以与y2- 1 (a b 0)为例):范围:a x a, b y b; a b焦点:两个焦点(c,0);对称性:两条对称轴x 0,y 0, 一个对称中心(0,0),四个顶点(a,0),(0, b),其中长轴长为2a,短轴长为2b;准线:两条准线2xa-;离心率:e £,椭圆 0 e 1, e越小,椭圆越圆;e越大,椭圆越ca22,八。二扁。如(1)若椭圆上 L 1的离心率e 任,则m的值是 (答:3或一);(2) 5 m53以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时,则椭圆长
7、轴的最小值为_(答:2J2)X2 y2(2)双曲线(以二 二 1 ( a 0,b 0)为例):范围:x a或x a, y R; a2 b2焦点:两个焦点(c,0);对称性:两条对称轴x 0,y 0, 一个对称中心(0,0),两个顶点(a,0),其中实轴长为2a,虚轴长为2b,特别地,当实轴和虚轴的长相等2时,称为等轴双曲线,其方程可设为 x2 y2 k,k 0;准线:两条准线x ;c离心率:e c,双曲线 e 1,等轴双曲线e 拒,e越小,开口越小,e越a大,开口越大;两条渐近线:y bx。如(1)双曲线的渐近线方程是3x 2y 0, a则该双曲线的离心率等于(答:逅或逅);23(2)双曲线a
8、x2 by2 1的离心_122率为百,则a:b= (答:4或1); (3)设双曲线三 y-r 1 (a>0,b>0)中,4a2 b2离心率eC V2,2,则两条渐近线夹角8的取值范围是(答:,);3 2(3)抛物线(以y2 2 Px(p 0)为例):范围:x 0, y R;焦点:一个焦点(E,0),其中p的几何意义是:焦点到准线的距离;对称性:一条对称轴y 0,2没有对称中心,只有一个顶点(0,0);准线:一条准线x 卫;离心率:e 2抛物线 e 1。如设a 0,aR,则抛物线4ax2的焦点坐标为(0+);5、2点P(x0, y°)和椭圆二 a0)的关系:(1)点P(xo
9、,yo)在椭圆外2驾 1; (2)点P(x°,y°)在椭圆上 b2 x0 -2 a2包=1b2,(3)点P(xo,yo)在椭圆内2四1 b2过双曲线 J 匕 1的右焦点直线交双曲线于 A、B两点,若|AB| =4,则这样的直 12线有条(答:3);(2)相切:0直线与椭圆相切;0直线与双曲线相切;0直线与抛物线相切;(3)相离:0直线与椭圆相离;0直线与双曲线相离;0直线与抛物线相离。特别提醒:(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形: 相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点; 如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛
10、物线相交,也只有一个交点;(2)过双曲线221 4=1外一点P(x0, y。)的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下: P点在两a b条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条; P在两条 渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线; P6.直线与圆锥曲线的位置关系:(1)相交: 曲线相交不一定有 一个交点,故0 直线与椭圆相交;0直线与双曲线相交,但直线与双0,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线
11、相交且只有0是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件;0 直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有0,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。如(1)若直线y=kx+2与双曲线x2-y 2=6的右支有两个不同的交15点,则k的取值范围是(答:(-詈,-1); (2)直线y kx1=0与椭圆22 1包有公共点,则m的取值范围是(答:1, 5) U (5, +oo) ) ; (3) 5 m为原点时不存在这样的直线;(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线。如(1)
12、过点(2,4)作直线与抛物线 y2 8x只有一个公共点,这样的直线有 (答:2) ; (2)过点(0,2)与双曲线22- 匕1有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为 (答:9 164, 述);(3)过双曲线x2工1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点, 332若AB 4,则满足条件的直线l有条(答:3) ; (4)对于抛物线C: y2 4x ,我们称满足y02 4x0的点M(x0,y0)在抛物线的内部,若点M%小)在抛物线的内部,则直线l: y°y 2(x x0)与抛物线C的位置关系是 (答:相离);(5)过抛物 线y2 4x的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ
13、的长分别是p、22(答:1) : (6)设双曲线二 1的右焦点为F,右准线169为l ,设某直线m交其左支、右支和右准线分别于 P,Q,R,则 PFR和 QFR的大小关系为(*大于、小于或等于)(答:等于);(7)求椭圆7x2 4y2 28上的点到直线3x 2y 16 0的最短距离(答:813、(8)直线y ax 1与双曲线3x2 y2 1交于A、B两点。当a为何值时,A、B分别在双曲线的两支上?当a为何值时,以AB为直径的圆过坐标原点?(答: 瓜如;a 1);7、焦半径(圆锥曲线上的点P到焦点F的距离)的计算方法:利用圆锥曲线的第 二定义,转化到相应准线的距离,即焦半径 r ed ,其中d表
14、示P到与F所对应的准线22的距离。如(1)已知椭圆匕1上一点P到椭圆左焦点的距离为3,则点P到右准25 16线的距离为 (答:35) ; (2)已知抛物线方程为y2 8x,若抛物线上一点到y轴 3的距离等于5,则它到抛物线的焦点的距离等于 ; (3)若该抛物线上的点M到焦22点的距离是4,则点M的坐标为 (答:7,(2, 4) ; (4)点P在椭圆人 工1259上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点 P的横坐标为(答:25) ; (5)抛物线y2 2x上的两点A、B到焦点的距离和是5,则线段AB的中点到y12轴的距离为2(答:2) ; (6)椭圆 42在椭圆上有一点M,MP2MF之值
15、最小,则点M的坐标为(等 1);8、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题:常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点P(xo,y。)到两焦点Fi,F2的x2距离分别为riJ2,焦点F1PF2的面积为S,则在椭圆 a2b2一 .arccos( 1),且当n r2即P为短轴环点时,取大为1222b cmax= arccos2一 ;aS b2tan2 c|yo1,当1y01b即P为短轴端点时,Smax的最大值为be;对于双曲线223 -y2- 1的焦点三角形有: arccos 1 a b2b21 一 . 2,; S r1r2sinb cot-。如22(1)短轴长为J5,离心率e 2的椭圆的两焦点为 己、F2,过F1作直线交椭圆于A、3B两点,则ABF?的周长为.(答:6); (2)设P是等轴双曲线x2 y2 a2(a 0)右支上一点,Fi、F2是左右焦点,若PF2讦2 0, |PR|=6,则该双曲线的方程为2 x(答:x y 4) ; (3)椭圆一 91的焦点为Fi、F2,点
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