高中数学导数练习题答案

1、专题8：导数(文)经典例题剖析考点一：求导公式。例l.f (x)是f(x) 13x 2x 1的导函数，则f ( 1)的值是。3解析：r x x2 2,所以F 11 2 3答案：3考点二：导数的几何意义。,f(l)处的切线方程是y例2.己知函数y f(x)的图象在点M(1f(l) f (1)。解析：因为k lx 2,则211, f(l),可得点M的纵坐标为，所以f 1,由切线过点M(12255,所以 f 1,所以 f 1 f 13 22答案：3,3)处的切线方程是。例3.曲线y x3 2x2 4x 2在点(1,3)处切线的斜率为k 3 4 45,所以设切解析：y，3x2 4x 4,点(1,3)带

2、入切线方程可得b 2,3)线方程为y 5x b,将点(1所以，过曲线上点Q处的切线方程为：5x y 2 0答案：5x y 2 0点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。考点三：导数的几何意义的应用。32例4.已知曲线C： y x 3x 2x,直线l:y kx,且直线1与曲线C相切于 点 、xO,yO xO 0求直线1的方程及切点坐标。解析：直线过原点，则k yO xO 0 o由点xO,yO在曲线C上，则xOy232yO xO 3x0 2x0,0 xO 3x0 2。又 y 3x2 6x 2 在 xOxO,yO处曲线C的切线斜率为k f xO 3x0 6x0 2,222 整理得：解得：x0 2

3、x0 3x0 0, xO 3x0 2 3x0 6x0 2, 3 或 xO 02 (舍)，此时，yO 311, k o所以，直线1的方程为yx,切点坐标是84433, o 28答案：直线1的方程为y1 33 x,切点坐标是，4 28点评：本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲 线上乂在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切 线的充分条件，而不是必要条件。考点四：函数的单调性。例5.已知f x ax3 3x2 x 1在R上是减函数，求a的取值范围。解析：函数f x的导数为r x 3ax2 6x 1。对于x R都有x 0 时，f xa 0为减函数。由3

4、ax 6x 1 0 x R可得，解得a 3。所以， 36 12a 0 2当a 3时，函数f x对x R为减函数。1 8 (1)当 a 3 时，f x 3x3 3x2 x 13 x 。3 93由函数y x在R上的单调性，可知当a 3是，函数f x对x R为减 函数。3(2)当a 3时，函数f x在R上存在增区间。所以，当a 3时、函 数f x在R上不是单调递减函数。综合(1) (2) (3)可知a 3o答案：a 3点评：本题考查导数在函数单调性中的应用。对于高次函数单调性问题，要有 求导意识。考点五：函数的极值。例6.设函数Rx) 2x 3ax 3bx 8c在x 1及x 2时取得极值。(1)求a

5、、b的值；323,都有f(x) c成立，求c的取值范围。2)若对于任意的x 0,2解析：(l)f (x) 6x 6ax 3b，因为函数f(x)在x 1及x 2取得极值， 则有26 6a 3b 0，,解得 a 3, b 4o f (1) 0, f (2) 0. B|J24 12a 3b 0.(2 )由(I )可知， f(x) 2x3 9x2 12x 8c , f (x) 6x2 18x 12 6(x 1 )(x 2)。1)时，f (x) 0：当 x (12),时，f (x) 0：当 x (2, 3)时，f (x) 0o 所 以，当x (0,当 x 1 时,f(x)取得极大值 f(l) 5 8c,

6、 乂 f(0) 8c,f(3) 9 8c。则当 x 0, 3时，f(x)的最大值.为出3) 9 8co因为对于任意的x 0, 3 ,有f(x) c2 恒成立，2所以9 8c c,解得c 1或c 9,因此c的取值范围为(，1) (9, ),1) (9, )o 答案：(1) a 3, b 4： (2)(,点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数f x的极值步骤：求 导数X ；求x o的根；将r x o的根在数轴上标出，得 出单调区间，由F X在各区间上取值的正负可确定并求出函数f X的极值。 考点六：函数的最值。例7.已知a为实数，f x x2 4 x a o求导数P x ;(2)若 V 1

7、0,求f x在区间 2,2上的最大值和最小值。解析：(1) f x x ax 4x 4a, f x 3x 2ax 4。32212。r x 3x x 4 3x 4 x 1 24令r x 0,即3x 4 X 10,解得X 1或x ,则f x和r x在区间2,23（2） r 13 2a 4 0, af 19, 250 427 3 50 4o所以，f x在区间 2,2上的最大值为f，最r 27 3小值为f 19o 2答案：(1) F x 3x2 2ax 4； (2)最大值为f43950,最小值为f 1。227点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数f x在区间a.b上的最 值，要先求出函数f x在

8、区间a.b上的极值，然后与f a和f b进行 比较，从而得出函数的最大最小值。考点七：导数的综合性问题。例8.设函数Rx) ax3 bx c(a 0)为奇函数，其图象在点(l,f(l)处的切线与 直线x 6y 7 0垂直，导函数T(x)的最小值为12。(1)求a, b, c的值；(2)求函数f(x)的单调递增区间，并求函数人乂)在1,3上的最大值和最小值。 解析：(1) 为奇函数，4 x) Rx),即 ax bx c ax bx cAc 0, VP(x) 3ax2 b 的最小值为 12, Ab 12, 乂直线 x 6y 7 0 的斜率为330. 61,因此，f(l) 3a b 6, A a 2

9、, b 12, c(2) f(x) 2x3 12xoP(x) 6x212 6(xx,列表如下:所以函数f(x)的单调增区间是(,和 ),：( 1) 10,f , f(3) 18,岭)在1,3上的最大值是出3) 18,最小值是f答案：(l)a 2, b 12, c 0:(2)最大值是f(3) 18,最小值是f点评：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识, 以及推理能力和运算能力。导数强化训练(一)选择题x21 .己知曲线yl4的一条切线的斜率为2,则切点的横坐标为(A )A. 1 B. 2 C. 3 D. 42 .曲线y x3 3x2 1在点(1, -1)处的切线方程

10、为(B )A. y 3x 4B. y3x 2C. y 4x 3 D. y 4x 53 .函数y (x l)2(x 1)在x 1处的导数等于 (D )A. 1 B. 2 C. 3D. 44 .已知函数f(x)在x 1处的导数为3,则f(x)的解析式可能为(A )A. f(x) (x 1)2 3(x 1) B. Rx) 2(x 1)C. fix) 2(x 1)2 D. Rx) x 15.函数x) x3 ax2 3x 9,已知f(x)在x3时取得极值，则a= ( D )(A) 2(B) 3(C) 4(D) 56 .函数f|x)(A ) (2,7 .若函数fx3 3x2 )(B )( x x21是减函

11、数的区间为(D ),2) (0(.0) ( D ) (02)bx c的图象的顶点在第四象限，则函数x的图象是（A ）x AB CD8.函数 Rx) 2x2 13x3在区间0,6上的最大值是（A ）A. 32B. 16C. 12D. 99.函数y x3B.3x的极大值为m,极小值为n,则m n为C. 2A ) A. 0D.10.A.4三次函数fa 0ax3 x 在 xB.C. a 1D. 111.在函数y x3 8x的图象上，其切线的倾斜角小于是A.B. 2的点中，坐标为整数的点的个数4D. 0(D ) C. 112.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f (x)在(a,b)A. 1个

12、C,3个(二)填空题B. 2个 D. 4个313.曲线y x在点1,1处的切线与x轴、直线x 2所围成的三角形的面积 为o 14.已知曲线y 15.己知f都有f(n)(n)134x ，则过点P(2,4)“改为在点P(2,4)”的切线方程是33(x)是对函数f(x)连续进行n次求导，若f(x) x6 x5,对于任意x R,(x)=0,则n的最少值为。16 .某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次， 一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 吨.(三)解答题3217 .己知函数f x x ax bx c,当x 1时，取得极大值7；当x 3 时

13、，取得极小值.求这个极小值及a,b,c的值.18 .已知函数 &x) x3 3x2 9x a.(1)求f(x)的单调减区间：(2)若f(x)在区间-2, 2.上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.19 .设I 0,点P (t, 0)是函数Rx) x3 ax与g(x) bx2 c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线。(1)用 t 表示 a,b,c；(2)若函数y f(x) g(x)在(一1，3)上单调递减，求t的取值范围。20 .设函数 f x x3 bx2 cx(x R),已知 g(x) f(x) f (x)是奇函数。(1)求b、c的值。(2)求g(x)的单调区间与极值。2

14、1 .用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之 比为2： 1,问该长方体的长、宽、高各为多少时。，其体积最大？最大体积是多 少？22 .已知函数Rx)21312x ax bx在区间11)3内各有一个极值点.，(1, 32 (1)求a 4b 的最大值；,f(l)处的切线为1，若1在点A处穿(1)当a 4b 8时，设函数y f(x) 在点A(1过函数y f(x)的图象(即动点在点A附近沿曲线y f(x)运动，经过点A时， 从1的一侧进入另一侧)，求函数f(x)的表达式.2强化训练答案:12.Al.A 2.B 3.D 4.A 5.D 6.D 7.A 8.A 9.A 1O.

15、A 11.D(四)填空题 (五)解答题17.解：r x2据题意，一1,2a 1 313.814. y 4x3x2 2ax bo3是方程3x 2ax31 34 015. 716. 20 3b 0的两个根，由韦达定理得b- -a3,b9.*f x x3 3x2 9x c f 17, .c 2极小值 f 333 3 32 9 3 2253,b9, c 2o ，极小值为-25, a18.解：(1)所以函数(2)因为所以f (x)3x2 6x 9.令f (x) 0,解得x 1或x 3, f(x)的单调递减 区 间 为 (，1),(3,). fi( 2) 8 12 18 a 2 a,f(2)8 12 18

16、 a 22 a, fi(2) f( 2).因为在(一1, 3)上 f (x) 0,所以f(x)在一1,2上单调递增，乂由于f(x)在一2, 1上单调递减，因此f(2)和f( 1) 分别是f(x)在区间2,2上的最大值和最小20,解得a2.值.于是有22 a故即函数f(x) x3 3x2 9x 2. 因此出 1) 12.2上的最小值为-7.19.解：(1)区I为函数即t3f(x), g(x)的图象都过点(t, 0),所以f(I) 0, g(t) 0,即 bl2 c 0,所以 c ab.3 9 27, Rx)在at 0.因为l 0,所以at2.又因为f(x), g(x)在点(t, 0)处有相同的切

17、线，所以f (t) g (t).而 f (x) 3x2 a.g (x) 2bx,所以 3t2 a 2bt.t2代入上式得b t.因此c abl3.故a12, b t, c t3.揩a(2) yRx)g(x)x3 t2x tx2l3,y3x22tx t2(3x t)(x t).当y (3x t)(x t) 0时，函数y f(x) g(x)单调递减.y 0,若t0,则tt x t：若t0.则tx.33由由题意，函数y f(x) g(x)在(-1, 3)上单调递减，则ttt( 1,3)(，。或(1.3) (t,).所以 t 3 或 3.BP t 9 或 t 3.333 又当9 t 3时，函数y f(

18、x) g(x)在(一 1，3)上单调递减.所以t的取值范围为(,9 3,).20 .解：(1) x x3 bx2 ex, f x 3x2 2bx c。从而g(x) Rx) f (x) x3 bx2 ex (3x2 2bx c)=x3 (b 3)x2 (c 2b)x c是一个奇函数，所以g(0) 0得c 0,由奇函数定义 得b 3；32 (2)由(I )知 g(x) x 6x,从而 g (x) 3x 6,由此可知，和)是函数g(x)是单调递增区间;(是函数g(x)是单调递减区间; g(X)在 X g(x)在、取得极大值,极大值为取得极小值,极小值为。21 .解：设长方体的宽为x (m),则长为2

19、x(m),高为h 18 12x 4.5 3x(m)430x .2故长方体的体积为V x 2x2 4.5 3x 9x2 6x3m3从而 V (x) 18x 18x令V，当 02 Ox32 (4.53x)18x(1 x). x 0,解得 x0(舍去)或 x 1,因此x1. 3 时，V，x0, 2 x1 时，V，x 0；当1 x故在x 1处V X取得极大值，并且这个极大值就是V X的最大值。从而最大体积V V x 9 12 6 13m3 ，此时长方体的长为2 m, 高为1.5 m.3答：当长方体的长为2 m时，宽为1 in,高为1.5 m时，体积最大，最大体 积为3m。22.解：(1)因为函数f(x) 1312x ax bx在区间11)3内分别有一个极值 点，所以，(1, 323内分别有一个实根，(1, f (x) x2 ax b 0在11)设两实根为xl, x2 (xlx2),则 x2 xl 0 x2 xl4.于是b3时等号成立.且当xl1 即 a2,故，x2 3, 0 4, 0 a2 4b16,a2 4b的最大值是16.(2)解法一：由f1 a b知f(x)在点Q, f