高中数学离散型随机变量的分布列

1、离散型随机变量的分布列一.基本理论(一)基本概念(1)随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量表示，那么这样的变量叫做随机变量来表示，随机变量常用希腊字母，等表示.(2)离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量 叫做离散型随机变量.例如，射击命中环数是一个离散型随机变量.(3)连续型随机变量如果随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫连续型随机变量.(二)离散型随机变量的分布列1 .设离散型随机变量可能取的值为XX2，Xn，,取每一个值Xi(i 1,2,3,4 )的概率P( Xi) Pi ,则称下表P为随机变量的概率分布，简称为的分布列.

2、分布列的表达式可以是如下的几种(A)表格形式；(B)一组等式(C) 压缩为一个带i的形式.2 .由概率的性质知，任一离散型随机变量的分布列具有下列二个性质：(A) Pi 0,i 1,2,3 ,(B)pip23.求分布列三种方法(1)由统计数据得到离散型随机变量分布列；(2)由古典概型求出离散型随机变量分布列；(3)由互斥事件、独立事件的概率求出离散型随机变量分布列._2一 2D(xi E ) pi (X2 E ) P24.1. 散型随机变量的期望与方差般地，若离散型随机变量的概率分布列为P则称EXiPi X2P2仇 为 的数学期望或平均数.或均值.(Xn E )2Pn为 的均方差.简称方差./

3、D叫标准差.性质：(1) D E( 2) (E )2(2) E(a b)aE b (3) D(a b) a2D01(三)几种常见的随机变量的分布X10Ppq型随机变量X服从参数为p的两1 .两点分布如果随机变量X的分布列为其中0vp =_ 5i P(X i) 344221142121题型3.由独立事件同时发生的概率求离散型随机变量的分布列题5.【2012高考真题重庆理17】甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一票.约定甲先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为乙每次投篮投中3的概率为1,且各次投篮互不影响.2(I) 求甲获胜的概率；(n)求投篮结束时甲的投篮

4、次数的分布列与期望【答案】题6.【2012高考真题全国卷理19】乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在 10平前，一方连续发球 2次后，对方再连续发球2次，依次轮换.每次发球，胜方得1分，负方得0分.设在甲、乙 的比赛中，每次发球，发球方得 1分的概率为0.6 ,各次发球的胜负结果相互独立. 甲、乙的一局比赛中，甲先发球.(I)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为 1比2的概率； I II(n)-表示开始第4次发球时乙的得分，求-的期望.【答案】题型4.两点分布题7.某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12% 旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项

5、目开发的实施结果：投资成功投资失败192次8次则该公司一年后估计可获收益的期望是 .解析设该公司一年后估计可获得的钱数为 X元，则随机变量X的取值分别为50 000X 12%= 6 000(元)，-50 000 X50%= 25 000(元).由已知条件随机变量 X的 概率分布列是X6 00025 000P因止匕 E(X) =6 000 X 24+(25 000) X；1=4 7602525答案 4 760题型4.二项分布题8.(广东省惠州市2010届高三第三次调研理科)在一个圆锥体的培养房内培养了40只蜜蜂，准备进行某种实验，过圆锥高的中点有一个不计厚度且平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个

6、实验区，其中小锥体叫第一实验区，圆台体叫第二实验区，且两个实验区是互通的。假设蜜蜂落入培养 房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的。(1)求蜜蜂落入第二实b验区的概率；(2)若其中有10只蜜蜂被染上了红色，求恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率；(3)记X为落入第一实验区的蜜蜂数，求随机变量X的数学期望EX解：(1)记“蜜蜂落入第一实验区” 为事件A, “蜜蜂落入第二实验区” 为事件B .依题意,V、椎体P AV圆椎体1 1 U 1 .Si锥底面 h圆锥 3 42二 P(B) 1 P A1 . h -3 Sa锥底面h圆锥78蜜蜂落入第二实验区的概率为8(2)记“恰有一只

7、红色蜜蜂落入第二实验区”为事件C ,则恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率70 230 .(3)因为蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的，所以变量X满足二项分布，即X。40,1 10 分8.二随机变量 X的数学期望EX =40X 1 =5812分题9.(2012年茂名二模)在我市“城乡清洁工程”建设活动中，社会各界掀起净化美化环境的热潮.某单位计划在小区内种植 A,B,C,D四棵风景树，受本地地理环境的影响，A,B两棵树的成活的概率均为 工，另外两棵树C,D为进口树种，其成活概2率都为a(0 a 1),设表示最终成活的树的数量.(1)若出现A,B有且只有一

8、颗成活的概率与 C,D都成活的概率相等，求a的值；(2)求的分布列(用a表示)；(3)若出现恰好两棵树成活的的概率最大，试求a的取值范围解：(1)由题意，得 2 1 (1 1) a2 ,a . 222(2)的所有可能取值为0,1,2,3,4.3分p( 0) C0(1 1)2C0(1 a)2 1(1 a)24 分24p(1)C21(11)C；(1a)2C；(11)2C2a(1 a)-(1 a) 5分2222_ 2 1 2 _ 02_ 1 11 - 1- 012_2212p(2)C2(一)C2(1a)C2(1一)C2a(1a) Cz(1)C2a-(1 2a 2a )222246分p( 3) C2(

9、1)2C2a(1 a) C；1(1 1)C2a2 -2222p( 4) C2(1)2C2a2 一 8分24得的分布列为：9 分01234(3)由 0 a 1,显然 Li a)2 1(1 a),三 a 10分424212112 p( 2) p( 1) -(1 2a 2a ) - (1 a) (2a 4a 1) 011 分424_1a1 _p(2)p(3)-(12a 2a2)(2a21) 0 12 分424由上述不等式解得a的取值范围是2X2 a 13分22题型5.超几何分布题10.某校组织一次冬令营活动，有8名同学参加，其中有5名男同学，3名女同学，为了活动的需要，要从这8名同学中随机抽取3名同

10、学去执行一项特殊任务, 记其中有X名男同学.(1)求X的概率分布；(2)求去执行任务的同学中有男有女的概率.解 (1) X的可能取值为0, 1, 2, 3.根据公式P (X=mj) =cMcNrM算出其相应的概率,cM即X的概率分布为X0123P(2)去执行任务的同学中有男有女的概率为P (X=1) +P (X=2) =15 + 15二竺.562856题型6.离散型随机变量的均值和方差题11. (2011 北京)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.(1)如果X= 8,求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X= 9,分别从甲、

11、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵 数Y的分布列和数学期望.(注：方差 s1 2=n【(X1 x)2+(X2 x )2+-+ (Xn x )2其中X为X1, X2,Xn的平均数)解(1)当X= 8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10 ,所以平均数为:8+8+9+ 10 354=1 ；Y1718P192021、2 135 235 235 235 211万差为：s =X (8 -) +(8-) +(9-) +(10-)=-.(2)当X= 9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是：9,9,11,11 ;乙组同学的植树棵数是9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取

12、一名同学， 共有4X4= 16种可 能的结果，这两名同学植树总棵数 Y的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Y= 17” 等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树 8棵”，所以该事件有22111种可能的结果，因此 RY= 17) = 16= 8.同理可得P(Y= 18)=4; RY= 19) =4； P(Y11111EY= 17X P(Y= 17) +18X PY= 18) +19X P(Y= 19) +20X RY= 20) +21X RY= 21) = 17X 8+18X 4+19X4 + 20X 4+21X 8= 19.题12. (2011 福建)某产品按行业生产标准

13、分成8个等级，等级系数 X依次为1,2 ,，8,其中X5为标准A, X3为标准B已知甲厂执行标准 A生产该产品, 产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准 B生产该产品，产品的零售价为 4元/件, 假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准.(1)已知甲厂产品的等级系数 X的概率分布列如下所示:X5678P0.4ab0.1且X的数学期望E(X)=6,求a, b的值;(2)为分析乙厂产品的等级系数又，从该厂生产的产品中随机抽取 30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下:用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率，求等级系数X的数学期望.(3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准

14、，则哪个工厂的产品更具可 购买性？说明理由.注：(1)产品的“性价比”=产品的等级系数的数学期望产品的零售价(2) “性价比”大的产品更具可购买性.审题视点(1)利用分布列的性质P1+ P2+ P3+ R=1及E(X)=6求a, b值.(2)先求又的分布列，再求 其又)，(3)利用提示信息判断.解 (1)因为 E(X) =6,所以 5X0.4 + 6a+7b+8X0,1 = 6,即 6a +7b=3.2.又由X的概率分布列得 0.4+a+b+0.1 =1,即a+b= 0.5.6a +7b = 3.2 , a+ b= 0.5 ,解得a=0.3 , b=0.2.(2)由已知得，样本的频率分布表如下

15、:X345678f0.30.20.20.10.10.1用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X的概率分布列如下:所以X345678P0.30.20.20.10.10.1E(X2) =3X0.3 +4X0.2 +5X0.2 +6X0.1 +7X0.1 +8X0.1 =4.8.即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.(3)乙厂的产品更具可购买性.理由如下:因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6,价格为6元/件，所以其性价比为6_歹1.因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8,价格为4元/件，所以其性价比为4.84= 1.2.据此，乙厂的产品更具可购买性.离散型随机变量的

16、分布列作业1.一袋中装有编号为 1, 2, 3, 4, 5,的6个大小相同的球，现从中随机取出个球，以X表示取出的最大号码.(1)求X的概率分布;(2)求X4的概率.解 (1) X的可能取值为3, 4, 5,6,从而有:(X=3)W = 6(X=4)=管或，P (X=5)P (X=6)24 C d1=25C-故X的概率分布为X3456P(2) P (X4) =P (X=5) +P (X=6) =2 勺=土10 1052. (2011 浙江)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历.假定该毕业生得到甲公司面试的概率为2,得到乙、丙两公司面试的概率均3为p,且三个公司是否让其

17、面试是相互独立的.记X为该毕业生得到面试的公司个1数.若P(X= 0)=12,则随机变量X的数学期望E(X)=.审题视点分别求出随机变量 X取每一个值的概率，然后求其期望.一 ，一1解析由已知条件p( x= 0)= 12即(1 -力玛号解得p= 1, 3 122随机变量X的取值分别为0,1,2,3.1RX= 0)=-RX= 1)=2x 1 2 2+2X 3X 2 2=1, 323232 112125P(X= 2)=2X3X-X 12 + 1-3 * 2 =石，RX= 3)=2x 2 =6.因此随机变量X的分布列为E(X) =0x 工+1 x 1 + 2X-5+3X 1 = 5.dz 12312

18、6 33 .(广东省江门市2010届高三数学理科3月质量检测试题)甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为 工，乙每次击中目标的概率 -, 23(I )记甲击中目标的次数为丁求E的概率分布及数学期望EH ;(II )求甲恰,好比乙多击中目标2次的概率.4 .某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用 X表示其中的男生人数，求 X的概率分布.解 依题意随机变量X服从超几何分布,kc4 k所以 P (X=k) =CC (k=0, 1, 2, 3, 4) C40C6C3 =C035一 ,、C0C41 _C3c4 _ 8C4021.P (X=0)

19、 =CC1 = , P(X=1)= C40210, )RX=2)= 卑=3, P(X=3)=C4o7P(X=4)=C4C0 = 1C4014.X的概率分布为X01234P14分1 一一一5 .袋中装有黑球和白球共 7个，从中任取2个球都是白球的概率为下现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到 两人中有一人取到白球时即终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用 X 表示取球终止时所需要的取球次数.(1)求袋中原有白球的个数；(2)求随机变量X的分布列；(3)求甲取到白球的概率.审题视点对变量的取值要做到不重不漏，计算概率要准确. cX 1解(i)设袋中白

20、球共有x个，根据已知条件=7,解得x= 3,或x = - 2(舍去).(2) X表示取球终止时所需要的次数，则X的取值分别为：1,2 , 3,4,5.111A3 3AA 2因此，P(X= 1)=A1= 7, p(x= 2)=-A=7,RX= 3)A2A366A13不=3? Rx=4)=35,P(X= 5)A4A31aT=35.X12345P则随机变量X的分布列为:(3)甲取到白球的概率为A3 A4A1 a4A3 3 6_ 工 22P= A1+7Ar + 7r=7+35+35=35.6 . (2011 江西)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工 资级别.公司准备了两种不同的饮

21、料共8杯，其颜色完全相同，并且其中 4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料.若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800 元；否则月工资定为 2 100元.令X表示此人选对A饮料的杯数.假设此人对 A和 B两种饮料没有鉴别能力.(1)求X的分布列；(2)求此员工月工资的期望.解(1) X的所有可能取值为：0,1,2,3,4 , iP(X= i) = Cf(i =0,123,4),则X01234P(2)令Y表示此员工的月工资，则 Y的所有可能取值为2 100, 2 800,3 500,则RY1=3 500) = P(X=

22、 4) =元，8P(Y= 2 800) =P(X= 3)=港,35 53P(Y= 2 100) =P(X0 2)=元,11653E(Y)=3 500 X 70+ 2 800 X 70 + 2 100X70=2 280 ,所以此员工月工资的期望为2 280元.7 . (2008 湖北理，17)袋中有20个大小相同的球，其中记上 0号的有10个,记上n号的有n个(n=1,2,3,4 ).现从袋中任取一球，表示所取球的标号(1)求 的概率分布、期望和方差；(2)若=a +b,E(尸1,D( )=11，试求 a, b 的值.解 (1)的概率分布为01234P.E( )=0 x 1+1 X 1+2X 1+3X A+4X 1 =1.5. 22010205D尸(0-1.5) 2 X 1 +(1-1.5) 2 X -L +(2-1.5) 2 X A +(3-1.5) 2 X -3 +(4-1.5) 2 X5=2.75.(2)由 D(尸 a2V()，得 a2X2.75=11,即 a=2.又日尸aE )+b,所以当 a=2 时