常微分方程习题(1)

1、第一份常微分方程试题班级：学号：姓名：一、 填空题(30%)1、方程M(x, y)dx+ N(x, y)dy= 0有只含x的积分因子的充要条件是()。有只含y的积分因子的充要条件是 o2、 称为黎卡提方程，它有积分因子3、 称为伯努利方程，它有积分因子。4、若X1(t),X2(t),|,Xn(t)为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是5、形如的方程称为欧拉方程。6、若"t)和中(t)都是x = Ax的基解矩阵，则巾和中(t)具有的关系是7、当方程的特征根为两个共钝虚根是，则当其实部为 时,零解是稳定的，对应的奇点称为 o二、计算题(60%)1、ydx- (x y3)dy

2、 = 03、若 A =expAt4、（dy）3dx4xydy dx8y2 =0sint - cos2tI 2 ）试求方程组x'= Ax的解甲（t）苫（0）=寸=J并求,1 4 一-一九一5、求方程dy = x+y2经过（0, 0）的第三次近似解 dx6.求dx = -x - y + 1,dy = x - y - 5的奇点，并判断奇点的类型及稳定性. dtdt三、证明题（10%）1、n阶齐线性方程一定存在n个线性无关解。试卷答案一填空题-:M：:N1、)N-M ：NL、,一y x-M=(y)dx" Qxynu(x,y)-n(n-1)p(x)dxy e4、wxi(t),x2(t)

3、,Hl,xn(t)-0ndnydndy n-B 川，a"'06、(t) = (t)C7、零稳定中心二计算题M / ：N ,., = 1, 二 11、解：因为切 近 ,所以此方程不是恰当方程，方程有积, dy23分因子(y) = e -y =eny 二，两边同乘3得dx-一Idy = 0yy y y所以解为所以原方程的解为x = c1cost c2sint11 八-1 cost cos2t解：P()=九一 2-114 -4九2 6九+9=0解得匕2 3止匕时2+ L = c即2x= y(y 根，原方程有特解 x = Acos2t + Bsin2t代入原方程 A = - B=0

4、+c)另夕卜y=0也是解y 22、线性方程x" + x = 0的特征方程入2 +1 = 0故特征根九=±if1(t)=sint九刁 是特征单根，原方程有特解x= t(Acost + Bsint)1代入原万程 A=- - B=0f2(t) = - cos2t九=2i不是特征k=1 n1 2-27 ti： i=v 甲(t)=e3t |£ -(A-3E)i | 1Hi!一3t2-二e3t/十-2)1%2+t(W 一n -1 t i由公式 expAt= e苏 £ (A - e E)i 得百！3t r13t 10 1expAt =e3t E + t(A-3E)】=

5、e3t| 十t | ，0 1一 -11Le3Tt1JJ 1 -t'dy4、解：方程可化为x =dxj8y24y dx令* p则有32p 8yx;； (*)4yp(*)两边对 y 求导：2y(p3 4y2)-p+p(8y2 p3) = 4y2pdpdy代入（*）x = C2 2p4 c2即方程的 含参数形式的通解为：c22px 二一F4 c py = (-)2c又由p34x3也是方程的解27为参数14y即(p3 -4y2)(2y-p - p) = 0 由 2yp - p = 0得 p = cy2 即 y =(与2将 y dydyc =0得 p = (4y2)3 代入(*)得:0 = y0

6、 = 02x . xi = y00 xdx =5、解:x.x2、y00(x z)dx =一 十 2203 = y0v 41072x,xxx , x(x - -)dx =04400 2025x十十11 x20 4400 160 xv1=0.6、解：由 y 解得奇点(3, -2)令X=x-3,Y=y+2则dxx - y - 5 = 0- x ydydt=x - y一、, -1 - 1一，一因为=1 + 1。0故有唯一零解(0, 0)1-1+1122由二九2+2九+1+1 =九2 + 2无 + 2 = 0得九=1± i 故(3, -2)-1 九+1 为稳定焦点 三、证明题 由解的存在唯一性定理知：n阶齐线性方程一定存在满足如下条件的 n解: 2(t。)=1,x2(t0) = 0,IHl|,xn(t0) = 0 x1(t0) =0,x2(t0) =1,l|l|, xn(t0) = 0IHIHIIIIHIHIIIHIIIHIIHIIIIIIIHIHIIII xT(t0)=0,x，1(t0)=0,IH,x-(t0)=1 从而xi(t)(i =1,2,|n)是