高一数学求函数性质和练习自己整理(含答案)

1、高一数学函数的基本性质(定义域、值域、单调性、奇偶性)一.求函数的解析式1、求函数解析式的一般方法有：(1)直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。(2)待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；(3)换元法：若给出了复合函数 f g (x)的表达式，求f (x)的表达式时可以令t=g (x),以换元法解之；(4)构造方程组法：若给出 f (x)和f ( x),或f (x)和f (1/x)的一个方程，则可以 x代换一x (或1/x),构造出另一个方程，解此方程组，消去 f ( x)(或f (1/x)即可求出f (x)的

2、表达式；(5)根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。方法一、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。,2,x 1 x x 1f ()2例1.已知 x x ，试求f(x) ox 11t = x22解：设 x ,则 t1,代入条件式可得：f=tt+1,twi。故彳导:f(x) = x -x+1，x1 o说明：要注意转换后变量范围的变化，必须确保等价变形。方法二、构造方程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据

3、此构造出另一个方程，联立求解。 12f(x) 2f(一) -3x2 4x 5例2. ( 1)已知x，试求f (x)；(2)已知 f(x)+2f(-x)=3x2+4x+5,试求 f(x).解：(1)由条件式，以x代x,则得 xr 282 4x 5f x =2 .-x -x2 3x 33 o,1,11f ( ) 2f (x) =3* 45x x ,与条件式联立，消去f1lx人则得:由条件式，以-x代x则得：f(-x)+2f(x)=3x2-4x+5,与条件式联立，消去fx),则得:2 5f x = x -4x3 。说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系，故所求函数的定义域由解析

4、式确定，不 需要另外给出。例4.求下列函数的解析式:(1)已知 f(x)是二次函数，且 f (0) =2, f (x+1) f(x) = x 1 ,求 f(x)；(2)已知 f(、G +1) =x+2Vx ,求 f(x), f (x+1) , f(x2)；, x 1x2 1 1(3)(4)已知 f(x-) = J1 +1,求 f (x); x x x已知 3f (x) +2f (x) =x+3,求 f (x) o【思路分析】【题意分析】(1)由已知f(x)是二次函数，所以可设 f (x) =ax2+bx+ c(a ¥0),设法求出a,b,c即可。(2)若能将x+2jx适当变形，用 J

5、x+1的式子表示就容易解决了。(3)设工上为一个整体，不妨设为t ,然后用t表示x ,代入原表达式求解。 x(4) x, -x同时使得f(x)有意义，用-x代替x建立关于f(x), f(-x)的两个方程就行了。【解题过程】 设 f (x) =ax2 +bx +c(a #0),由 f(0) = 2/l|c=2,1 3由 f(x+1) f(x)=x1,得恒等式 2ax + a + b = x1,得2 = -2 = _一。2 21 2 3故所求函数的解析式为f(x) =1x2 -3x+2o2 2(2) ; f («+1) =x+2Vx = (Vx)2 +2%反+1 1 = (Vx+1)2

6、1,又 Jx >0, Vx +1 >1,r f (x) =x2 -1(x 之 1)。x11(3)设=t,则 x=',t¥1,xt - 12则 f (t) V f (x-)= x- - =1 =1 (t _1)2 (t 1) ut2 t 1 x x x x x所以 f (x) =x2 -x +1(x ¥1)。(4)因为 3f (x) +2f (x) =x+3 用 _x代替 x 得 3f (-x) +2f (x) = _x +3 3解式得f(x) = x3。 5【题后思考】求函数解析式常见的题型有：(1 )解析式类型已知的，如本例，一般用待定系数法。对于二次

7、函数问题要注意一般式 2一 .一一 一 2y=ax +bx+c(a #0),顶点式 y=a(x h) +k 和标根式 y = a(x - x1)(x - x2)的选择；(2)已知fg(x)求f(x)的问题，方法一是配凑法，方法二是换元法，如本例(2) (3)；1(3)函数方程问题，需建立关于f (x)的方程组，如本例(4)。若函数方程中同时出现f(x), f()，则一x1般将式中的x用1代替，构造另一方程。x特别注意：求函数的解析式时均应严格考虑函数的定义域。函数解析式及定义课后练习一、选择题1 .下列各组函数表示同一函数的是()A.二一 ,.、'.一 、；、 -12 .已知函数/卜+

8、 1)= /一工+3,那么“工一乂、/-5计9B、<-工- 33 .若工，则J d,等于()131 ,A. 2B. 4C. 4D.B. /=1，g=/W = +l > gW =-"D."11）的表达式是 （）C、/+5工-9D、f r+：344.下面四个图象中，不是函数图象的是(）A5 .下列各项表不相等函数的是（）B. 二J：与三；二一 1/6） = j丁：与 2（工）=J- -/ T与久了）二林一C.D.X2 +1 工41/ 42X6 .设函数匕，则/（fG=（）1213A. 5B.3C. 3D.97 .若函数y二/的定义域为 此x| 2W xw 2,值域为

9、N = y|0 <y<2,则函数J二/ 的图象可能是（）8.已知函数fa+1）=3元+2,则/的解析式是（）a.3x+2 b, 3x+l c. %+4d. 3i-l二、填空题#+1逐之2/ （x） =9.若函数以1-2i+31x <2 ,则/（工）=6时工的值为i-x x<i nil r i i10设历KmI J .以. O三、解答题11.根据下列条件，分别求下列函数的解析式:已知若丁口）为一次函数，且满足 兀囹=4*.12二次函数 f(x)满足 f(x+1)-f(x)=2x,且 f(0)=1.(1)求f(x)的解析式;m的取值范围。(2)在区间1, 1上，y=f(x)

10、的图象恒在y=2x+m的图象上方，求实数13.已知函数/(X)= -7力是常数，且砧H。) ax+h,满足了=1且方程/()= 有唯一解。(1)求丁的解析式；(2)若 X e L2 ,求函数j的值域。试卷答案15I .C2.A3.B 4.B 5.C 6.D 7.B 8.D 9.10.II . (1)方法 1:J+1) =，+ 2、万=+ 2>/x +1-1 = x + 1) -1 1 /卜)二彳 -1卜士1)方法 2令石+I之M工二(£-1) -'-，0=(£-1) +23-1)=1-1- gl)设/但二妹+b (a0),则内=/工+贴+ 1)=41+6 ,所

11、以上”1) = 61 = 2 f 白 -2解得"2口所以/1)二21+2或小)二-21-612.fix?-K*x+ 1£? Js?1 Jt -H 1 Nk+ P 疗巨 成立二 “ 三 i| I. 1m v jc 一 Mv 一1令g 天6 一事才+lJtw 11- a£P mao = 土)=1二 jh y 1z13.解：（1） ：/（X）= X 有唯一解二 x2即Qk+b有唯一解二RX +0 l）x =。有唯一解2 11 A = ®-1) =0解得 A二 1 又/(2)=1 所以 2i+l 解得 2/W =21x + 2?r4设瓦丹1,2,且网x2/二士

12、= 2-，%西一演)(4 + 2)区 + 2)（2）由（1）知 工+ 21+ 2 ,44/W-/() = 2- -2 + =%,勺e2,且网 与，：一 。再+ 2+ 2二场）-小。即/“：（林区间L2上为增函数22. /（X）mh = /。）二马, 二，二“吊鼻3J S九盘 八句1所以函数JI用的值域为3二、求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围, 最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意

13、义限制，如时间变量一般取非负数， 等等；4、对复合函数y=f g (x)的定义域的求解，应先由 y = f (u)求出u的范围，即g (x)的范围，再从中解出x的范围Ii；再由g (x)求出y= g (x)的定义域 以Ii和I2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；类型一、由函数解析式求函数定义域：由于解析式中不同的位置决定了变量不同的范围，所

14、以解题时要认真分析变量所在的位置；最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合。例3.求x -4的定义域。x 2 0解：由题意知：Ux 4 ，从而解得：x> 2且xw± 4.故所求定义域为:x|x> - 2 且 xw ± 4。例2.求下列函数的定义域：(1) f (x) = 5 x ;(2) f (x) = Jx-1 + Ji - xx -3【思路分析】【题意分析】求函数的定义域就是求自变量的取值范围，应考虑使函数解析式有意义，这里需考虑分母不为零，开偶次方被开方数为非负数。5-x 之0 x < 5【解题过程】(1 )要使函数有意义，则一 ，即3,在数轴上

15、标出，即x-3#0"±3x <T,或-3 <x <3,或3cxE5 。故函数的定义域为(-«,-3)U (-3,3) U(3,5.当然也可表示为 &x <-3,或-3 < x <3,或3 <x E51。-1 >0 一 'x 之1 . r I(2)要使函数有意义，则 ，即，,所以x = 1,从而函数的定义域为 x|x=1。J-x >0x<1【题后思考】 求函数的定义域的问题可以归纳为解不等式的问题，如果一个函数有几个限制条件时，那么定义 域为解各限制条件所得的 x的范围的交集，利用数轴可便于

16、解决问题。求函数的定义域时不应化简解析式；定义域 是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“u”连接。类型二、求分段函数的定义域：对各个区间求并集。 例4.已知函数由下表给出，求其定义域X123456Y2231435一 617解：1 , 2, 3, 4, 5, 6。类型三、求与复合函数有关的定义域：由外函数f (u)的定义域可以确定内函数 g (x)的范围，从而解得 xCl1,又由g (x)定义域可以解得 xC I2.则I1PI2即为该复合函数的定义域。也可先求出复合函数的表达式后再行求解。例8 已知 f (x) = Jx -3, g(x)=.x2

17、-4x 3，求y = f (g(x)的定义域.x _由f (x) = x -3=- x .=3= g(x) 33= : -3解：x -4x 3又由于 x24x+3>0*联立*、*两式可解得：9-3.39 3.3- x ：二 1或 3 :二 x -故所求定义域为 x |933 _ x ：二1或3 :二x _ 9 3 34 4一 一 .-12,故 log2x C 2 ，2L例9.若函数f (2x)的定义域是1, 1,求f (log2x)的定义域。解：由f (2x)的定义域是1,1可知：NYw工所以f (x)的定义域为2解得72 Mx w4 ,故定义域为 9A 1三：求函数的值域与最值求函数的

18、值域和最值的方法十分丰富，下面通过例题来探究一些常用的方法；随着高中学习的深入，我们将学 习到更多的求函数值域与最值的方法。1、分离变量法2x 3y =例11.求函数 x+1的值域。2x 32x1111 八y = = =20解：x+1x+1x+1,因为x + 1 ，故yw2,所以彳1域为y|yw2b说明：这是一个分式函数，分子、分母均含有自变量x,可通过等价变形，让变量只出现在分母中，再行求解。2、配方法例12.求函数y=2x2+4x的值域。解：y = 2x2 + 4x = 2 (x2+2x+1) 2=2 (x+1) 22* 2,故值域为y|y A 2。说明：这是一个二次函数，可通过配方的方法

19、来求得函数的值域。类似的，对于可以化为二次函数的函数的值 域也可采用此方法求解，如y=af2 (x) +bf (x) + c。3、判别式法x2 2x 3例13.求函数y = x 2x 3的值域。4x 5x 62 x 2x 3-y = , 2= o一解： 4x + 5x+6 可变形为：(4y1) x2+(5y 2) x+6y-3=0,由 A>0 可解得：；26 -6x/3 26+6V3y=,-71 71 一 o说明：对分子分母最高次数为二次的分式函数的值域求解，可以考虑采用此法。要注意两点：第一，其定义域 一般仅由函数式确定，题中条件不再另外给出；如果题中条件另外给出了定义域，那么一般情况

20、下就不能用此法求 解值域；第二，用判别式法求解函数值域的理论依据是函数的定义域为非空数集，所以将原函数变形为一个关于 的一元二次方程后，该方程的解集就是原函数的定义域，故 A >0o4、换元法例15.求函数y =2x +4 J1 -x的值域。解：令t =，1 x、° ,则 y = 2t2+4t+2= (t 1) 2+4, t>Q 故所求值域为y|yW4b例3.求下列函数的值域：(1) y =2x 1,x11,2,3,4,5) y = . x 1(3)(4)=-x-2x 3,(-5 <x < -2)1 -x2【思路分析】【题意分析】 求函数的值域问题首先必须明确

21、两点：一是值域的概念，即对于定义域 A上的函数y= f(x),其值域就是指集合 C = y y = f (x), x w A ;二是函数的定义域，对应关系是确定函数值的依据。【解题过程】(1)将x =1,2,3,4,5分别彳t入y=2x+1中计算，得出函数 的值域为 g5,7,9,11。(2) ; Jx 2 0x+121 ,即所求函数的值域为1,y)或用换元法，令t = Jx(t2 0),y = t+1(t之0)的值域为1,一)。1 -x22.(3)万法 >= y = 1十r,.函数的定义域为 Ro1 x 1 x,1 +x2 >1,.0<2-<2,/,ye(_1,1o1

22、 x21x21x.2,22,方法一 > y =7 n y+yx =1x =(1 + y)x =1 - y1 x11 - y=x2 =-y 之 0,得到 y w(1,1。1 y故所求函数的值域为(一1,1。(4)(构造法 >y = -x2 2x+3 = -(x+1)2 +4” -5 < x < -2,;. *Ex+1W1 2_2，1W(x+1) <16,a -12 <4-(x+1) W3.所以函数的值域为12,3。 【题后思考】 求函数的值域问题关键是将函数的解析式变形，通过观察或利用熟知的基本函数的值域，逐步推 出所求函数的值域，有时还需要结合函数的图象进行

23、分析。【模拟试题】(答题时间：30分钟)一.选择题1、函数y= f (x)的值域是2, 2,则函数y=f (x+1)的值域是()A. 1, 3B. 3, 1 C. 2, 2D. 1, 12、已知函数f (x) =x2 2x,则函数f (x)在区间2, 2上的最大值为()A. 2 B. 4 C. 6 D. 83、一等腰三角形的周长为20,底边长y是关于腰长x的函数，那么其解析式和定义域是(A. y = 20-2x (x< 10 B.y = 202x (x<10)C.y=202x (4Wx<10D.y = 20 2x (5<x<10)4、二次函数y = x2 4x+4

24、的定义域为A.0, 4B. 1, 45、函数y= f (x+2)的定义域是A.0, 1B. 3, 4x22C.3C.1,4,5,b (a<b),值域也是a, b,则区间a, b是(3D. 3, 4则函数y = f (x+5)的定义域是()6D. 6, 7y6、函数 3x+4x的值域是(A.-3-17 -317公_折-3 +折” B.3-173 .17、c.( - -， )447、(2007安徽)图中的图像所表示的函数的解析式是(-3-17-317D.(一二，-)-(-，二)443A.y =-x 1 (0 <x <2)23C.y = - - x -1 (0 <x <

25、2)B.)D.y = 1 x1 (0 <x <2)二.填空题8、若 f (x) = ( x+a) 3对任意f(x)-9、若函数| c/d x2的值域为I ' 3 JxC R 都有 f (1+x) = f (1 x),则 f (2) + f ( 2)=1,则其定义域为10、求函数一5 -x 3x 4y =-x 2的定义域。r 9_x -2x +1, x <2 f (x) = «-x, x >211、已知L，若f (a) = 3,求a的值。12、已知函数f (x)满足2f (x) - f ( x)=- x2+4x,试求f (x)的表达式。三、函数单调性与最

26、值(一)、函数单调性1 .增函数与减函数一般地，设函数y = f (x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量 x1，x2,当xvx2时，都有f (x1)vf (x2),那么就说 f (x)在区间D上是增函数。如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2,当xvx2时，都有f(x1)>f(x2),那么就说f (x)在区间D上是减函数。 一、/»注息：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;当x1vx2时，总有f(x1)V f(x2)或f(x1)>f (x2)。2 .函

27、数的单调性的定义如果函数y=f (x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y=f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y = f (x)的单调区间。3 .判断函数单调性的方法和步骤利用定义证明函数f (x)在给定的区间 D上的单调性的一般步骤：任取 x1，x26 D,且 xvx2；作差 f (Xi) f(X2)；变形(通常是因式分解和配方)；定号(即判断差f (Xi) f(X2)的正负)；下结论(即指出函数 f(X)在给定的区间 D上的单调性)(二)函数最大(小)值的定义1 .最大值与最小值一般地，设函数y = f (x)的定义域为I,如果存在实数 M满足：(1)对于任意的x

28、C I,都有f (x) w M；(2)存在 X°e I,使得 f(X0)= M那么，称M是函数y=f (x)的最大值。一般地，设函数y = f (x)的定义域为I,如果存在实数 M满足：(1)对于任意的xCI,都有f (x) >M;(2)存在 x°e I ,使得 f (xo) = M那么，称M是函数y=f (x)的最小值。一、/»注息：函数的最大(小)值首先应该是某一个函数值，即存在x°e I,使得f(X。)= M；函数的最大(小)值应该是所有函数值中最大(小)的，即对于任意的 XCI,都有f(X)WM (f (X) >M)o2 .利用函数的

29、单调性判断函数的最大(小)值的方法利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值利用图象(数形结合法)求函数的最大(小)值利用函数的单调性判断函数的最大(小)值如果函数y=f (x)在区间a, b上单调递增，在区间b, c上单调递减则函数 y = f (x)在x=b处有最大值f (b)；如果函数y=f (x)在区间a, b上单调递减，在区间b, c上单调递增则函数 y = f (x)在x=b处有最小值f (b)。知识点一：函数的单调性的判断1、利用定义：4例1：判断函数f(x)=x+ 在区间(0,2)上的单调性，并用定义证明。X思路分析：1)题意分析：用定义证明一个分式函数在(0,2)上的单

30、调性2)解题思路：按照用定义证明函数 f (x)在给定的区间 D上的单调性的一般步骤去做即可。4解答过程：f(x) = x + 一在区间(0,2)上单调递减。X“一4设 0 Mxi <X2 父2 ,则 f (X1 ) f (X2) = X1 十一 -X2 一 Xi_4(X2 Xi). 4 -X1X2Xi - X2 += (X2 _ Xi)oXiX2XiX2已知 0 <为 <x2 <2 ,所以 x2 -xi >0 , 4 -xix2 >0 ,单调递减。解题后的思考：用定义证明函数f (x)在给定的区间和定号(即判断差f (Xi) f(X2)的正负)。2、利用分

31、析法： X4 - 3例、试判断函数y =的单调性y x2 i4X2XiX2 >0 ,所以 f (Xi) f(X2) >0 ,即原函数在(0,2)上D上的单调性的关键在于变形(通常是因式分解和配方)知识点2:利用单调性求函数最值2x - 2x 2 公=的取值。x、1，二 f (x) 为 f 4425 ，一一 ，一，八25 。故所求函数的最小值为2525 ,无最大值。41例1：已知0 <x W ,求函数f(x)4思路分析:1)题意分析：本例要求在指定的半开半闭区间内求一个分式函数的最大(小)值；2)解题思路：先分离常数，再利用函数的单调性求函数的最值。2 1解答过程：已知函数式可

32、化为 f(x)=x + -2,先判断函数 f(x)在0cxw上的增减性。x41设 0 < x1 < x2 W ，则4f(x。-f(x2)=(xj4-2) _旧+2-2) = 一一'2)(取2-2), x1x2x1 x2c1CC C0 <x1 <x2 < -,x1 -x2 <0, xx2 -2<0。41二f (x1)-f (x2)>0 ,即函数f (x)在0 <x0 上是减函数。 4解题后的思考：函数单调性在解题中的应用，主要表现为通过建立函数关系式或构造辅助函数式，把原问题转 化为对函数单调性的讨论的问题，以达到化难为易、化繁为简的

33、目的。2 一例2.求函数y =+3 , xe 4, 5的值域。_2 35 13解：由于函数y x为增函数，故当x=4时，ymin= 5 ；当x= 5时，ymax= 13 ,所以函数的值域为2 5。25知识点三：函数单调性求解不等式例1、已知函数/m在(一叫+此上减函数，若例2、已知函数/在(一电+r)上增函数，若一 1f() > f(1),求1的取值范围x2、f (x ) > f (2 x + 3),求工的取值范围例3、已知函数f(x)是增函数，定义域为(0,+8),且f(4A 2 f (xy)= f(x) + f (y),求满足 f(x)十f(x 3空白2 x的取值范围。思路分析

34、：1)题意分析：本例给出了单调性、定义域、运算法则和一个点，求函数自变量的取值范围。2)解题思路：利用运算法则把问题化归成已知单调性和函数值的大小，求自变量的大小的问题，此过程中要注意定义域的限制作用，即如果 f (x)+ f(x-3)= f Ix(x-3)L则必须x>0, x-3>0,且x(x 3)a0。x >0,解答过程：由题意，得X3>0'x(x -3) 0,f(x) + f(x3)= fx(x -3)< 2,解得 3<x0 4。所以x的取值范围是3<x< 4o解题后的思考： 容易忽视函数白定义域为 (0,+8)这一隐含条件。函数单

35、调性课后作业1. (5分)下列函数中，是偶函数且在区间(0, +8)上单调递增的是()A. y=ln|x| B. y=x|x|C. y=-x 2D.y=10 |x|2. (5分)函数f (x) =Y J的单调递增区间为()A.B.C.D.3.（5分）奇函数f （x）在区间上单调递减，且 f(x) >0, (0vavb),那么 |f (x)|在区间上是（）A.单调递增不增也不减4.知函数（一见+此上减函数的取值范围是A.(0J)C. (-RO)UQ+3)D.(-电 0)5.设函数是N上的减函数，则有1 a>- A.nW2C.2D.a<-26.函数 f(x)=x2-4x+5在区间

36、0,m上的最大值为5,最小值为1,则m的取值范围是（A .小0,2D. 2,47.函数一的单调减区间是D.（一叫 T8.已知函数-1工，则了 = /（xT）+ 1的单调递减区间为（A、0, 1)B、（-巴 0）C、口|汴1D、(-00, 1)和(1, +OO)二、填空题9. （4分）函数f（x） =2x2+3x - 1的单调递增区间为1。（ 5分）用maxa, b表示a, b两数中的最大值,若f（x）=max|x| ,|x+2|，则f（x）的最小值为11 .若函数7二工'+2仅一1 + 2,在（-吗4上是减函数，则d的取值范围是三、解答题12 .本本小题满分14分）一次函数是K上的增函

37、数，g=/（玳工+间，已知AT=16升 5.(1)求了;（2）若且打）在（1*°）单调递增，求实数切的取值范围;（3）当, 小L3时，妙）有最大值13,求实数册的值.1/w=13 . （12分）已知函数大十 £ 判断函数 /的单调性，并证明; 求函数了。二）的最大值和最小值.试卷答案1.D 2.D 3.A 4.C 5.D9 略 10.111.公-3 /(x) = 4x + l； 12.6.D 7.D8.D加=2或m10T42详见解析I/tom或=/(5)=弓= 1 13.四、奇偶性知识要点1、奇偶函数定义：(1)偶函数一般地，对于函数f (x)的定义域内白任意一个 X,者B

38、有f ( x) =f (x),那么f (x)就叫做偶函数.(2)奇函数一般地，对于函数f (x)的定义域内白任意一个 x,都有f ( x) = f (x),那么f (x)就叫做奇函数.注息：函数是奇函数或偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；奇偶函数的定义域的特征：关于原点对称。由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)奇函数若在x =0时有定义，则f(0) = 02、根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。3、具有奇偶性的函数的图象的特征偶

39、函数的图象关于 y轴对称；奇函数的图象关于原点对称.说明：一般地，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。偶函数的图象关于 y轴对称，反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数。4、判断函数奇偶性的格式步骤：首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；确定f ( x)与f (x)的关系；作出相应结论：若 f ( x) = f (x)或 f ( x) f (x) = 0,则 f (x)是偶函数；若 f (x) = f (x)或 f (x) +f (x) = 0,则 f (x)是奇函数.5、判断函数的奇偶性也可以用下列性质

40、在公共定义域内，(1)两个奇函数的和为奇函数；两个奇函数的积为偶函数.(2)两个偶函数的和为偶函数；两个偶函数的积为偶函数.(3) 一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.1(4)函数f (x)与f (x )同奇或同偶.【典型例题】一、判断函数的奇偶性例1、判断函数的奇偶性时易犯的错误(1)因忽视定义域的特征致错x x -1f x201、x-1 ;f (x) =x2+ (x+1) 0x x -1f x = = x错解：x -1, . f (x)是奇函数: f ( x) = (x) 2+ (x+1) 0=x2+ (x+1) 0=f (x)f (x)是偶函数.分析：一个函数是奇函数或偶函数的必要条件是

41、定义域关于原点对称.正解：定义域(8, 1) U ( 1, +8)关于原点不对称，f (x)是非奇非偶函数.定义域(8, 1) U ( 1, +8), f (x)为非奇非偶函数.(2)因缺乏变形意识或方法致错.112、判断 错解:f x =- 5x 12的奇偶性.5x1W0,xw0.f (x)的定义域为(一8,0) U ( 0, +8),关于原点对称.f -x =15x -15x21 -5xf ( x) W f (x) , f ( x) W - f (x),f (x)是非奇非偶函数.分析：因演变过程不到位导致错误，所以要注意进行恒等变形.f 115x 1f x 二-二x正解：5-122(5-1

42、 ),定义域为(8,0)U (0,+8)关于原点对称.5x 125x -1=-f x工5011 5xx "25" -1 - 21 -5x. f (x)是奇函数.(3)因忽视f (x) =0致错.3、判断函数f(x)=dx2 4+«'4-X2的奇偶性.X2 -4 >0=2错解：由l4x至0得x=±2,f (x)的定义域为2, 2,关于原点对称.f (-x )=d(-x 2 -4 +q4 -(-x 2 = x2 -4 +%；4-x2 = f (x)1- f (x)为偶函数正解：f (x)的定义域为 2, 2,此时，f (x) =0, f (x)

43、既是奇函数又是偶函数.点评：函数f (x) =0 (xw 0)是f (x)既是奇函数又是偶函数的一个必要条件，任何一个关于原点对称的 区间都可以作为解析式为 f (x) =0 (xw0)函数的定义域.(4)因分段函数意义不清致错二、函数的奇偶性与单调性的关系例3、已知：函数y = f (x)在R上是奇函数，而且在(0，十"上是增函数,证明：y = f(x)在(吗。)上也是增函数。证明：设x1 <x2 <0,则一x1 >-x2 >0/ f(x)在(0, )上是增函数。. f(-x1) >f (-x2) ,又 f(x)在 R上是奇函数。 f (x)>

44、-f (x2),即 f (x)< f (x2)所以，y = f(x)在(一为上也是增函数。规律：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致.2例4、f (x)为R上的奇函数，当XA0时，f (x) =-2x +3x+1 ,当x<0时，求f (x)解：设x<0,由于f(x)是奇函数，故f(x) = f(x),22又-x>0,由已知有 f(x)=2(x) +3(-x)+1 = -2x -3x+1r _ 2 一 .一2x +3x+1 x > 0从而解析式为f (x) = 02x2 +3x1x= 0x:02f(x) f (-) =x例5

45、、(1)已知f(x)的定义域为x|x#0,且' ''x ，试判断f(x)的奇偶性。(2)函数f (x)的定义域为 R,且对于一切实数 x, y都有f (x + y) = f (x) + f ( y),试判断f (x)的奇偶性。、，1、2f (x) f ( ) = x解：(1)f(x)的定义域为x|x#0，且 ' ''x，令式中x为x得: 112f ( ) f(x)二.、2x2-1f (x) -解得3x ,定义域为x | x * 0关于原点对称g)/"1又3( -x)3x =f(x)f(x)=21 3x是奇函数。(2)二.定义域关于原点对

46、称，又.令 x = y=0得"0) = "0)十"0)则 f(0) =0,再令 y = -x 得 f (0) = f (x) + f (x), f (-x) =-f(x)所以，原函数为奇函数。【奇偶性模拟试题】(答题时间：50分钟)、选择题1、已知定义在 R上的奇函数f (x)满足f (x+2) =f (x),则，f (6)的值为 ()A. - 1B. 0C. 1D. 22、若奇函数f (x)在3, 7上是增函数且最小值为 5,那么f (x)在7, 3上是()A.增函数且最小值为5 B.增函数且最大值为5C.减函数且最小值为-5 D.减函数且最大值为-53、y=f

47、 (x)是定义在R上的偶函数，则下列坐标所表示的点在y=f (x)的图象上的是()A.(a, -f (a)B.( a,f (a)C.(a, f (a)D.(a, f (a)4、已知y=f (x)是奇函数，当 x>0时，f (x) = x (1 + x),当x<0时，f (x)等于A. - x (1x) B. x (1x) C. - x (1+x)D. x (1 + x)*5、函数y=f (x)与y=g (x)的图象如图所示，则函数 y=f (x) g (x)的图象可能为()A、C、0DCB、是奇函数;*6、设f(x)是R上的任意函数，下列叙述正确的是(f (x) f (-x)是奇函

48、数；f (x) +f (-x)是偶函数;f(x) f(-x)D、f (x) - f ( -x)是偶函数二、填空题f x - x 1 x a7、设函数x为奇函数，则实数 a =yC R),且 f (0) W0,那么 f (x)*8、已知函数 y=f(x)满足 f(x+y)+f(xy) =2f(x)f(y)(xCR是 函数(填奇、偶).53*9、已知函数 f(x) = x +ax +bx8,若 f(2)=10,则 f (2)的值为三、解答题10、已知f(x)是奇函数，且当 x>0时，f (x) = x2+2x+3 ,求当x<0时f (x)的解析式。11、已知：函数y =f (x)在r上

49、是奇函数，而且在(0, 十至)上是增函数,证明：y = f(x)在(°0,0)上也是增函数。a af x = x (x = 0,a R)12、已知函数x；(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)若f(x)在区间2，")上是增函数，求实数 a的取值范围。、选择题：1、B 解：根据题目所给的条件：f (x+2) = f(x);f(6)=-f(4)=f (2) = f(0)又 f (x)是奇函数，因此 f (0) = f (0), f (0) =0 ,因此 f (6) = f (0) =02、B3、B 解：当 x= a 时，f (a)=f(a)(= y=f(x)为偶函数)，点(一a

50、, f(a)在 y=f (x)的图象上.，选(B).4、B 解：当 x<0 时，f (x) = f (x) = (x) (1 x) =x (1 x).，选(B).5、A 6、C 解：A 中：F(x) = f(x)f(x)则 F(x)= f(x)f(x) = F(x),即函数 F(x)= f(x)f (x) 为偶函数；B中：F(x)= f(x)f (-x),F(x) = f(x)f(x),此时F(x)与F(x)的关系不能确定，即函数F(x)= f(x)f(一X)的奇偶性不确定；D 中：F(x) = f(x)-f(-x), F(x)=f(x) f(x) = F(x),即函数 F(x)= f(

51、x) f(x)为奇函数；C 中 F(x) = f(x)+ f(x) , F(x)= f(x)+f(x) = F(x),即函数 F (x) = f (x) + f ( x)为偶函数，故选择答案 C二、填空题7、 18、偶9、 26三、解答题10、证明：设K <X2 <0,则-Xi >-X2 >0 / f(x)在(0,收)上是增函数。f(-x1)> f(-x2),又 f(x)在 R上是奇函数。 f (Xi) > -f (X2),即 f (Xi) < f (X2)所以，y = f(x)在(°0,0)上也是增函数。11、解：设xc0,由于f(x)是奇

52、函数，故f(x) = -f(x),22又x>0,由已知有 f(x)=2(x) +3(x)+1 = 2x -3x+1 _ 2-x 0x= 0x: 0-2x 3x1从而解析式为2x2 3x -1f (x) = < 012、解：(1)当a=0时，f(x)=x2为偶函数；当a#0时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数 设 x2 >Xi 22 ,2 a 2 a Xi - x 2”f Xi- fX2=Xi- -X2- - =XiX2XiX2-alx1x2x1x2由X2 >Xi>2得XiX2(Xi+X2)>16 ,Xi-X2<0,XiX2>0 .要使f(x)在区间b产)上是增函数只需f 仅1 )f 仅2 )<0,即 XiX2(Xi +X2 )a A0恒成立，则 a16函数的性质综合练习一、选择题2_21 .已知函数f(x)=(m1)x +(m2)x+(m 7m+12)为偶函数，则 m的值是()A. 1B. 2C. 3D. 42 .若偶函数f (x)在(-吗-11上是增函数，则下列关系式中成立的是()3 3A. f (-) < f(-1) : f(2)B. f(-1) < f(-