中考数学二次函数动点问题(word文档良心出品)

1、中考数学二次函数动点问题模式1:平行四边形分类标准：讨论对角线例如：请在抛物线上找一点p使得A、B、C、P四点构成平行四边形，则可分成以下几种情况(1)当边AB是对角线时，那么有 AP/BC(2)当边AC是对角线时，那么有 AB/CP(3)当边BC是对角线时，那么有 AC / BP例题1：(山东省阳谷县育才中学模拟10)本题满分14分)在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 A(-4 , 0) , B(0, -4) , C(2 , 0)三点.(1)求抛物线的解析式；(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为mq 4AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式，并求出 S的最大值；(3)若点

2、P是抛物线上的动点，点 Q是直线y=x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q B、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标.练习：如图1,抛物线y = x2+2x+3与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与 y轴相交于点C,顶点为D.(1)直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；(2)连结BC,与抛物线的对称轴交于点E,点P为线段BC上的一个动点，过点 P作PF/DE交抛物线于点F,设点P的横坐标为 m.用含m的代数式表示线段 PF的长，并求出当 m为何值时，四边形 PEDF为平行四边形？设4BCF的面积为S,求S与m的函数关系.模式2:梯形分类标准：讨论上下底例如：

3、请在抛物线上找一点 p使得A、B、C、P四点构成梯形，则可分成以下几种情况(1)当边AB是底时，那么有 AB/PC(2)当边AC是底时，那么有 AC/BP(3)当边BC是底时，那么有 BC/AP例题2：已知，矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图1所示，点A的坐标为(4,0),点C的2坐标为(0, 2),直线y = x与边bc相交于点D.3求点D的坐标；(2)抛物线y=ax2+bx+c经过点A、D、O,求此抛物线的表达式；(3)在这个抛物线上是否存在点M,使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点 M的坐标；若不存在，请说明理由.练习：已知二次函数的图象经过 A (2

4、, 0)、C(0, 12)两点，且对称轴为直线 x= 4,设顶点 为点P,与x轴的另一交点为点 B.(1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标；(2)如图1,在直线y=2x上是否存在点 D,使四边形 OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2,点M是线段OP上的一个动点(O、P两点除外)，以每秒 V2个单位长度的速 度由点P向点 O运动，过点 M作直线 MN/x轴，交PB于点N. WAPMN沿直线 MN对 折，得到PiMN.在动点M的运动过程中，设 PiMN与梯形OMNB的重叠部分的面积为 S,运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式.24 / 21小¥

5、小y模式3:直角三角形分类标准：讨论直角的位置或者斜边的位置例如：请在抛物线上找一点p使得A、B、P三点构成直角三角形，则可分成以下几种情况(1)当/A为直角时，AC _L AB(2)当/B为直角时，BC_LBA(3)当NC为直角时，CA1CB例题3:如图1,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于 A、B两点(点A在点B左侧)，与y 轴交于点0(0, 3),对称轴是直线x=1,直线BC与抛物线的对称轴交于点 D.(1)求抛物线的函数表达式；(2)求直线BC的函数表达式；(3)点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交 CE于点F,交抛物线于 P、Q两点，且点P 在第三象限.当线段PQ=3AB时，求

6、tan/CED的值；4当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标.个Y-2, 0) .C运动，M运若不存在4练习：如图1,直线y = x+4和x轴、y轴的交点分别为 B、C,点A的坐标是( 3(1)试说明 ABC是等腰三角形；(2)动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点 N从点B出发沿线段BC向点运动的速度均为每秒 1个单位长度.当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动.设动t秒时，AMON的面积为S.求S与t的函数关系式； 设点M在线段OB上运动时，是否存在 S= 4的情形？若存在，求出对应的t值;请说明理由；在运动过程中，当 AMON为直角三角形时，求t的值.模式4

7、:等腰三角形分类标准：讨论顶角的位置或者底边的位置例如：请在抛物线上找一点 p使得A、B、P三点构成等腰三角形，则可分成以下几种情况(1)当NA为顶角时，AC=AB(2)当/B为顶角时，BC=BA(3)当/C为顶角时，CA = CB例题4:已知：如图1,在平面直角坐标系 xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上， OA=2, OC=3,过原点 O作/ AOC的平分线交 AB于点D,连接DC,过点D作DELDC,交OA于点E.(1)求过点E、D、C的抛物线的解析式；(2)将/ EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点 F,另一边与线段OC交于点G.

8、如果DF与(1)中的抛物线交于另一点 M,点M的横坐标为-,那么EF5= 2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(3)对于(2)中的点 G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q,使得直线 GQ与AB的交点P与点C、G构成的4PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在成立，请说明理由.练习：(2012江汉市中考模拟)已知抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)经过点B(12, 0)和C(0, 6),对称轴为x=2.(1)求该抛物线的解析式.(2)点D在线段AB上且AD=AC,若动点P从A出发沿线段 AB以每秒1个单位长度的速度 匀速运动，同时另一个动点Q以

9、某一速度从 C出发沿线段 CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t(秒)和点Q的运动速度；若存在，请说明理由.(3)在(2)的结论下，直线 x=1上是否存在点 M,使 MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由.模式5：相似三角形突破口：寻找比例关系以及特殊角 例题5:(据荆州资料第 58页第2题改编)在梯形ABCD43, AD/ BC, BA! AG / B = 45 0, AD=2 , BC = 6 ,以BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点A在y轴上。(1) 求过A、0 C三点的抛物线的解析式。(

10、2) 求4ADC的外接圆的圆心 M的坐标，并求。M的半径。(3) E为抛物线对称轴上一点，F为y轴上一点，求当 ED+ EC+ FD+ FC最小时，EF的长。(4) 设Q为射线CB上任意一点，点 P为对称轴左侧抛物线上任意一点，问是否存在这样的点P、Q使彳导以P、Q C为顶点的与 ADC相似？若存在，直接写出点 P、Q的坐标，若不存在，则说明理由。模拟题汇编之动点折叠问题1 . (2012深圳模拟)(本题 12分)已知二次函数 y = x2+bx+c与x轴交于A(1, 0)、B (1, 0)两点.(1)求这个二次函数的关系式；(2)若有一半径为的。巳 且圆心P在抛物线上运动，当。 P与两坐标轴

11、都相切时，求半径 r的值.(3)半径为1的。P在抛物线上，当点 P的纵坐标在什么范围内取值时，OP与y轴相离、相交？2 .如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y = x2 + bx+c的图象与x轴交于 A B两点，A点 在原点的左侧，B点的坐标为(3, 0),与y轴交于C (0,-3)点，点P是直线BC下方的抛 物线上一动点.(1)分别求出图中直线和抛物线的函数表达式；(2)连结PO PG并把 POC& C O翻折，得到四边形 POP C,那么是否存在点 P,使四边 形POP C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由 .将B、C两点的坐标代入得:所以二次函数的表达式

12、为:(2)存在点P,使四边形PP ,交CO于E.若四边形解：将B、C两点的坐标代1,解得:3b +c = 0c = -3y = x2 -2x -3 .b = -2c - -3POP C为菱形.设P点坐标为(xPOP，C是菱形，则有 PC=PO.x22x-3),5分连结 PP，则 PECO 于 E, . OE=EC =怖y = -3.-. x2 -2x -3= _3 6 分22解得x1 = 2 . '10 , x2 = 2 - 10 (不合题意，舍去)22.P点的坐标为(2 + '10 , J) . 9分223. (2012江西模拟)已知抛物线 y = x2+3x + 4交y轴于

13、点A,交x轴于点B,C (点B在点P,过点PC的右侧).过点A作垂直于y轴的直线1.在位于直线l下方的抛物线上任取一点作直线PQ平行于y轴交直线1于点Q.连接AP.(1)写出A, B, C三点的坐标;(2)若点P位于抛物线的对称轴的右侧:相似，求出点P的坐标;如果以A, P, Q三点构成的三角形与 AOC若将 APQ沿AP对折，点Q的对应点为点M.是否存在点 P,使得点 M落在x轴上.若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由B=90°, AD = 1, AB=3, BC = 44. (2012安庆模拟)在直角梯形ABCD中，ZM、N分别是底边BC和腰CD上的两个动点，当点M在BC

14、上运动时，始终保持 AM ±MN>NPXBC.(1)证明： CNP为等腰直角三角形;x的值;(2)设 NP = x,当ABM0MPN 时，求(3)设四边形 ABPN的面积为y,求y与x之间的函数关系式，并指出x取何值时，四边形ABPN的面积最大，最大面积是多少.解：(1)过D作DQBC于Q,则四边形 ABQD为平行四边形 DQ=AB= 3, BQ=AD= 1.QC=DQ DQC 中/C=/QDC=45°.RtNPC 为等腰 RtA(4分) VABM 且 VMPNMP=AB= 3, BM=NP.NPC为等腰RtA11. PC=NP= x. . BM=BC MP PC=

15、1 x. . 1- x= x. . x=2_i 1.当 VABM VMPN 时，x =-(吩)2“、c1112111八(3)S 四边形 ABPN = (AB+NP)BP= (3+x)(4 x)= x +x+6= ( x-)+6.125(11分)222222当x取1时，四边形ABPN面积最大，最大面积为 6.125. (14分)25. （2012宝应模拟）在直角坐标系中，。为坐标原点，点 A的坐标为（2, 2）,点C是线段OA上的一个动点（不运动至 Q A两点），过点 C作CD±x轴，垂足为D,以CD为边在右侧作正方形CDEF.连接AF并延长交x轴的正半轴于点 B,连接OF,设。氏t.

16、 求tan / FOB的值；用含t的代数式表示 OABW面积S;是否存在点 C,使以B, E, F为顶点的三角形与 OFE相似，若存在，请求出所有满足要求的B点的坐标；若不存在，请说明理由.(1)作AHL x轴于H,交CF于P A(2,2) AH=OH=2 ，/ AOB=45t 1 . CD=OD=DE=EF= tan/FOB= = 一2t 2(2) CF/ OB ACM AOBAP CF 2 -t t=一 即=一AH OB2 OBC1 S OAB - - OB AH =2t2 -t（0 :二 t :二 2）（3）要使 BEF与 OFE相似， / FEO4 FEB=90°，只要OE

17、EFOE EFEB EF EF EB 1即：BE =2t 或 EB =t2当 BE =2t 时，BO=4t,2t一一.上t-=4t，t=0(舍去)或 t2 -tB（6,0）1当EB =t时,2(i )当B在E的右侧时，OB =OE + EB-2-=5tt = 0（舍去）或t =6b（3,0）2 -t 2510分 3(ii)当B在E的左侧时，如图，OB=OEEB = t,22t 3一 ，2=-t " = 0（舍去）或1=一 B（1,0）2 -t 2312分6. (2012广东预测)(本小题满分 12分)如图，抛物线的顶点坐标是2A(8,14).(1)求该抛物线的解析式；(2)设该抛物线

18、与y轴相交于点B ,与x轴相交于C、D两点(点C在点D的左边)，试求点B、C、D的坐标；(3)设点P是x轴上的任意一点，分别连结 AC、BC .试判断：PA + PB与AC + BC的大小关系，并说明理由.解：(1) (4分)设抛物线白解析式为 y = a1分抛物线经过 A(8,14),214= a 8 - i12J9 一,解得:825) x -29-1 25-(或 y = x x + 2 )822(2) (4 分)令 x = 0得 y =2,B(0,2)“-1 25_令 丫=0得一乂 一一x+2 = 0,解得 x1 = 1、x2 = 4 22(3) (4分)结论：PA + PB2AC+BC理

19、由是：当点 P与点C重合时，有PA + PB = AC+BC当点P异于点C时，直线AC经过点A(8,14)、C(1,0) , 直线AC的解析式为y = 2x 2设直线AC与y轴相交于点E,令x=0,得y = 2, E(0,-2),则点E(0,2)与B(0,2)关于x轴对称BC = EC ,连结 PE ,则 PE = PB ,AC +BC = AC +EC = AE , .在 AAPE 中，有 PA + PE > AEPA PB = PA PE AE = AC BC综上所得AP + BP之AC + BC 1分7.如图，已知二次函数 y= x2 + bx+c的图象经过 A(-2, 1), B

20、(0,7)两点.(1)求该抛物线的解析式及对称轴；(2)当x为何值时，y> 0?),过点(3)在x轴上方作平行于 x轴的直线1,与抛物线交于 C、D两点(点C在对称轴的左侧C、D作x轴的垂线，垂足分别为 F、E.当矩形CDEF为正方形时，求 C点的坐标.解：解：把A(2, 1), B(0,7)两点的坐标代入y= x2+ bx+ c,得一4一2b+c= - 1c= 7b = 2,解得,c= 7所以，该抛物线的解析式为y=-x2+2x+ 7,又因为y=-x2 + 2x+7=- (x-1)2+8,所以对称轴为直线x= 1.(2)当函数值y=0时，-x2 + 2x+7=0 的解为 x=1

21、7;2 2,结合图象，容易知道 1 2 42vx<1+2避时，y>0.(3)当矩形CDEF为正方形时，设 C点的坐标为(m, n), 则 n = m2 + 2m+ 7,即 CF = m2 + 2m + 7.因为C、D两点的纵坐标相等，所以C、D两点关于对称轴x= 1对称，设点D的横坐标为p,则1 m=p1,所以 p= 2 m,所以 CD= (2 m)m= 2 2m.因为 CD=CF,所以 22m=m2+2m+7,整理，得m24m5=0,解得m=1或5.因为点C在对称轴的左侧，所以 m只能取一1.当m = 1时，n=- m2 + 2m + 7=- (-1)2+2X(-1)+7= 4.

22、于是，点C的坐标为(-1,4).8.如图，在 ABC 中，已知 AB = BC = CA = 4cm, ADBC 于 D,点 P、 同时出发，其中点 P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点Q沿CA、 速度为2cm/s,设它们运动的时间为 x(s)。 求x为何值时，PQXAC; 设4PQD的面积为y(cm2),当0vxv2时，求y与x的函数关系式； 当0vxv2时，求证：AD平分 PQD的面积；(4)探索以PQ为直径的圆与 AC的位置关系，请写出相应位置关系的xQ分别从B、C两点AB向终点B运动，的取值范围(不要求写出过程)。解：当 Q在AB上时，显然 PQ不垂直于AC。当Q在AC上时，由题

23、意得： BP = x, CQ=2x, PC= 4-x,.-.AB =BC = CA=4, Z 0=60°,若 PQAC,则有/ QPC=30°, . PC=2CQ4 . 4 x= 2X 2x, . x=- 5， 当 x=4 (Q 在 AC 上)时，PQXAC ; 5当0vxv2时，P在BD上，Q在AC上，过点Q作QH，BC于H , . /C=60°, QC = 2x,QH = QCXsin60°=73x1,. AB=AC, AD ± BC,. BD = CD= BC = 2DP = 2 x, 1- y= 2 PD QH =2 (2 -x) -小

24、x= x2 + >/3x 当 0vxv2 时，在 RtQHC 中，QC=2x, /C= 600,.HC = x, BP= HC,. BD = CD, .1. DP = DH, . AD ±BC, QHXBC, . AD/QH , .OP = OQSapdo= Sadqo , .AD平分 PQD的面积；(4)显然，不存在x的值，使得以PQ为直径的圆与 AC相离当x=4或詈时，以PQ为直径的圆与 AC相切。 5 5当0W x<5或gv xv 15'或156vxW4时，以PQ为直径的圆与 AC相交。9.已知抛物线y =-x2+2(k1)x+k+2与x轴交于A、B两点，且

25、点 A在x轴的负半轴 上，点B在x轴的正半轴上.(1)求实数k的取值范围；(2)设OA、OB的长分别为a、b,且a ： b=1 ： 5,求抛物线的解析式；(3)在(2)的条件下，以 AB为直径的。D与y轴的正半轴交于 P点，过P点作。D的切线交x轴于E点，求点E的坐标。解：(1)设点 A ( x1, 0) , B ( X2 , 0)且满足 X1 v 0< x2由题意可知 为 = -(k +2 )c0 ,即k > 2(2) . a : b = i ： 5,设 OA = a,即xi = a，则 OB = 5a,即 x2 =5a , a > 0x1 + x2 = -a + 5a =

26、 4a 2k -1 )= 4a <x1又2 = a 5a 5a即 一(k + 2 )= -5a32彳 a2 =k =2a+1 ,即 5a -2a-3 =0 ,解得 ai =1 ,5(舍去)k = 3.抛物线的解析式为y = _x +4x+52(3)由(2)可知，当x +4x +5 = 0时，可得 X = -1 , x2 =5即 A ( 1, 0) , B (5, 0)，AB = 6,则点 D 的坐标为(2, 0)当PE是O D的切线时，PEXPD2由 RHDPOsRk DEP 可得 PD =OD DE_2即3 =2 DEDEE的坐标为(0)10.如图，抛物线y=ax2+c (a>0

27、)经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中 A ( 2,0) , B ( 1, 3)(1)求抛物线的解析式;(2)点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标;(3)在第(2)问的结论下，抛物线上的点P使S fad=4Szxabm成立，求点P的坐标.解：(1)、因为点A、B均在抛物线上，故点 A、B的坐标适合抛物线方程4a c = 0a c - -3L解之得:a =1* ,c 二 一4y = x2 -4为所求OM=OA=OD= 2 /AMB=90(2)如图2,连接BD,交y轴于点M,则点M就是所求作的点2kb = 0 k =1设BD的解析式为y =

28、kx+b,则有/，1,-k b = -3b = -2故BD的解析式为y = x - 2 ；令x = 0，则y = -2 ,故M (0, -2)8分(3)、如图3,连接AM, BC交y轴于点N,由(2)知,易知 BN=MN= 1, 易求 AM =2%，2 BM = J2S ABM =1父2豉父&=2;设 P(x,x2-4), 2 11r 2t11r 2依题意有：一Ad x2 4 =4父2,即：一£4x24=4父2 22解之得：x = ±2j2, x=0,故 符合条件的P点有三个：P(26,4),B(2屹4)尸3(0, Y)12分11.如图，在平面直角坐标系中，。是坐标原点，点 A的坐标是(-4, 0),点B的坐标是(0, b) (b>0) . P是直线AB上的一个动点，作 PCLx轴，垂足