微专题导数与单调性

1、微专题导数与函数的单调性内容回顾1 .在(a, b)内可导函数f(x),求函数f(x)的单调增区间，则需解不等式f (x) 0.求函数f(x)的单调减区间，则需解不等式f (x) 02 .函数f(x)在区间(a,b)单调递增，则 f (x)>0若函数在区间(a,b)单调递递减，则 f (x)<0.3 .f(x)为增函数的充要条件是对任意的xC(a, b)都有f' (x)>0且在(a, b)内的任一非空子区间上f' (x)w0.f (x)在区间I上有极值，则可等价转化为方程应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.4 .函数f (x)(非常量函数)在区间 I上不

2、单调等价于f (x) 0在区间I上有实根且为非二重根。典型例题考点一判断或证明函数的单调性题型一求函数的单调区间)D. (0, +8)= x=xT x+1 ,令 v' <0,则可得 0x<1. x x1,函数y= 2x2- ln x的单调递减区间为()A. (1,1) B. (0,1)C. 1 ,解析：选B 函数y= 11x2 ln x的定义域为(0, +°°), y题型二分类讨论求单调区间(1)求导后分式的分子为二次函数可分解因式的含参问题122.已知函数f (x)- ax (1 a)x In x,(a R).求函数f(x)的单调区|可；解：(I )

3、f(x)的定义域为(0,),f (x)的导数为 f (x) ax 1 a -"(ax1(x,xx当a 0时，f (x)人，f(x)的单减区间为(0,1),单调递增区间为(1,) x当a 0时，一一.1.一一1 .一1当 a(0,1)时，11.由 f(x) 0,得x或x1. f (x) 0,得 1x-aaa11f(x)的单调递减区间为(0,1), (1),单增区间为(1,-).aa当a 1时，包有f (x) 0 ,f (x)单调递减.f(x)的单调递减区间为(0,)；,.11. 1当a (1,)时，一1,由 f(x) 0,行 x 1 或x . f (x) 0 ,得一x 1 aaaf(x

4、)的单调递减区间为(0,1), (1,),单增区间为(1,1).aa当a 0时，1 0, f(x)的单调递减区间为(0,1),单增区间为(1,). a综上，当a 0时，f(x)的单调递减区间为(0,1),单增区间为(1,).当a (0,1)时，f(x)的单调递减区间为(0,1),(1,)，单增区间为(1). aa当a 1时，f(x)的单调递减区间为(0,)；当a (1,)时，f(x)的单调递减区间为(0,1), (1,)，单增区间为(,1). aa(2)求导后分式的分子为二次函数不能分解因式含参问题2x3 .(2014图考湖南卷)已知吊数a>0,函数f(x)= ln(1 + ax)-讨论

5、f(x)在区间(0, +°° )上的单倜性.x+ 2的a2x+22x ax2+4a 1斛:f =胃-xr?=1 + ax x+ 2 2.(*)当a>1时，f' (x)>0.此时，f(x)在区间(0, +8)上单调递增.当 0vav1 时，由 f 8=0得*1 = 2<1(x2=2丹且舍去).当 xC(0, x1)时,r (x)<0；当 xC (x1, + 8)时,y (x)>0.故f(x)在区间(0, x1)上单调递减，在区间(x1, + 8)上单调递增.综上所述，当a>1时，f(x)在区间(0, +8)上单调递增；当0vav1时

6、，f(x)在区间(0,29)上单调递减，在区间(29,)上单调递增.(3)求导后是非二次型的含参问题4 .(2016北京西城模拟)已知函数f(x)=ln(ex+1)-ax(a>0).(1)若函数y= f(x)的导函数是奇函数，求 a的值；(2)求函数y=f(x)的单调区间. x解(1)函数f(x)的定义域为R.由已知得f' (x)=£7a；函数y=f(x)的导函数是奇函数, ex+1e xex. 一 1 f ( x) = f (x),即-xq 厂 a= yy+a,解得 a = -. e 1e 十 2ex1(2)由(1)f' (M'exea=1 e1当a&

7、gt;1时，f' (x)<0恒成立，aC1, + 8)时，函数y= f(x)在R上单调递减.当 0vav 1 时，由 f' (x)>0得(1 a)(ex+ 1)>1,即 ex>- 1+,解得 x>lna-,1 - a1 - a当 0vav1 时，由 f (x)<0 得(1 a)(ex+ 1)v1,即 exv 1+，解得 xv lna-1- a1-aaa 、aC(0,1)时，函数y=f(x)在(ln,)上单倜递增，在(，ln )上单调递减.1 a1 a题型三已知函数的单调区间求参数的范围11 一5.已知函数f(x) = p2+2axln x,若

8、f(x)在区间-,2上是增函数，则实数 a的取值范围为 431. 11 . 1 一解析：f (x) = x+ 2a-> 0在-,2上恒成立，即2aRx+在,2上恒成立, x 3x 31、88 r-4( x -)max=-, . 2a>-,即 a>- x333一 4答案:4,)3题型四构造函数在区间的单调性求参数的范围6 已知函数 f(x)= (a 1)x+ aln(x 2), (a<1).(1)讨论函数f(x)的单调性；设a<0时，对任意x1、近(2, +8),及胃三詈<一4恒成立，求a的取值范围.解：(1) .f，x)=(a-1) +a(a 1)x a +

9、 2x- 2x- 2(aT"套) ,a 1(1 分)a<0 时，f'x) =x 29a-2a- 12 = -a-<0,0<a_2 <2,，x>2 时，f x)<0，f(x)在(2, + 8 止递减.(3 分)a 1a 1 a=0时，f(x)=x,在(2, + 8止递减.0<a<1 时，三>2，xC(2, a212)时，f'x)>0, f(x)在(2,三)上递增； a 1a 1a 1当xC(a2, + 8时，F x)<0, f(x)在(a2, +8止递减；.综上所述，当aW0时，f(x)在(2, +8止递

10、减,a 1a 1当0<a<1时，f(x)在(2, a2)上递增，在(a2, + 8比递减. a1a-1(2)当a<0时，f(x)在(2 , + 8止递减；不妨设任意 x1, x2 (2, + 8月x1<x2f(x1) f(x2)、< 4 可变为 f(x1) f(x2)> 4(x1 x2)x1 x2 f(x) +4x>f(x2) +4x2,令 g(x)= f(x) +4x, . g(x)在(2, + 8止递减.g'x)<0 在(2, +8 止恒成立，a-1+a-+4<0 在(2, + 8 止恒成立.x 2a< 3 + 在(2,

11、+ 8止恒成立而3< 3+ <0,aw - 3 x 1x 1题型五函数在某区间上不单调，求参数的范围7.已知函数 f(x)=aln x- ax-3(a R).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数y=f(x)的图象在点(2, f(2)处的切线的倾斜角为45°,对于任意的tC1,2,函数g(x)=x3 + x2 f (x)在区间(t,3)上总不是单调函数，求 m的取值范围.2a 1 x解：(1)函数f(x)的定义域为(0, +8),且F (x) =.当a>0时，f(x)的增区间为(0,1),减区间为(1,x+ °°)；当a<0时，f(x

12、)的增区间为(1, +°0),减区间为(0,1)；当a=0时，f（x）不是单调函数.m .g(x) = x3+ (2)由(1)及题意得 f' (2) = |=1,即 a= 2, . f(x) = _2ln x+ 2x3, f'仅)=第2. xx2)x22x,，g' (x)= 3x2+(m+4)x 2.g' t <0,g' 3 >0. g（x）在区间（t,3）上总不是单调函数,即g' （x）=0在区间（t,3）上有变号零点.由于 g' （0）=-2,当 g' (t)<0,即 3t2+ (m + 4)t-2

13、<0 对任意 tC 1,2恒成立，由于 g' (0)<0,故只要 g' (1)<0且 g' (2)<0,即 mv 5 且 m< 9,即 m< 9;由 g' (3)> 0,即 m>期.所以37V m< 9. 33即实数m的取值范围是（37, 9）.3题型六利用函数的单调性求参数范围ln( x 1),x 08.已知函数f (x)1，若m n ,且f (m) f (n),则n m的取值范围是(x 1,x 02A.3 2ln 2,2)【答案】AB. 3 2ln 2,2C. e 1,2D. e 1,2)【解析】如图，作

14、出的数F =的图象J不好设/（同=/5） = *，由函的/（用）=/用可知函Si /q）图象与直缄=£营两个交亘，而工M0时，的蓟力里调涕墙，亘图象行油交于五（O.lh所以0 / i 1师以也工G, 由故得,0+ 1)<1。：咤三c 一 1r 八由-2 nJ £0= t,即;* + l = f,解得加=2-2;由/00 = 3 即 ln(R + l) = r,解得打工/-1；记g(t) = K-m = e1-1-Gt-2) = e1-2r+l/(分二，一2 所以当 0 <f 旬口2 时.gXt) < 0 ,幽麴虱。旦调送演卞兰In，M1时，/（力口函数里调

15、递管.所以修熨且的最小值力£dn2) = #ft2-21n2 + l=3-21n2 j 而或0)=5 + 1=北氟1="2+1 7-1 <2一般、 3-2nl<s)<2.题型七利用函数的单调性比较大小9.设 a3 ,b310g 3 , c log3 ,则 a,b,c 大小关系为A . abc B. ac bC. cabD. cba解:log 3 3ln33ln3落构造函数f(x)In xx(0,e)增，(e,)减函数，c a310g3 log31nJn31n3Inln231n21n23 1n23,构造函数f(x),221n x , ,、 2 In x In

16、 x，f (x) 2xxIn x(2 In x)2x(0,1)减,(1,e)增，(e,3)减，b c,选B方法归纳1 .求单调区间不带等号，已知单调区间求参数的范围则导函数带等号2 .求导后经常对参数进行分类讨论，如何分类是关键，如果是二次函数类型的，要考虑二次项系数，两根 大小，定义域之间的关系。其它类型的分类，如果参数的取值能够判断出导函数的符号，这就是一个分类 讨论的标准。如讨论f(x) ex ax,x (1,2)的单调性，由f (x) ex a,分a 2,a 1,1 a 2三类11 1如讨论f (x) In x ax,x (1,2)的单倜性，由f (x) a,分a 1,a -,- a

17、1三类 x2 23 .要善于等价转化，如函数在其区间上不具有单调性，等价其导函数不能非负或非正恒成立，也等价于其 导函数在此区间上有变号的零点。必做真题：1. (2014新课标n)若函数 f(x) kx 1nx在区间(1,)单调递增，则k的取值范围 是()A., 2B., 1C.2,D. 1,一、，1，D【解析】f(x) kx ln x, f (x) k - , / f (x)在(1,)单调递增， x 1、 1 、所以当x 1时，f (x) k >0恒成立，即k> -在(1,)上恒成立， xx/_1x 1 , 0 1,所以k>1,故选D.x122. (2015四川)如果函数

18、f x - m 2 x 21n 8 x 1 m 0, n 0在区间一，2单倜递减，那2么mn的最大值为A. 16B.18C. 25D.812【解析】(解法m 2时，抛物线的对称轴为x工一8.据题意，当 m 2时， 8 2即m 2m 22m n 12 . Q v2mnm 2 时，抛物m 2n 18 . Q J2m n6 mn 18 .由 2m2线开口 向下，据n 且 2m n 12 得 m 3,n 6 .当题意得， 一8 - 即m 2 22m n2mn812由2n m且m 2n 18得m 9 2 ,故应舍去.要使得mn取得最大值应有 m 2n 18 (m 2, n 8).所以mn (18 2n)

19、n (18 2 8) 8 16 ,所以最大值为18.选 B.(解法二)由已知得 f (x) (m 2)x n 8,对任意的x呆(x) &2m2n< 18 .画出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示, n0 2+2n=182m+n=12 n令mn t,则当n = 0时，t = 0,当n 0时，m 工，由线性规划的相关知识，只有当直线2m n 12n与曲线m =!相切时，t取得最大值，由n9tn1-n22 ,解得 n = 6, t =18,所以(mn)max18 ,选 B.解：(1)由题意知当a=0时，f(x) =x- 1一，一一2xC (0, 十 巧.此时 f(x)= . 2

20、.(x十 1 )x 1 -I、r、" s3.(2014山东)设函数f(x)=aln x + x,其中a为常数.(1)若a = 0,求曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程;(2)讨论函数f(x)的单调性.f(x)=a+ax2+ ( 2a+ 2) x+ a(x+ 1) 2 x (x+1) 2一，r ,1 一 ,可得f (1) = 2,又f(1) = 0,所以曲线y= f(x)在(1, f(1)处的切线万程为x-2y-1 = 0.(2)函数f(x)的定义域为(0, 十衿当a用时，f'(x)>0,函数f(x)在(0, + oc)上单调递增当 a<0 时，令 g

21、(x)= ax2+(2a+2)x+a,由于 A= (2a+ 2)2 4a2 = 4(2a+ 1),1c当a2时，0，f'(x) = W；双函数f(x)在(0, +8)上单调递减.当a<二时，A<0, g(x)<0 , f'(x)<0,函数f(x)在(0, 十丐上单调递减.1当一2<a<0时，0.设xi, x2(xi<x2)是函数g(x)的两个季点,.(a +1) + -2a + 1 ( a + 1) ' 2a+ 1则 X1 =*, X2 =xa'a由X1 =a + 1 - 42a+ 1 7a2+ 2a+ 1 - 山门1-

22、>0,所以 xC(0, X1)时，g(x)<0 , f'(x)<0 ,函数 f(x)单调递减，xC (x1, x2)时,g(x)>0, f'(x)>0 ,函数 f(x)单调递增,xC (x2, + 8)时，g(x)<0, f'(x)<0,函数 f(x)单调递减.综上可得：当a用时，函数f(x)在(0, +丐上单调递增；当aw机寸，函数f(x)在(0, +丐上单调递减；当1<a<0 时，f(x)在(0, (a 1) 72a 1,)( (a 1) 72a 1,)上单调递减,2aa在(a 1)2a 1 , (a 1)<

23、;2a 1)上单调递增 a ' a4. (2009 宁夏、海南)已知函数f(x) = (x3+3x2+ax+b)e x.若a=b=3，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(8, a ),(2单卿增加在(” ,2),(3单碉减少，证明3-6.解：(1)当 a=b= 3 时,f(x) = (x3+3x23x3)e x，故f ' (x)- (x3+3x2- 3x-3)e x +(3x2+6x- 3)e x=e x (x3 9x) = x(x 3)(x+3)e x.当 xv 3 或 0vxv 3 时,f '*x);当一3vxv 0 或 x> 3 时,f ' &

24、#171;x).从而f(x)在(8, 3),(0,3)单调增加 在(3,0),(3,+单调减少.(2)f ' =(x) (x3+3x2+ax+b)e x +(3x2+6x+a)e x= e x x3+(a 6)x+b a.由条件得 f' (2)0，即 23+2(a6)+ba=0,故 b=4a.从而 f' x)- e x ：x3+(a-6)x+4-2a.因为 f' (=of)'(=所以 x3+(a6)x+42a=(x 2)(x a )(x- 3 4(x 2) x2( a + 3 )x+ a 3将右边展开，与左边比较系数，得a +书一2, a书a 2.2-故

25、()4<12 4a.又(3-2)(廿2)<0,即 a 3- 2( a + 3 )+40.由此可得 a< 6.于是 3 a> 6.5.(2010安徽理)已知函数 f (x)2x - a(2 lnx),(a 0),讨论 f(x)的单调性. x解：f (x)的定义域是(0,+ ), f (x)设g(x) x2 ax 2,二次方程g(x) 0的判别式 当a2 8 0,即0 a 2芟时，对一切x当a2 8 0,即a 26时，仅对x J2有ax 22. xa2 8.0都有f (x) 0,此时f (x)在(0,)上是增函数。f (x) 0,对其余的x 0都有f (x) 0,此时f(x

26、)在(0,)上也是增函数。当a2 8 0,即a 2质时， 方程g(x) 0有两个不同的实根xi a48,x2 a-a8,0 xi x2. 22x(0,x1)xi(xi,x2)x2 (x2,)f (x)+0_0+f(x) 单调递增Z 极大单调递减 极小单调递增aa2 8aa2 8 aa28此时f (x)在(0, a-a一8)上单调递增，在(a_*_8, a*8)是上单调递减，在 222a Ja8(a_*_8,)上单调递增.26.3, .、 2(2009 浙江文)已知函数 f (x) x (1 a)x a(a 2)x b (a,b R).(I)若函数f (x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3

27、,求a,b的值;(II)若函数f(x)在区间(1,1)上不单调，求a的取值范围. 解析：(I )由题意得f (x)3x2 2(1 a)x a(a 2)又 f(0) b 0f (0) a(a 2)3，解得b 0, a 3或a 1(n)函数f(x)在区间(1,1)不单调，等价于f (x)导函数f (x)是二次函数在x ( 1,1)上有实数根但无重根.- 2 一一f (x) 3x 2(1 a)x a(a 2)(x a)3x (a 2)(x)0得两根分别为x1 a,x2解之得a5解之得 a,1、，1 八总之得1)( -,1)._kx7. (2009北京理)设函数 f (x) xe (k 0)(i)求曲

28、线y f (x)在点(0, f (0)处的切线方程；(n)求函数f (x)的单调区间；(m)若函数f (x)在区间(1,1)内单调递增，求k的取值范围 解：(I) f' x 1 kx ekx, f' 01, f 00,曲线y f (x)在点(0, f (0)处的切线方程为 y x.kx1(n)由 fx 1 kx e 0,得 x - k 0 ,k若k 0,则当x1 一时，f x 0,函数f x单调递减, k1 一，3 一.当x ,，时，f x 0,函数f x单调递增， k1 一， 一， 一 一右k 0,则当x ，一时，f x 0,函数f x单调递增， k1当x-,，时，f x 0

29、,函数f x单调递减，k1(出)由(n)知，若k 0,则当且仅当一1,k1即k 1时，函数f x 1,1内单调递增，若k 0,则当且仅当1 1,k即k 1时，函数f x 1,1内单调递增，综上可知，函数f x 1,1内单调递增时，k的取值范围是1,0 U 0,1 .3222 28. (2009 浙江理)已知函数 f(x) x (k k 1)x 5x 2, g(x) k x kx 1 ,其中 k R.(I)设函数p(x) f (x) g(x).若p(x)在区间(0,3)上不单调，求k的取值范围； 、一 一g(x), x 0,(II)设函数q(x) '是否存在k ,对任意给定的非零实数x1

30、 ,存在惟一的非零实数x2f (x), x 0.(x2 x),使得q(x2) q(x1)成立？若存在，求 k的值；若不存在，请说明理由.解析：(I)因 P(x)f (x) g(x)(k 1)x2 (k 5) 1, p x 3x2 2(k1)x (k 5),因 p(x)在区间(0,3)上不单调, 所以p0在 0,3上有实数解，且无重根，由 p xk(2x_ 2-1)(3x 2x(3x2 2x 5)2x 155),32x42x 110 人 一 ，一一，令 t 2x 1,有 t 1,7 , 3记 h(t)在1,3上单调递减，在3,7上单调递增，所以有h t 6,10 ,于是2x92x 16,10 ，

31、得k 5, 2 ,而当2时有px 0 在 0,3上有两个相等的实根x 1故舍去，所以k 5, 2 ；www.s 5u. com(II)当x 0时有3x22(k2 k 1)x 5；当x 0时有2k2x因为当k 0时不合题意,因此0,卜面讨论k0的情形，记(k,),B= 5,(i )当 Xi0时,0,上单调递增，所以要使 q X2Xi成立，只能X20且A B ,因此有k 5(ii )当 Xi0时,0,上单调递减，所以要使 q x2Xi成立，只能X20且A B ,因此 k 5,综合(i ) (ii ) k 5 ；当 k 5时人=8,贝U x1 0,q x1B A,即x2 0,使得q x2q x1成立

32、，因为q x在0,11上单调递增，所以x2的值是唯一的；同理,即存在唯一的非零实数 x2(x2x1),要使 q x2q xi成立，所以k 5满足题意.ww.kslucom巩固提高1 .函数f (x)1 、A. ( ,e) e【答案】Bxln x的单调递减区间是(1B. (0,-) eC.1) eD.(1,)e试题分析：fln x x1 一所以函数ex的单调减区间为0,1 e.故B正确.2.【2018年江西联考】设函数91nx在区间a 1,a1上单调递减，则实数a的取值范围是A.B. a 4C. aD. 0 af'(x)0,所以当0 x 3 时,f'(x)0,即f(x)在(0,3

33、上递减,所以0 a3.【2019年江西师大附中月考】已知函数2xax ,其在区间0,1 2x1上单调递增，则a的取值范围为()A. 0,1B.1,0C.1,1D.1 12,2【蝇析】令=三，则屋口刘,/(t)= r-£在区间0上里t砒母，I I ' (crM 力卜1，当屋p时/3=1十=三。在UI恒成立，必有屋孑,H J沁之力r可求得口Ml ；当口之时，/=在恒成，叱有口Hr：,与口HP矛盾，所以此时口不存在*综上所述，本题的正碰选期为C4.12018江西省临川高三考试】若函数f Xx alnx不是单调函数，则实数a的取值范围是().A.0,C .,0 D , 0,x aln

34、x不是单调函数，则需方程19 0在x【答案】Ca【斛析】由题思知x 0, f (x) 1 ,要使函数f xxx 0上有解，即x a,所以a 0,故选C.5 .若 f(x) = lnZ, e< a<b,则()xA. f(a)>f(b) B. f(a) = f(b) C. f(a)f(b) D. f(a)f(b)>1解析f' (x)= 1 x2n x,当 x>e 时，f' (x)<0,则 f(x)在(e, + 8)上为减函数，f(a)>f(b).答案A6 .已知a>0,函数f(x)= (x2-2ax)ex,若f(x)在1,1上是单调减

35、函数，则 a的取值范围是()3A. (0，4)1 3B. (2,4)3c.4，)解析：选 C f' (x)=(2x 2a)ex+(x22ax)ex=x2+(22a)x2aex,由题意知当 xC1,1时,f' (x)<0恒成立，即 x2+(2 2a)x 2aw 0恒成立.令 g(x)= x2+ (2 2a)x 2a,g 1 w 0.1 2+ 2 2a ,1 2aW0, 刀/曰 3、 g 1 < 0,12+2-2a-2a< 0,寸 F1 .7,已知函数f(x)=x + 在(一, 1)上单倜递增，则实数 a的取值范围是()axA. 1 , +8) b. ( 00,

36、0)U(0,1C. (0,1 D. (8, 0) u 1 , +00)解析：选D 函数f(x) = x +°的导数为f' (x)=1七，由于f(x)在(一00 1)上单调递增，则fz (x)>0 axax在( 8, 1)上恒成立，即lwx2在(8, 1)上恒成立.由于当xv1时，x2>1,则有,W1,解得a>1 aa或 a<0.b8. (2016湛江一模)若函数f(x) = x + '(bC R)的导函数在区间(1,2)上有零点，则f(x)在下列区间上单倜递增 x的是()A . (2,0) B, (0,1)C. (1, +00 ) D.(巴2)

37、解析：选D由题意知，f' (x)=14二函数f(x)=x + b(b R)的导函数在区间(1,2)上有零点，当1 xx、与=0 时)b=x2,又 x C (1,2), be (1,4),令 f' (x)>0,解得 xv a或 x>>/b,即 f(x)的单调递增区x间为(-00 , yjb), (b, + 00), ,b e (1,4),(一 00 , 2)符合题意.9.12018湖南长沙高三考试:.对于函数f (x) 1|x3 -x2 (3 a)x b有六个不同的单调区间，则a的32取值范围为.【答案】2 a 3【解析】根据偶函数关于y轴对称，两侧单调性相反，

38、所以当 x 0时又3个不同的单调区间，此时f x1x3ax23 a x b ,因为有三个不同的单调区间，所以0,含有两个极值点，所以322a24 3 a 0af x0有两个不同的头数根，fxxax 3a ,0,斛得2 a 32f 00In x + k10. (2018武昌区联考)已知函数f(x)= y (k为常数,e是自然对数的底数)，曲线y=f(x)在点(1, f(1) e处的切线与x轴平行.(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间.1 .-ln x k解：(1)由题意得f' (x)=xx，又f' (1)=上寸=0,故k=1. ee1- ln x 1(2)由(1)知，f&#

39、39; (x) = x.设 h(x) = ° In x1(x> 0),则 h' (x)= 一一v。，exx x即h(x)在(0, +8)上是减函数.由 h(1)=0知，当0xv 1时，h(x)>0,从而f' (x)>0;当 x>1 时，h(x)<0,从而 f' (x)<0.综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1, +8).111. (2018 沈阳质检)已知函数 f(x)=ln x, g(x) = 2ax+b.(1)若f(x)与g(x)在x= 1处相切，求g(x)的表达式;m x 1. (2)若(f

40、)(x)= f(x)在1 , 十00)上是减函数 求头数 m的取值氾围.x 1解：(1)由已知得 f' (x)=；(1)=1=%, a=2.x2，、一 1又- g(1)=0 = 2a+b,b = 1,，g(x) = x1.m x 1. m x 1.(2) .(b(x)= f(x)=In x 在1 , + 8)上是减函数.''八 ' x+1x+1x2 + 2m 2 x 1- (x)=2<0 在1 , +8)上恒成立.x x+ 1即 x2(2m 2)x+1 > 0在1 , 十 00)上恒成立，则 2m 2Wx + ；, x 1 , 十 00),. x+ 1c 2, +8), 2m-2<2, m<2. x故实数m的取值范围是(8, 2. x a 312.(2018山东潍坊模拟)已知函数f(x) = 4+x- In x-2,其中aCR.1，.(1)右曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线垂直于直线y = 2x,求a的值.(2)讨论函数f(x)的单调区间.解(1)f'(x) = ； 12-1,由f(x)在点(1, f(1)处的切线垂直于直线 y=；x知 X XNf(1) = j a= - 2,解得 a=：. 4