相似三角形典型模型及例题.

1、1:相似三角形模型:相似三角形判定的基本模型（一）A字型、反A字型（斜A字型）（二）8字型、反8字型（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以 等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形 为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示:（五）一线三直角型:三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方 形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似, 这往往是很多压轴题的突破口

2、，进而将三角型的条件进行转化。（六）双垂型:共享性一线三等角的变形一线三直角的变形2:相似三角形典型例题（1）母子型相似三角形例1 :如图，梯形 ABCD中，AD / BC,对角线 AC、BD交于点O, BE/ CD交CA延长线于 E.求证：oc2=oaoe.例2：已知：如图， 4ABC中，点E在中线AD上，/DEB =/ABC .求证：（1） DB2 =DE DA； （2） ZDCE =/DAC .例3:已知：如图，等腰 那BC中，AB=AC, ADXBC于D, CG/AB, BG分别交AD、AC于E、F.求证：BE2 =EF EG .1、如图，已知 AD为"BC的角平分线，EF为

3、AD的垂直平分线.求证： FD 2 = FB ' FC .2、已知：AD是RtAABC中/ A的平分线，/ C=90° , EF是AD的垂直平分线交 AD于M , EF、BC的延长线交于一点 N。求证：(1)AAMENMD; (2)ND2=NCNB3、已知：如图，在 AABC 中，/ ACB=90° , CDXAB 于 D, E 是 AC 上一点，CF, BE 于 F。求证：EB DF=AE DB4.在AABC中，AB=AC ,高AD与BE交于H, EF_LBC ,垂足为F,延长AD到G,使DG=EF, M是AH的中点。求证：/GBM=90AB5已知：如图，在 Rt

4、祥BC中，/ C=90 °, BC=2, AC=4, P是斜边 AB上的一个动点， PDXAB,交边 AC 于点D (点D与点A、C都不重合)，E是射线DC上一点，且/ EPD = Z A.设A、P两点的距离为 x, ABEP 的面积为y. (1)求证：AE=2PE;(2)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域;(3)当ABEP与GABC相似时，求 4BEP的面积.B（2）双垂型1、如图，在 AABC 中，/ A=60°, 求证：（1） AABDsace；（2）BD、CE分别是AC、AB上的高ADEabc； (3)BC=2ED2、如图，已知锐角 AABC, AD、CE分别

5、是BC、AB边上的高，AABC和BDE的面积分别是 27和3,（3）共享型相似三角形，已知BD=1 , CE=3,求等边三角形的边长1、AABC是等边三角形， DBCE在一条直线上，/DAE=120D2、已知：如图，在 RtAABC 中，AB=AC, /DAE=45°.(2) BC2=2BECD.求证：（1）9BEs祥CD；DE=6 <2，求：点B到直线AC的距离。(4) 一线三等角型相似三角形例1:如图，等边 9BC中，边长为6, D是BC上动点, (1)求证：BDEsCFD(2)当 BD=1, FC=3 时，求 BE例 2： (1)在 MBC 中，AB = AC =5, B

6、C =8,点点B重合)，且保持/APQ =/ABC.若点P在线段CB上(如图)，且BP =6,求线段CQ的长;若BP = x , CQ = y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域;(2)正方形ABCD的边长为5 (如下图)，点P、Q分别在直线CB、DC上(点P不与点C、点B重合)，且保持ZAPQ =90当CQ =1时，求出线段 BP的长.例3:已知在梯形 ABCD中,AD/BC, ADVBC,且 AD = 5, AB = DC = 2.(1)如图8, P为AD上的一点，满足/ BPC = Z A.求证；ZBPA DPC求AP的长.(2)如果点P在AD边上移动(点 P与点A、D不重合)

7、，且满足/ BPE=/A, PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q,那么当点Q在DC的延长线上时，设 AP = x,CQ = y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域;当CE= 1时，写出AP的长.例4：如图，在梯形 ABCD中，AD / BC , AB =CD = BC = 6 , AD =3 .点M为边BC的中点，以M为顶点作/EMF =/B ,射线ME交腰AB于点E ,射线MF交腰CD于点F ,联结EF .(1)求证：4MEF BEM ;(2)若4BEM是以BM为腰的等腰三角形，求 EF的长；(3)若EF 1CD ,求BE的长.1、如图，在 那BC中，AB=AC=8, BC =

8、10 , D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，且ZADE =/C.(1)求证：AABDsDCE;(2)如果BD=x, AE = y，求y与x的函数解析式，并写出自变量 x的定义域；(3)当点D是BC的中点时，试说明 那DE是什么三角形，并说明理由.2、如图，已知在 那BC中， AB=AC=6, BC=5, D是AB上一点，BD=2, E是BC上一动点，联结 DE,并作ZDEF =NB,射线EF交线段AC于F.(1)求证：ADBEsecf；(2)当F是线段AC中点时，求线段 BE的长；(3)联结DF,如果ADEF与4DBE相似，求FC的长.3、已知在梯形 ABCD 中，AD / BC, AD

9、vBC,且 BC =6, AB=DC=4,点 E 是 AB 的中点.(1)如图，P为BC上的一点，且 BP=2.求证：BEPsCPD;(2)如果点P在BC边上移动(点 P与点B、C不重合)，且满足/ EPF = /C, PF交直线CD于点F,同时交直线 AD于点M,那么当点F在线段CD的延长线上时，设 BP=X, DF=y，求y关于X的函数解析式，并写出函数的 定义域；4、如图，已知边长为3的等边2ABe，点F在边BC上，CF =1，点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边AEFG，直线EG，FG交直线AC于点M，N ,(1)写出图中与ABEF相似的三角形；(2)证明其中一对三角形相

10、似；(3)设BE =X，MN =y,求y与x之间的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围;(4)若AE =1 ,试求AGMN的面积.(5) 一线三直角型相似三角形例1、已知矩形ABCD中，CD=2 ,AD=3 ,点P是AD上的一个动点，且和点A,D不重合，过点P作PE _L CP , 交边AB于点E,设PD =x, AE = y ,求y关于X的函数关系式，并写出 x的取值范围。例 2、在 MBC 中，/C =90°, AC =4,BC =3,0 是 AB 上的一点，且AO 2* = 2 ,点P是AC上的一个动点，PQ 1 0P交线段BC于点Q,(不AB 5与点B,C重合)，设AP =

11、 x,CQ = y，试求y关于x的函数关系，并写出定义域。一o31 .在直角AABC中，CC =90 , AB =5,tanB =，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，DF 1 DE 4交射线AC于点F(1)、求AC和BC的长(2)、当EF BC时，求BE的长。(3)、连结EF,当ADEF和 MBC相似时，求BE的长。2 .在直角三角形 ABC中，/C =90°, AB = BC,D是AB边上的一点，E是在AC边上的一个动点，(与A,C不重合)，DF _LDE,DF与射线BC相交于点F.、当点D是边AB的中点时，求证：DE = DF(2)、当 他 = m，求-DE-的值DBDF一AD 1(3)、当 AC = BC = 6,=,设 AE = x,BF DB 2=y,求y关于x的函数关系式，并写出定义域 3 3 .如图，在AABC中，/C=901 AC=6, tanB=, D是BC边的中点，E为AB边上的一个动点,4作ZDEF =90°, EF交射线BC于点F .设BE = x , ABED的面积为y .(1)求y关于x的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围；(2)如果以B、E、F为顶点的三角形与 ABED相似，求AB