人口增长的Logistic模型分析及其应用资料讲解

1、人口增长的Logi st i c 模型分析及其应用人口增长的L o g i s t i c模型分析及其应用作者：熊波来源：商业时代 2008 年第 27 期中图分类号：C923文献标识码：A内容摘要：本文运用迭代的方法计算出人口极限值xm和人口增长率r,用Logistic模型预测了我国人口未来的发展趋势，并根据预测的结果提出了相应的对策与建议。关键词：人口 Logistic 模型 迭代人口增长问题相关研究最早注意人口问题的是英国经济学家马尔萨斯，他在 1798 年提出了人口指数增长模型。这个模型的基本假设是：人口的增长率是一个常数。记t 时刻的人口总数为 x(t) 。初始时刻 t=0时的人口为

2、x0o人口增长率为r, r表示单位时间内x(t)的增量与x(t)的比例系数。那么，时刻 t到时刻t+ A内人口的增量为x(t+ A-x(t尸rx(t)。定是x(t)满足下列微分方程的初值问题，他 的解为 x(t)=x0ert 。在 r>0 时，人口将按指数规律增长。但是不管生物是按算术级数、几何级数还是按指数曲线变化，随着时间增长生物数量将趋于无穷大。然而，实际情况却不然，实验指出在有限的空间内，一开始生物以较快速度增长， 到一定时期生物增长量就会减缓，生物数量趋于稳定。历史上的人口统计数据也表明，当一个国家的社会稳定时，一定时期内马尔萨斯模型是符合实际的，但是如果时间比较长或社会发生动

3、荡时，马尔萨斯模型就不能令人满意了。原因是 随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长开始起阻滞作用，因而人口增长率不断下降。基于以上考虑荷兰生物学家Verhaust对原人口发展模型进行了改造，于 1838年提出了以昆虫数量为基础的 Logistic 人口增长模型。这个模型假设增长率r 是人口的函数，它随着x 的增加而减少。最简单的假定是r是x的线性函数，其中r称为固有增长率，表示x-0时的增长率。由r (x)的表达式可知，x=xm时r=0。xm表示自然资源条件能容纳的最大人口数。因此 就有，这个模型就是Logistic 模型。为表达方便， Logistic 方程常被改写成：由于 Lo

4、gistic 模型综合考虑了环境等因素对人口增长产生的影响，因此是一种被广泛应用的比较好的模型。 本文也将采用 Logistic 模型对我国人口进行分析。人口增长模型的建立要预测未来的人口，就必须先估计出人口增长率r。 logistic 模型在数学上来讲是一个非线性模型，而非线性的方程是无法估计出 r 值的。在利用 logistic 模型研究人口问题时，一般运用以下方法：先将logistic 模型转化成线性模型，将logistic 模型的解作进一步的形式转换得：再两边取对数，转化为线性形式，便于对 r 进行估计，转化的结果为：估计出固定增长率r 后代入到中，代入相应的时间 t 就可以预测出未来

5、各年的总人口数了。这里为线性方程的前提是：已知人口上限xm 。因此在计算中会令 xm 为一特定的值(比如我国计生委认为的 16 亿人口上限)。而在实际情况下，人口的上限是随着经济的发展与科学的进步是不断增大的，最后趋近于某一常数。其次，固定增长率r 是将 Logistic 模型线性化后根据一元线性回归才能得到，虽然可以很好的通过T 检验，但由于其回归的基础是确定的人口上限，故仍然存在一定的缺陷。所以本文将用迭代算法对人口上限xm 和人口固定增长率r进行计算。算法基本思想是： 假设 xm 已知， 求得 r 的最优估计， 然后把 r 作为已知， 求出 xm 的最 优估计，这样交替循环迭代直到收敛为

6、止。记，于是有： (1)代入得： (2)因存在模型误差， 应以下述带误差的方程代替式(2)得：(3)从而在 xm 已知条件下， 利用最小二乘法估计参数r ，令，当最小时，即： (4)由式(4)得：(5)由式(5)得参数r 的最小二乘估计(6)同理，由于存在模型误差，应以下述带误差的方程代替得： (7)式中e为独立、均值为0、等方差的随机变量，记则式(7)变为，在r 已知的情况下可以得到 xm 的最小二乘估计： (8)这里b中含有被估计参数xm,在迭代解法中，我们可以用上一次的迭代估计值xm*代替它。最优估计x* 、 r* 具体估计步骤如下：取初值 xm(0),然后将 xm(0)代入(6)求得

7、r(0)。令 k=1 , a=xm(0), b=r(0) ; b 代入(8)式, 求得 xm(k) ， xm(k) 代入(6)求得r(k) 。若，则停止，此时有x*=xm(k) ， r*=r(k) ； a=xm(k) ，b=r(k) ， k=k+1 转 “ 2。”由上述理论，本文取 xm(0)=15 ，参数估计样本为 1978 年至 2004 年的人口数。依照上述迭代的三个步骤，得到迭代结果如表1 所示。经过五次迭代，不难看出第四次迭代的结果最理想，因此，我们取 x*=16.28 ，r*=0.0401。这里xm(0)的取值不会影响x*与r*,它仅仅影响迭代的次数。比如当 xm(0)取值为14

8、的时候得迭代结果如表2，可以看出此时只是增加了一次迭代的过程。我们将 x*=16.28 ， r*=0.0401 代入 Logistic 方程得最终模型如下：，将时间 t 代入模型中就可以求出各年的人口了。人口增长 Logistic 模型的应用模型假设：假设中国的人口政策自 1978 年开始不再变化；假设中国的人口是一个封闭的人口，即不考虑迁入迁出；不考虑自然灾害等非正常因素的影响。(一)数据分析1978 年以后，中国进行过3 次人口普查，分别是在1982 年、 1990 年和 2000 年。此时时间 t 相应为 4、 12、 22，代入模型得结果见表3。由表 3可以看出模型计算出的结果与实际人

9、口数的误差还是很小的，应该说模型具有较强的预测能力。另外，从预测结果的误差可以看出，在 2000 年之前，年份越往后误差越小，甚至为负数。也就是说随着人口数量的增大，人口越来越接近人口极限。此时实际人口的增长要快于模型的估计值。这很可能是因为在这一时期内计划生育政策的实施有所放松，导致人口增长过快。那么 2001-2005 年的情况又如何呢？运用同样的方法求得见表4。由表 4 的数据结果可以看出 2000 年以后至 2005 年，实际人口的增长要慢于模型的增长，但是这一时期恰恰又是第四次人口生育高峰期的开始。导致这一反常现象的原因在于政府对人口政策有所抓紧。为了防止在人口生育高峰期人口过快的增

10、长，政府对计划生育政策的实行加大了力度，促成了人口增长的减缓。由模型知道当人口越接近人口极限，人口增长的阻滞作用越大。很大程度上需要政府制定相应的人口政策，限制人口的自然增长。所以人口政策的实行实际上就是人口增长阻滞作用的执行方式，对人口增长具有极其重要的影响。而人口政策的实行往往跟人口数量有密切的关系，会伴随着人口的变动而具有一定的波动性，人口的增长率也会随着人口政策的波动而相应的有一些起伏。但是人口的整体增长情况仍将符合模型的预测。利用模型可以估计出未来各年的人口数量如表5。由表5 可知，到 2035 年中国的人口将达到 15.21 亿，虽然还没有到达理论上的人口上限，但是在现实社会中，为

11、了保证社会的稳定，政府绝对不会让人口数量达到理论人口上限的。也就是说当人口接近于人口上限的时候，人口政策很可能会发生变化，再加上中国人口老龄化和性别比的失调的进一步加剧，到 2035年之后模型可能就不再适用了，所以对2035 年之后的人口不再作预测。（二）结果分析从预测的结果看，我国未来几十年内的人口压力还是非常大的。加上老龄化和性别比例失调的加剧，人口政策将面临新的挑战。我国今后的人口政策应逐步转变为以调整人口结构为主、控制人口数量为辅，逐步调整人口年龄结构和人口城乡结构。特别要注意的是， 调整生育政策需要时间和精心设计，同时要由国家计生部门支持和监督， 总结经验并稳步实施。总之，我国人口国情要求我们以辩证的眼光来观察， 既要看到有利面，也要看到不利面，还要比较有利和不利的大小；以历史的眼光来观察， 既要看到以往政策的历史背景和合理性， 也要看到它的历史局限性和成本， 还要比较该政