清华在线2009新版GCT精讲班数学微积分讲义

1、GCT数学.微积分部分主讲：刘庆华第11章函数的极限与连续11.1函数一 函数1定义 设和是两个变量，是给定的数集，如果对于每个数，变量按照一定的法则，总有一个确定的值与它对应，则称是的函数，记作，数集叫做这个函数的定义域，叫做自变量，叫做因变量。2 表示法3 基本初等函数例1111（1）； （2） ； （3）。 （4）设是任一实数，表示不超过的最大整数部分。例11.1.2 下列函数是否相同？ （1） ；（否） （2） ；（是） （3） 。（否）例11.1.3 求函数的定义域。 （1） ； 答 （2） 设，求的定义域.二 特性1函数的有界性设函数在区间上有定义，如果，使得对，有，则称在区间上有

2、界，否则，称在区间上无界。2函数的单调性设函数在区间上有定义,如果且时，有（或）则称在区间上是单调增（或单调减）的。3函数的奇偶性设函数的定义域关于原点对称，（即若，则必有），如果，有成立，则称为偶函数，如果，有成立，则称为奇函数。4函数的周期性设函数的定义域是，如果常数，使得对，有，且恒成立，则称函数是周期函数，使上式成立的最小正数称为的周期。例11.1.4 判断函数的奇偶性。（1）；（2）；（3）。（1）偶；（2）奇；（3）非奇非偶三 函数的运算1 四则运算2 反函数3复合函数与初等函数（1）复合函数设，定义域为；，定义域为，值域为，当时，称为的复合函数，它是由和复合而成的函数，它的定义域

3、为，称为中间变量。（2）初等函数 由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算所构成的并用一个式子所表示的函数称为初等函数。例1115（1）设，求。（，）（2）求的反函数。（）例1116设函数的定义域是，且的图形关于直线与对称，证明是以为周期的周期函数。四补充题例11171 在上有定义，且，则是 （其中为大于零的常数） 周期函数 单调函数 奇函数 偶函数2设，且，则函数的定义域为 3下列函数中关于轴对称的是 4设函数的定义域是，则函数的定义域是 5（08）设则有 。（A） （ B）（C） （D）答（B）。分析：本题主要考查函数的概念与函数求值的运算。解法1：由 易知，当时，。又所以。故正确选项为

4、（B）解法2：利用特殊值代入法与排除法更简单取，则，这时选项（A）,（ C）,（）都不成立。故正确选项为（B）11.2数列的极限1定义 给定数列，如果当无限增大时，其通项无限趋近于某个常数，则称数列以为极限，记作或者。2 单调性 设数列，如果对于，有（），则称数列是单调递增（单调递减）的。3如果，对于有，则称数列是有界的。4 数列极限的性质 （1）若数列是收敛的，则它的极限是唯一的。（2）数列是收敛的，则称数列是有界的。5 数列极限的四则运算设，（1）（2）（3）11.3 函数的极限1 函数极限的定义 （1）设函数在区间上有定义，为常数，如果当时，函数的值无限趋近于，则称当时，以为极限，记作。

5、（2）设函数在区间上有定义，为常数，如果当时，函数的值无限趋近于，则称当时，以为极限，记作。（3）设函数在区间上有定义，为常数，如果当无限增大时，函数的值无限趋近于，则称当时，以为极限，记作。（4）定理 的充分必要条件是且。（5）当无限趋近于（）时，函数的值无限趋近于，则称趋近于时，函数以为极限，记作。（6）当无限趋近于（）时，函数的值无限趋近于，则称趋近于时，函数的左极限为，记作。（7）当无限趋近于（）时，函数的值无限趋近于，则称趋近于时，函数的右极限为，记作。（8）定理 的充分必要条件是且。（9）设，（i）若，则极限点附近有。（ii）极限点附近有，则。2 函数极限的性质 （1）如果存在，则

6、极限值是唯一的。（2）如果，则在极限点附近是有界的。3 函数极限的运算法则（1）四则运算（2）复合函数的运算法则设复合函数在的某邻域内（可除外）有定义，如果（）且，则。4 重要极限*（1）（2） 或例11.3.1 设，讨论是否存在。（不存在）例11.3.2设，求 。（7）例1133例1134 例1135 ，例1136（1） （1） （2）（） （3）（） （4） （1） （5） （1） （6）（） （7） （）11.4 无穷大量与无穷小量一1 定义（1）如果函数当（或）时的极限为零，则称函数当（或）时为无穷小量。（2）如果函数当（或）时无限变大，则称函数当（或）时为无穷大量。记作.2 无穷大量

7、与无穷小量的关系 在自变量的同一变化过程中，如果函数为无穷大量，则为无穷小量，反之，如果函数为无穷小量且，则为无穷大量。3无穷小量与有极限量的关系，其中4 无穷小量与有界量之积为无穷小量5无穷小量的比较 设时，(1)若，则称时比高阶无穷小，记作(2) 若是不等于零的常数），则称时与同阶无穷小。 特别地，当时称时与是等价无穷小，记作时，。当时，。(3) 若，则称时比低阶无穷小。6等价无穷小替换定理 设时，且，存在，则 。例1141（1） （）（2） （）（3） （6） (4) （0）11.5 函数的连续性1 连续的定义(1) 在点连续：设在点的某邻域有定义，如果或 ，则称在点连续。（2）左连续，

8、右连续（3）在内连续（4）在内连续2 函数的间断点及分类3 连续函数的运算法则(1)设，在连续，则，（），在连续。(2)复合函数的连续性设在连续，在连续，则复合函数在连续。结论：初等函数在其定义区间上是连续的。4连续函数在闭区间上的性质(1)有界性设在上连续，则在上有界。(2)最值存在设在上连续，则在上存在最大值和最小值。(3)介值定理设在上连续，则对与之间的任何数，必存在，使得。(4)零点存在定理设在上连续，则必存在，使得。例1151求间断点及判断其类型例1152设，为何值(1)存在 ; (2) 在处连续。例1153证明曲线在内至少与轴有一个交点。5 补充题例1154 1下列极限正确的是 不

9、存在 2 下列函数中在处连续的是 3若，则必定有 。（A） (B） 在处无定义在的某邻域中，( D)在的某邻域中，第12章 一元函数微分学12.1导数的概念一 导数的定义1设函数在某邻域内有定义，当自变量在点取得改变量（）时，相应地函数也有改变量，如果极限存在，则称函数在可导，并称这个极限值 为函数在点的 导数，记作，2左导数，右导数如果存在，则称此极限值为在处的左导数，记作。如果存在，则称此极限值为在处的右导数，记作。3如果在内每一点可导，则称在内可导。4如果在内可导，且,存在，则称在内可导。二 导数的几何意义函数在点的导数等于曲线在点（，）处切线的斜率。 切线方程是，法线方程是。三 可导与

10、连续的关系可导必连续，反之不然。四 重要结论1在处可导2 可导偶函数的导数是奇函数；3 可导奇函数的导数是偶函数；4可导周期函数的导数是周期函数。例12.1.1用定义求函数的导数。（）例12.1.2 研究在的连续性与可导性。（连续不可导）例12.1.3 求的值，使在处可导。（）例12.1.4 （1） 在曲线上求一点，使得在该点的切线斜率为3，并求此切线方程。（）（2）求曲线在处的切线方程。（）（3）求过点并与相切的直线方程。()在可导，求下列极限 （1）（2）例1216（1）可导偶函数的导数是奇函数； （2）可导奇函数的导数是偶函数； （3）可导周期函数的导数是周期函数。12.2 求导公式和导

11、数运算法则一 求导公式1 2 3 4 5 6 二 四则运算如果，在点都可导，则（1）（2）（3）三 复合函数的导数设由和构成的复合函数，如果在点可导，在点可导，则复合函数在点可导，且例1221 求导数（1），求 () （2） ( ) （3） （）（4），求。 （）例1222求导数（1） () （2） ()（3） () （4） ()（5） ( ) （6） ()（7） ()（8 ) 例1223 为可导函数，求 （1） （） （2） 答四 高阶导数例1224 （ 1 ） ，求。 ( 2 ) 设，求。（）五 补充题例12251 对任意的都有且当时，则 2设可导，且满足，则曲线在处的切线斜率为3 在上可

12、导，则4如图是两个逐段线性的连续函数，设，求的值。( )5在曲线上任一点 处作切线，切线分别教轴与轴于和，则的大小关系与的位置有关12.3 微分一 定义 函数在处的微分设函数在区间上有定义，如果函数的改变量 可表为，其中是不依赖 的常数，而是比的高阶无穷小，则称 在是可微的，叫做在相应于自变量改变量的微分，记作 ，即或。二 微分与导数的关系 函数在点处可微的充分必要条件是它在该点处可导，此时即有。三 微分的几何意义四微分的基本公式和四则运算法则例1231 （1）设，求.（2）若函数在处的导数不为零且不为1，则当时该函数在处的微分是 与等价无穷小 与同阶无穷小与低阶无穷小 与高阶无穷小五补充题例

13、12321（03）如果函数在处可导，则极限= 等于 等于1 等于0 不存在2 （04）如图是两个逐段线性的连 02134685712345-1续 函数，设，则的值为 。 3（05）设在处可导，且，则 0 1 2 34（06）设，且导数存在，则（D ）。（A） 0 (B) (C) (D) 5（07）设，则（B）。（A） （B）1 （C） （D）6 （08）若函数可导，且，则=（） 。（A）0 （B）1（C） （D）412.4中值定理1 罗尔定理如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且，则至少使得。2 拉格朗日中值定理如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则至少使得成立。（1）如果函数在区间上

14、的导数恒为零，则在区间上是一个常数。（2）如果函数和在区间上的导数相等，则这两个函数在区间上至多相差一个常数。例1241 若方程有一个正根，证明方程必有一个小于的正根。例1242在闭区间上连续，在开区间内， 当时，则开区间内； 当时，则开区间内。例1243设，证明。例1244（1）(05) 若的二阶导数连续，且，则对任意常数必有 1 0 （2）（08）函数在上具有连续导数，且，则（） 。（A）在上有界 （B）存在（C）存在 （D）12.5 洛必达法则（型极限） 如果和满足（1）（2）在极限点附近都存在，且（3）存在或无穷大 ，则 例1251求极限（1）（0）（2）（3） （4） （）例1252

15、已知在内有二阶连续导数，且，又，求。（）12.6 函数的单调性与极值1 函数的单调性的判断法一 函数的增减性的判断如果函数在内可导，则在内单调递增（减）的充分必要条件是，有（）。例1261 求函数的单调区间 （1） （2） 在，在。二 极值 1 定义设函数，若（为某一常数）均有则称为的极大值点，为的极大值；若均有则称为的极小值点，为的极小值。2 取得极值的必要条件设函数在处可导，且在处取得极值，则。3 第一充分条件设函数在点一个邻域内可导，且（或不存在，但在点连续）如果当取左侧邻近值时，当取右侧邻近值时，则函数在点处取得极大值；如果当取左侧邻近值时，当取右侧邻近值时，则函数在点处取得极小值；如

16、果当取左右侧邻近值时，恒为正或恒为负，则函数在点处没有极值。4 第二充分条件 设函数在点有二阶导数，且，则 如果当时, 函数在点处取得极大值； 如果当时, 函数在点处取得极小值。例1262 求函数的单调区间和极值。（极大值，极小值）例1263（1）利用二阶导数求函数的极值。（极小值）（2）讨论方程的实根个数。（2个实根）例1264将中的函数与图中的导函数图形进行匹配。12.7 函数的最大值最小值问题例1271求在区间上的最大、最小值。（最大值是，最小值是）例12721（06）设正圆锥母线长为5，高为h，底面圆半径为r，在正圆锥的体积最大时， （ C）(A) (B) 1 (C) (D) 2（07

17、） 曲线的点与单位圆 上的点之间的最短距离为则（D ） ( A) (B) (C) (D) 3（08）已知时，总有成立，则参数的最小取值是（）。（A）32 （ B）64（C）72 （D）9612.8 曲线的凹凸、拐点及渐近线一 曲线的凹凸、拐点1如果曲线在其任一点切线之上（下），则称此曲线是凹（凸）的。凹凸的分界点称为曲线的拐点。2设函数在区间上二阶可导，当时，则曲线在是凹（凸）的。3如果，且在两侧异号，则（,）时曲线的拐点。二 曲线的渐近线1垂直渐近线 当（，）时，有，称是曲线的垂直渐近线。2水平渐近线当（，）时，有，（其中为常数）称是曲线的水平渐近线。例1281 判断曲线的凹凸，并求拐点。

18、（在凹，在凸）例1282求的单调区间、极值、凹凸区间、拐点和渐近线。 解 （1）定义域 （2）， 令 得，令 得 (3) +0 -0+ -0 +极大拐点极小极大值 ，极小值，拐点 （4），（），是垂直渐近线；,无水平渐近线。例1283（1）求的渐近线。答 垂直渐近线，水平渐近线（2） 证明时，。三 补充题1 当时，与，则与是同阶无穷小，但不等价与是等价无穷小比是高阶无穷小比是低阶无穷小2 下图是关于汽车位移函数的图像。利用图像回答下列问题。a) 汽车的初始速度？b) 汽车在B, C两点哪一点速度更快？c) 汽车在A, B, C三点速度是增快还是减慢？d) 在D, E两点之间，汽车的运动状况?3

19、图中给出了的图形，设有以下结论的单调增区间的单调增区间是的极值点是曲线拐点的横坐标则以上结论中正确的是 ，4设二阶可导，且，则当时有 5 设，则 是的极值点，但不是曲线的拐点不是的极值点，但也不是曲线的拐点是的极值点，且是曲线的拐点不是的极值点，但是曲线的拐点6（03）方程的实数根的个数是 1个 2个 3个 4个7（04）如下不等式成立的是 在区间上，在区间上，在区间上，在区间上，8 （05）函数在上有 1条垂直渐近线，1条水平渐近线 1条垂直渐近线，2条水平渐近线 2条垂直渐近线，1条水平渐近线 2条垂直渐近线，2条水平渐近线9（06）如左图，曲线表示某工厂十年期间的产值变化情况，设是可导函

20、数，从图形上可以看出该厂产值的增长速度是（ A） A. 前两年越来越慢，后五年越来越快B前两年越来越快，后五年越来越慢第13章 一元函数的积分学13.1不定积分的概念和简单的计算 一 原函数、不定积分的概念1定义 对于定义在某个区间上的函数,若存在函数，对于该区间上的一切都有成立，则称此为的原函数。若为的一个原函数，则（是任意常数） 是的全体原函数，称之为的不定积分，记作， 即 称为积分变量，为被积函数，为被积表达式。2 设为可积的奇函数，则是偶函数为可积的偶函数，但不一定是奇函数为可积的周期函数，但不一定是周期函数二. 不定积分基本计算公式 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （

21、7） （8）三 不定积分的性质（1）（2） (3) (4)(5) (为不等于零的常数) (6)例1311 （1）已知是的一个原函数，求。（2） （3）（4）已知的一个原函数为，求。（ ）例1312求 13.2 不定积分的计算方法 1 第一类换元法（凑微分法）设是的原函数，且 可导，则是的原函数，即= =+C （其中）例1321 （1）（2） （）（3） （ ）例1322（1） （）(2) （）（3) （）例1323(1) （）(2) （）(3) （）例1324设且，求。答2第二类换元法 设单调可导，且是的原函数，则是的原函数，即例1325求3分部积分法 设有连续的一阶导数,则 即 例1326

22、求不定积分（1） （）（2） （）（3） （）（4） （）（5）例1327补充题1（05）设是的一个原函数，则不定积分 2（07）设函数可导，且，则（A）。（A） （B） （C） （D） 13.3定积分的概念与性质 一.定积分的概念 设函数在区间上有界，在中任意插入若干分点 把区间分成个小区，各个小区间的长度依次为，在每个小区间上任意取一点作函数值与小区间长度的乘积，并作和 ，记，如果不论对怎样分法，也不论在小区间上点怎样取法,只要当时，和总趋向于确定的极限,这时，称极限为函数在区间上的定积分，记作 ， 即= 其中叫作被积函数，叫做被积表达式，叫做积分变量，叫做积分下限，叫做积分上限，叫做积分

23、区间。二 定积分的几何意义 在上时，表示由曲线，两条直线 与轴所围的曲边梯形的面积; 在上时，由曲线两条直线与轴所围成的曲边梯形位于轴的下方，在几何上表示上述曲边梯形面积的负值；在上既取得正值又取得负值时，函数的图形某些部分在轴的上方，而其它部分位于轴的下方，的几何意义是图中阴影的代数和。补充规定： （1） 当时， （2） 当时， 三 定积分的性质 设为可积函数，则 (1)（2）（是常数） （3） （4） = (5) 如果在上，则 （6）上, 则， （7） (8)设在上，则 (其中是常数) （9）如果函数在区间上连续，则在上至少有一个数，使成立。另外，记住下面公式，常常会化简定积分的计算。 (1) （）如果函数以为周期连续函数，是常数，则例13.3.1比较与的大小。（大）例1332 设，利用几何意义，求。（）例1333设，按积分值大到小次序排序下列积分 （1），（2），（3）。13.4微积分基本公式 定积分的计算一牛顿莱布尼兹公式1 变上限函数定义 设可积，称为变上限定积分，它是上限变量的函数。 2 定理 如果在上连续，则在上可导，且；如果函数在上连续，可导，则。例1341（1）（2） 设，求。答（3），求。答例1342 （1）（2）（3）（4）3 .牛顿莱布尼兹公式 定理 若函数在区间上连续，为的一个原函数，即，则 例1343计