必修三四高中数学期末复习试卷

1、2016年必修三、四高中数学期末复习试卷1 .执行如图所示的程序框图，如果输入a（A） 16（B） 12（C） 81, b 2 ,则输出的a的值为（）(D) 7试题分析：当a 1,b 2时，a 6,则a 1 2则a 4 2 8 6,此时输出a 8,故选C.2.下面的茎叶图表示柜台记录的一天销售额情况2,此时a 2 6,则a 2 2 4,此时a 4 6,（单位:元），则销售额中的中位数是（）1 0 22 | 0 1 43 1 12 64 3 8A.30.5B.31C.31.5D.32【答案】B试题分析：茎叶图中的数据分别为10, 12, 20, 21, 24, 31, 31, 32, 36, 4

2、3, 48.中位数应该是31.考点：茎叶图，中位数.3.为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1 ： 2 ： 3,第2小组的频数为12,则抽取的学生总人10名学生，将这50名学生随机4650号，若在第三组中抽得号数是（）A.12B.24C.48D.56【答案】C【解析】第2小组的频数为12,且前3个小组的频率之和为 1 ：2： 3, 前3个小组的频数分别为6,12,18 ,共6+12+18=36,第 4、5 两小组的频率和为 5X0.037 5 +5X0.012 5 =5X0.05= 0.25.

3、 前3个小组的频率和为1 0.25 = 0.75 , 抽取的学生人数是拒=48.故选C.0.”4 .某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这 50名学生中抽出 编号150号，并分组，第一组 15号，第二组610号，第十组码为12的学生，则在第八组中抽得号码为 的学生.【答案】37试题分析：由题设知第八组的号码数比第三组的号码数大（8-3） X由此能求出结果.解：这50名学生随机编号150号，并分组，第一组 15号，第二组610号，第十组4650号,在第三组中抽得号码为 12的学生，则在第八组中抽得号码为12+（8-3） X5=37点评：抽样选用哪一种抽样形式，要根据题目所给的总体情况来决

4、定，若总体个数较少，可采用抽签法，若总体个数较多且个体各部分差异不大，可采用系统抽样，若总体的个体差异较大，可采用分层抽样.5 .甲校有3600名学生，乙校有 5400名学生，丙校有1800名学生.为统计三校学生某方面的情况，计划 采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，则应在甲校抽取的学生数是 .【答案】30试题分析：分层抽样时样本容量与总体容量成正比.6 .某学校高一、高二、高三共有2400名学生，为了调查学生的课余学习情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知高一有 820名学生，高二有 780名学生，则在该学校的高三应抽取名学生.x y zx,y,z,则，820

5、 780 800【答案】40 试题分析：高三学生人数为 800,如设高一、高二、高三抽取的人数分别为又 x y z 120 ,解得 z 40 .7 .从某校高三上学期期末数学考试成绩中，随机抽取了60名学生的成绩得到频率分布直方图如下:ME 0019000075小otm（1）根据频率分布直方图，估计该校高三学生本次数学考试的平均分;（2）若用分层抽样的方法从分数在30,50和130,150的学生中共抽取3人，该3人中成绩在130,150的有几人？（3）在（2）中抽取的3人中，随机抽取 2人，求分数在 30,50和130,150各1人的概率.【答案】（1）该校高三学生本次数学考试的平均分为92分

6、；（2）抽取的3人中分数在130, 150的人有1,2人；（3） P 2.3试题分析：（1）根据由频率分布直方图，计算平均值的方法：分别取各个小矩形的宽的中点的横坐标乘以该组的频率，然后将这些乘积相加，即可得到该校高三学生本次数学考试的平均分的估计值；（2）先根据频率分布直方图确定分数在30,50和130,150的学生人数各有多少，然后按比例进行抽取，即可得到在130 , 150中应抽取的人数；（3）根据（2）中抽取的3人中，有2人的分数在 30,50 ,有一人的分数在130,150 ,从而可确定基本事件总数，然后确定满足要求的基本事件数，根据古典概率的计算公式即可得到分数在 30,50和13

7、0,150各1人的概率.试题解析：（1）由频率分布直方图，得该校高三学生本次数学考试的平均分为0.0050 X 20X40+0.0075 X 20X60+0.0075 X 20X80+0.0150 X20X 100+ 0.0125 X20X 120+0.0025X20X140= 92.4 分（2）样本中分数在30, 50）和130, 150的人数分别为6人和3人3所以抽取的3人中分数在130 , 150的人有3 1 （人）8分9（3）由（2）知：抽取的 3人中分数在30 , 50）的有2人，记为a,b分数在130, 150的人有1人，记为c,从中随机抽取2人.总的情形有（a,b）,（a,c）,

8、（b,c）三种.2而分数在30 , 50）和130 ,150各1人的情形有（a,c）,（ b, c）.两种故所求概率 P 3考点：1.频率分布直方图；2.平均值的计算；3.分层抽样；4.古典概率.8.在育民中学举行的电脑知识竞赛中，将九年级两个班参赛的学生成绩（得分均为整数）进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30 , 0.15 , 0.10 , 0.05 ,第二小组的频数是40.（1）求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图；004（2）求这两个班参赛的学生人数是多少；（3）这两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第几小

9、组内Q,Q20.0O 49.5 593 69.5 79.5 89.5 99.5 分数【答案】（1）第二小组的频率为 0.40,补全的频率分布直方图详见解析；（2） 100人；（3）九年级两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第二小组内.【解析】试题分析：（1）先从所给的直方图中得出第一、三、四、五小组的频率，然后用1减去第一、三、四、五 频率 、小组的频率和得到第二小组的频率，接着由勺！确定第二小组的小长方形的高，从而可补全频率分布直方图；（2）用第二小组的频数除以该组的频率，即可计算出九年两个班参赛学生的总人数；（3）要确定中位数所在的小组，只需先确定各小组的频数，从第一小组开始累加，当和达到总

10、人数的一半时的组就是中位数所在的小组.试题解析：（1）二.各小组的频率之和为1.00,第一、三、四、五小组的频率分别是 0.30, 0.15, 0.10, 0.05第二小组的频率为：1.00 (0.30 0.15 0.10 0.05) 0.40 频率丁洛在59.569.5的第二小组的小长万形的图 组距示（2）设九年级两个班参赛的学生人数为X人第二小组的频数为 40人，频率为0.4040八，0.40,解得 x 100 x所以这两个班参赛的学生人数为100人（3）因为 0.3 X100= 30, 0.4 X 100= 40, 0.15 X 100= 15,即第一、第二、第三、第四、第五小组的频数分

11、别为30,所以九年级两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第二小组内0.40100.04,则补全的频率分布直方图如图所0.10 X 100= 10, 0.05 X 100=540, 15, 10, 5考点：1.频率分布直方图；2.转化与运算能力Xi yi nx y二）Xi2 n（x）2i 1试题解析：解：（1）x4,y2.23.85.56.5 7.02 xi590, xi yii 1112.35XX 5xyi 12xi5 xi 1112.3 5 4 5290 5 421.23 6 分;9.关于某设备的使用年限 x和所支出的维修费用 y （万元），有如下的统计资料:x23456y2.23.85.56

12、.57.0（1）如由资料可知y对x呈线形相关关系.试求：线形回归方程；（a y bX , b（2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少?【答案】（1） y bx a 1.23x 0.08.（2）12.38万元.试题分析：（1）根据所给的数据，做出变量 x, y的平均数，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数b,在根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出a的值，从而得到线性回归方程；（2）当自变量为10时，代入线性回归方程，求出当年的维修费用，这是一个预报值.于是 a y bx 5 1.23 4 0.08.所以线形回归方程为:y bx a 1.23x 0.08.8 分;当x 10时，y1.23

13、10 0.08 12.38（万元），即估计使用10年是维修费用是12.38万元.12 分;考点：线性回归方程.12. 2013年春运期间，长沙火车站在某大学开设了一个服务窗口。假设每一位顾客办理业务所需时间都是 整数分钟，对这1000名顾客办理业务所需时间统计结果如下：办理业务所需时间（分钟）12345人数100400300100100以记录的这1000名顾客办理业务所需时间的频率作为各所需时间发生的概率。（1）求一位顾客办理业务时间不超过3分钟的概率；（2）估计顾客办理业务所需时间的平均值。4【答案】（1） 一位顾客办理业务时间不超过3分钟的I率为4。5（2）估计顾客办理业务所需时间的平均值

14、为：2.7 （分钟）。100 1+400 2+300 3+100 4 100 51000【解析】试题分析：(1)记A为事件“一位顾客办理业务时间不超过3分钟”，Ai、A、备分别为表示事件“该顾客办理业务时间为1分钟”， 率视作概率有：P (A)1001000,P ()104001000二，P (A3) 5300100010，“该顾客办理业务时间为 2分钟”，“该顾客办理业务时间为,3分钟”，将频Q A A1 A2 A3,且A、A2、A3是互斥事件,123 4P(A)=P(A1)+P (A2)+P (A。= - + -+ = - 10 5 10 54故一位顾客办理业务时间不超过3分钟的概率为_。

15、5(2)估计顾客办理业务所需时间的平均值为：100 1+400 2+300 3+100 4 100 5 2.7 (分钟)。1000考点：本题主要考查互斥事件的概率计算公式，平均数的概念及其计算。点评：中档题，互斥事件和的概率等于各事件概率的和。解答本题，认真审题，读懂图表是关键。13.已知函数f (x)2sin(2x ) 1 (x R)6(1)求函数f (x)的最小正周期及单调递减区间;(2)若 x0,求f (x)的值域.2【答案】(1)最小正周期 T,单调递减区间为:k,56,k Z ； (2) -2,1 .试题分析：(1)由f(x) Asin(3X 6的最小正周期是L 可得周期，由正弦函数

16、的单调性，只要解不等式2k 2x26 2k 32，kZ ,可得减区间;(2)冗冗冗5冗由 x 0,一求得 2x -,266 6再结合正弦函数可得f (x)值域.试题解析：(1)函数的最小正周期又由2k 2x22k2k5Tk-所以函数的单调递减区间为:(2)由0 x 一得22x5r，所以sin2x值域：-2,114.已知向量 a (1, 2) , b (3,4).(1)求a b与a b的夹角；(2)若a ( a【答案】(1) a b与a b的夹角为3-; (2)1.4rrrb),求实数的值.rr rb ( 2,6)与a b (4, 2),从而可求得r r r r(a b)(a b)2 4 6 (

17、 2)r20 , |ar|ar _b| 20 ,再由平面向量数量积的定义r(ar rr rr rrb)(ab)| ab| | ab| cosr r r ra b, a br r r r 可求得cos a b,a b、2,从而可知夹角为234r arb (1 3 ,2rr r r(ab)可知 a (a4 ),从而可以得到关于rrb) 0 ,再由已知条件ar(1,2) , b ( 3,4)可求得的方程1 34 80即可解得试题分析：(1)由条件中a (1,2), b ( 3,4)可求得a试题解析：(1) a (1, 2) ,b (3 , 4), a b (2,6) ,a b (4,2),2分cos

18、 a b, a b(2,6) (4, 2)20_2.40 , 20402023 又.a b, a b (0, ) , a b, a b ；4(2)当 a(ab)时，a (ab)0 ,(1,2) (13 ,24 ) 0 ,则 13480 ,考点：平面向量的数量积.15 .已知函数 f (x)73sin 2x 2sin2 x .(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间0,上的最大值和最小值.2【答案】(1); (2) 3,0试题分析：(1 )利用二倍角公式对原函数进行降哥，再利用辅助角公式进行化简，化简成2f (x) 2sin(2x ) 1,则周期T ；(2)利用换元法，将2x 一当成

19、一个整体，根据0 x 一,2sin(2 x -) 1 3.6262则 一 2x 66试题解析：(1) f (x) J3sin2x 1,一，2f (x)的最小正周期 T .2 Q 0 x ， 一 2x 266cos2x 2sin(2 x ) 161 sin(2x ) 1260 2sin(2 x )1 36f (x)在区间0,一上的最大值是3,最小值是0.2考点：1.二倍角公式；2.三角函数图像、性质与最值16 .已知向量 a (3, 2), b ( 1,0),r(1)求 |ar2b|;(2)当 xa (3 x)b/a 2b 时，求 x 的值.【答案】（1）押；（2）试题分析：（1）先求出r r

20、_2 b （1, 2）,再利用向量模的坐标公式可得|a 2b | /T44 J5 ;r(2)先求出xa (3rx）b的坐标（4x 3, 2x）,再利用向量平行的坐标运算公式建立关于x的方程，求出x即可得到结果.试题解析:解:(1)a 2b (3, 2) ( 2,0) (1, 2)r r |a 2b | ,1 4、, 5(2)rxa(3r x)b(3x, 2x) (x 3,0) (4x 3, 2x)r 当xa2( 4x解得：(33)r r x)b/a(2x)1r2b时考点：1.向量模的坐标公式；2.向量平行的坐标公式.17.已知cos为第三象限角.(1)求 sin , tan的值;(2)求 si

21、n( ), tan 24的值.【答案】（1）24(2)三 7试题分析：（1）试题解析：由同角间的基本关系式与的范围可得;（2）由两角和的正弦和倍角的正切公式展开可得解：(1) Q cos为第三象限角,sin1 cos2(5)tansincos3_545由（1）sin(4) sincos4cossin 一43)7.510tan22 tan1 tan21(3)24247考点：同角间的基本关系，两角和的正弦,倍角公式的正切公式18 .已知比口区+匚0sq = ?/ ,那么sin £的值为，cos2 a的值为22 T【解析】(小如“6)2=1+sin Cf = 4. sin tz = 1由倍

22、角公式得J31.11 L LCi 2.cos2 上=1-2sin =919 .已知“为锐角且tan （工+） =2,4【答案】（1）11)求 tan a(2)Vysin (2 口+三)gos_ sinO-4coe2<I的值.【解析】试题分析：（1）给值求值问题，关键研究角之间关系.本题只需展开即可tan+口 ) =2由 4展开得1+tanW= Vf_±_1-t皿口一，解得tana=W； （2）所求式子较复杂，需先化简.先统一角，五sin (2Q+?)83口 一 sin。cos2 a2cos (sin 2 cos2 ) sin sin (2 cos 1) cos cos 2.si

23、n coscos2cos2,因此只需求s1n ，cos的值即可.由同角三角函数关系得tan （马修）=2试题解析：（1）4Viosin a= 10 , cos a = 10 ,因此原式为ntarr+tanCI=2 l+t-u f山-tan-tan1 心 门一上F4，即 1 tan口，解之得 tan “= 3；2sin (2U+r) gos.a为锐角且巨sin a = 1。cos a +sin(2)cos2CL2cos (sin 2 cos2 ) sin sin (2 cos 1) cos cos 2.sin cos cos2cos21tan a = 3cos a = 10 ,可得20.已知：s

24、in OC = 3 , cos( a + 3 )=50< a < 27t<3兀，求cos 3的值.2试题分析：现根据同角三角函数关系式求cos和sin的值，将cos 转化为cos根据余弦两角和差公式即可求出。.解因为sinI。cos .12 sincos(sin(,1 cos2(coscos(cos( )cos sin()sin1.考点:同角三角函数关系式；2余弦的两角和差公式;3转化思想。r _21,设向量 a (J3 sin x,sin x)rb (cosx,sin x),r(1)若 |a|r|b|，求x的值;(2)设函数f (x)0,-2r r a b ,求f （x）的

25、最大值。【答案】（1）(2)-2试题分析：（1）利用向量的坐标运算建立方程即可解决;（2）利用两角和与差的三角函数公式把f1 八 一.一r 一f x =sin 2x -1,然后利用三角函数知识即可62试题解析：（1）由3 sin x2sin x4sin2 cosx2sin x1,f 2.b ,彳#4sin 2x=1,又x0,-,21sin x 一 2r r -2a ?b 3 sin xcosx sin x旦in2x21cos2x 21.一 sin20,时,sin 2x 取最大值1,所以f x的最大值为-.222.求 sin 210° + cos240° + sin10 &#

26、176; cos40 ° 的值.【解析】(解法1)因为40。=30。+ 10。，于是原式=02 0. 31210 ) = sin 10 + cos10 一一 sin10 +sin10 223 (sin 210° + cos210° ) = 3.4 4(解法 2)设* = $所210° + cos240° + sin10 ° cos40 °= 1+1 + sin10° cos40 ° +cos10° sin40sin 210° +cos2(30° +10° ) + s

27、in10° cos(30 ° + ( 3 cos10 ° 1 sin10 ° )=y=cos210° + sin 240° +cos10° sin40 ° .贝Ux+y1 = 2=2 + sin50 ° =2+cos40° , x y=cos80° cos20 ° 8 k0k 20一sin50 ° 1 = cos40 ° .因此 2x= 3 ,故 x = 3222423 .设a、b是不共线的两个非零向量uuu r r uuur r uuur(1)若 OA

28、2a b,OB 3a b,OCr ra 3b,求证：A BC三点共线;r r r r（2）若8a kb与ka 2b共线，求实数k的值.4.r r r r【答案】（1）证明详见解析;(2)当8a kb与ka 2b共线时，kr r uuu uuu试题分析：（1）利用向量证明三点共线，先建立平面向量的基底a,b,求出AB、BC,找到uurR使得BCuurunr uuurAB ,从而说明AB/BC,再说明两个向量有一个公共点B即可；（2）根据8a kb与ka2b共线，得至118ar kbr r（ka 2b）,然后根据向量相等的条件，建立k、 的方程组,r r r (3a b) (2 ar r rb) a 2b求解即可得到k的值.uuu uuu uuu试题解析：（1）证明：AB OB OAuuui uuur uuu 而 BC OC OBr r r r(a 3b) (3a b)r r2a 4brr uuur2(a 2b)2ABuuui uuuAB与BC共线，又有公共端点B，.二A、BC三点共线，使得r r8a kbr r(ka 2b)rr r(8 k)a (k 2 )b 0a与b不共线2822 或 2 k 4.k 2 k 2 k 4 k 424.在4ABC中，E、F分别为AC AB的中点，BE与CF相交于G