点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用

1、点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用广西南宁外国语学校 隆光诚（邮政编码530007） 圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。 若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。本文就双曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。定理 在双曲线（0，0）中，若直线与

2、双曲线相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则.证明：设M、N两点的坐标分别为、，则有，得又同理可证，在双曲线（0，0）中，若直线与双曲线相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则.典题妙解例1 已知双曲线，过点作直线交双曲线C于A、B两点.（1）求弦AB的中点M的轨迹；（2）若P恰为弦AB的中点，求直线的方程.解：（1）焦点在y轴上.设点M的坐标为，由得：，整理得：所求的轨迹方程为（2） P恰为弦AB的中点，由得：即直线的方程为，即例2 已知双曲线与点（1）斜率为且过点P的直线与C有两个公共点，求的取值范围；（2）是否存在过点P的弦AB，使得AB

3、的中点为P？（3）试判断以为中点的弦是否存在.解：（1）直线的方程为，即由得直线与C有两个公共点，得解之得：且的取值范围是（2）双曲线的标准方程为设存在过点P的弦AB，使得AB的中点为P，则由得：由（1）可知，时，直线与C有两个公共点，存在这样的弦.这时直线的方程为（3）设以为中点的弦存在，则由得：由（1）可知，时，直线与C没有两个公共点，设以为中点的弦不存在.例3 过点作直线交双曲线于A、B两点，已知（O为坐标原点），求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.解：在双曲线中，焦点在轴上.设弦AB的中点为.由平行四边形法则知：，即Q是线段OP的中点.设点P的坐标为，则点Q的坐标为.由得：，整理得

4、：配方得：.点P的轨迹方程是，它是中心为，对称轴分别为轴和直线的双曲线.例4. 设双曲线的中心在原点，以抛物线的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线 （）试求双曲线C的方程； （）设直线与双曲线交于两点，求； （）对于直线，是否存在这样的实数，使直线与双曲线的交点关于直线 (为常数)对称，若存在，求出值；若不存在，请说明理由解：（）由得，抛物线的顶点是，准线是.在双曲线C中，. 双曲线C的方程为.（）由得：.设，则. （）假设存在这样的实数，使直线与双曲线的交点关于直线对称，则是线段AB的垂直平分线. 因而，从而. 设线段AB的中点为.由得：，. 由得：.由、得：.由得：，.又由

5、得：直线与双曲线C相交于A、B两点，0，即6，且. 符合题意的的值存在，.金指点睛1. (03全国)已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于M、N两点，MN的中点的横坐标为，则此双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 2.（02江苏）设A、B是双曲线上两点，点是线段AB的中点.（1）求直线AB的方程；（2）如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆，为什么？3. 已知双曲线，过点作直线交双曲线于A、B两点. （1）求弦AB的中点M的轨迹; （2）若点P恰好是弦AB的中点，求直线的方程和弦AB的长.4、双曲线C的中心在原点，并以椭圆的焦点为焦点，

6、以抛物线的准线为右准线.（1）求双曲线C的方程；（2）设直线与双曲线C相交于A、B两点，使A、B两点关于直线对称，求的值.参考答案1. 解：在直线中，时，. 由得.又由得.故答案选D.2. 解：（1），焦点在上. 由得：，.所求的直线AB方程为，即.（2）设直线CD的方程为，点在直线CD上， ，.直线CD的方程为.又设弦CD的中点为，由得：，即.由得.点M的坐标为.又由得.由两点间的距离公式可知：.故A、B、C、D四点到点M的距离相等，即A、B、C、D四点共圆.3. 解：（1），焦点在上. 设点M的坐标为.若直线的的斜率不存在，则轴，这时直线与双曲线没有公共点，不合题意，故直线的的斜率存在.由得：，整理，得：.点M的轨迹方程为.（2）由得：，.所求的直线方程为，即.由得，解之得：. 4. 解：（1）在椭圆中，焦点为.在抛物线中，准线为.在双曲线中