测量物体的高

1、名 师 辅 导教学内容：测量物体的高度背景材料为什么埃拉托色尼能够成为第一个推算出地球周长的人？2000多年前，古希腊的埃拉托色尼用简单的测量工具计算出地球的周长埃拉托色尼（约公元前275前194年）博学多才，他通晓天文地理，是诗人、历史学家、语言学家和哲学家，曾担任过亚历山大博物馆馆长在离亚历山大城约800公里的塞恩城（今埃及阿塞旺附近），夏日正午的阳光可以直照井底，因而此时地面上所有的直立物都应该没有影子，但亚历山大城地面上的直立物却仍有影子细心的埃拉托色尼发现了这一现象，他认为直立物的影子说明亚历山大城的阳光与直立物形成了夹角根据地球是圆球和阳光直线传播这个前提，从假想的地心向塞恩城和亚

2、历山大城引两条直线所形成的夹角，再根据两地之间的距离，便能计算出地球的周长埃拉托色尼按照相似三角形的关系，测出夹角为7°，是地球圆周角的五十分之一，因此推算出地球周长约为4万公里，这一结果与实际周长相差无几他还算出太阳与地球之间的距离为147亿公里，结果与实际距离149亿公里也惊人的相近埃拉托色尼为什么能成为第一个推算出地球周长的人呢？课前准备一、课标要求1经历设计活动方案，自制仪器或运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的过程2能够对所得到的数据进行分析，能够对仪器进行调整和对测量结果进行矫正，从而得到符合实际的结果3能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题4培养不怕困难的品

3、质，发展合作意识和科学精神二、活动准备1测倾器两个2皮尺或卷尺等测量工具三、预习提示1关键概念：测倾器的制作及使用方法2关键原理：直角三角形边角关系的知识3预习方法提示：本节课属于活动课，首先讨论，设计方案，然后进行实地测量四、预习效果反馈1简单的测倾器由 ， 和 组成2测量底部可以到达的物体的高度就是已知 和 ，求 ，但必须注意最后还须再加上 的高度3测量底部不可以到达的物体的高度往往需要测两次 和一次 ，最后也要再加上 的高度课堂跟讲一、背记知识随堂笔记测量高度二、教材中“？”解答1问题（P26） 解答：直接读出测倾器的指示数因为当测仰角时用到“同角的余角相等” 测俯角时用到“对顶角相等”

4、“同角的余角相等” 2活动二的问题（P26） 解答：MN=MEEN=·tana理由：在RtMEC中，已测得EC=AN=，MCE=，tan=EM=EC·tan=·tanMN=·tana3活动三的问题（P27） 解答：MN=MEa，而=b理由：在RtMED中，tan=，ED=在RtMEC中，tan=，EC=又ECED=DC，故=b由此式可求出ME的长，而MN=MEEN=MEa4议一议（P27） 解答：（1）测量物体高度的方法除本节外，还有利用相似三角形测影长与物高的比例，构造直角三角形等（2）如图1-5-1，测出M的仰角MCE=，测倾器的高AC=a，然后根据

5、AN=即可求出测点A到物体MN的水平距离AN三、重点难点易错点讲解重点难点：1测倾器的制作简易测倾器可以自己制作，用木板做一个半圆刻度盘，半径是1520cm（90°0°90°），用螺钉螺母把它和一根长130cm的木杆联在一起，并在半圆圆心处挂一铅垂线，直径的两端钉两个标针（如图1-5-2）当大杆与地面垂直时，通过标针的视线是水平的2用测倾器测量倾斜角的方法（1）把测倾器插在一点（图1-5-3），使测倾器的木杆的中心线与铅垂线重合，这时标针连线在水平位置； （2）转动半圆刻度盘，使视线通过两标针，并且刚好落在目标物顶部B处；（3）根据同角的余角相等，可以知道，所测倾

6、斜角即仰角EOB等于铅垂线与零度线间所夹的角，读出铅垂线所指的度数，就是EOB的度数注意：（1）测倾器可用教学时用的量角器（木制的，半径为20cm）只需把指针换成一根杆，长约130cm，把刻度改为（90°0°90°），如图1-5-4所示（2）90°0°90°的意思是使半圆刻度盘的刻度以0°为中点，然后向左、向右分别增加到90°为止，也就是说，这个半圆刻度盘的刻度不是0°180°（3）测倾器的制作和使用原理是：同角的余角相等3测量底部可以到达的物体的高度如图1-5-5，以测量旗杆AB的高度为例，如

7、果从测点到旗杆底部的水平距离可以直接量得，高度AB就可以测出，具体如下：（1）工具测倾器、卷尺（2）步聚：在测点D处安置测倾器，测得旗杆顶的仰角ACE=量出仪器的高CD=EB=b，和测点D到旗杆的水平距离BD=CE=a按照AB=atanb的表达式，就可求得旗杆高这是因为AB=AEEB=atanb4测量底部不可以到达的物体的高度，如图1-5-6，以测量物体MN的高度为例，如果两个测点A、B之间的距离可以测得，高度MN就可以测出，具体如下：（1）工具两个测倾器、卷尺（2）步骤：在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角MCE=在测点A与物体之间的B处安置测倾器（A，B与N在同一条直线上），测得此时M的

8、仰角MDE=量出测倾器的高度AC=BD=a，以及测点A、B之间的距离AB=b按照=b，MN=MEa，就可求得MN的高易错点：1半圆刻度盘的刻度以0°为中点，然后向左，向右分别增加到90°为止，不能误认刻度是0°180°2眼睛与两个标针不在同一直线上测量时必须保证眼睛与两个标针在同一直线上（视线上），同时在测倾斜角时眼睛、两个标针及目标点也应位于同一直线上【例】 某同学要测量操场上旗杆AB的高度，现已将测得的数据填入下表，请你完成下列实验报告题目测量底部可以到达的旗杆高测量目标测得数据测量项目第一次第二次平均值BD的长a=2015ma=1997m测倾器的高

9、b=123mb=121m倾斜角=30°15=29°45计算过程思维入门指导：求出a和b的平均值，再解直角三角形解：=2006，=122，=30°在RtACE中，ACE=，EC=tanACE=，AE=EC·tanACE=·tanAB=AEBE=·tan122=2006×122=128（m）答：旗杆高128m点拨：a、b和的平均值应求准四、经典例题精讲【例】 如图1-5-7，A、B是两幢地平面高度相等、隔岸相望的建筑物，B楼不能到达由于建筑物密集，在A的周围没有开阔地带，为了测量B楼的高度只能利用A楼的空间，A的各层楼都可到达，

10、且能看见B现有的测量工具为皮尺和测角器（皮尺可用于测量长度，测有器可以测量仰角、俯角或两视线间的夹角）（1）请你设计一个测量B楼高度的方法：要求写出测量步骤和必要的测量数据（用字母表示），并画出测量图形；（2）用你测量的数据（用字母表示），写出计算B楼高度的表达式思维入门指导：本题是一道开放性试题，摘自2002年重庆市中考题，解题方法很多，表达式也是多种多样的解：（1）如图1-5-8，设AC为A楼，BD表示B楼，测量步骤为：用测角器在A楼的顶端A点测量到B楼楼底的俯角用测角器在点A测量B楼楼顶的仰角用皮尺从A楼顶放下，测量点A到地面的高度为（2）如图1-5-8，在RtACD中，CD=a

11、5;tanDAC=在RtAEB中，BE=AE·tanAE=CD，BE=·tanB楼高BD=BEED=BEAC=·tana=a（1）点拨：如果在A楼底端C点测仰角BCD，应考虑测角器的高度或身高，不能忽略当堂练习（5分钟）如图1-5-9，在测量旗杆AB的高度时，有以下几个测量步骤：量出仪器高CD=BE=b和水平距离BD=a在测点D处安装测倾器，测得旗杆顶的仰角ACE=选定测点D按照AB=AEb=atanb的表达式求得AB的高请你重新排出正确的测量步骤的序号 【同步达纲练习】课后巩固练习（80分 90分钟）一、基础题（4题12分，其余每题4分，共24分）1升国旗时，某

12、同学站在离旗杆底部24m处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为30°，若两眼离地面15m，则旗杆高度约为 （精确到01m，173）2雨后初晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面2m远的一块积水处，他看到了旗杆顶端的倒影如果旗杆底端到积水处的距离为40m，该生眼部高度是15m，那么旗杆的高度是 3如图1-5-10，为了测量河对岸旗杆AB的高度，在点C处测得旗杆顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进20m到达D处，在点D处测得旗杆顶端A的仰角为45°，则旗杆AB的高度为 （精确到01m，参考数据：=1414，=1732） 4如图1-5-11，在侧面为矩形MN

13、PQ的平台上正中竖立一根旗杆CD已知平台高MQ=3m，宽MN=2m，AN为平台的斜坡当五星红旗上升5m，到达E点时，从A处测得E点的仰角为45°；当红旗到达顶端D处时，在A点测得其仰角为60°，（1）计算旗杆的高度；（2）当旗手A沿坡AN上到平台至少需走多远？（结果均不取近似值）二、应用题（每题10分，共30分）5如图1-5-12，河对岸有高层建筑物AB，为测量其高度，在C处由点D用测倾器测得顶端A的仰角为30°向高层建筑物前进50m，到达C处，由点D测得顶端A的仰角为45°已知测倾器高CD=CD=12m，求高层建筑物AB的高（取1732） 6如图1-5

14、-13，一勘测人员从B点出发，沿坡角为15°的坡面以5km/h的速度行至D点，用了12min，然后沿坡角为20°的坡面以3km/h的速度到达山顶A点，用了10min，求山高（则AC的长度）用A、B两点的水平距离（即BC的长度）（精确到001km，sin15°=02588，cos15°=09659，sin20°=03420，cos20°=09397）7已知小山的高为h，为测量小山顶上的铁塔AB的高x，在平地上选择一点P，在P点处测得B点的仰角为，A的仰角为（见表中测量目标图）题目测量山顶铁塔高测量目标已知数据山高BCh=15348m测量

15、项目第一次第二次平均值测得数据仰角29°1729°19=仰角34°0133°57=（1）试用、和h的关系表示铁塔高x；（2）在表中根据第一次和第二次的“测量数据“，填写“平均值”一列中、的数值；（3）根据表中数据求出铁塔高x的值（精确到001m）三、中考题（26分）8（2003，南宁，8分）下表是小明同学填写实习报告的部分内容题目在两岸近似平行的河段上测量河宽测量目标图示测得数据CAD=60°，AB=20mCBD=45°，BDC=90°请你根据以上条件，计算出河宽CD（结果保留根号）9（2003，辽宁，10分）如图1-5-1

16、4所示，山上有一座铁塔，山脚下一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有开阔平整地带，该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得，从A、D、C三点可看到塔顶端H，可供使用的测量工具有皮尺，测倾器（1）请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案具体要求如下：测量数据尽可能少；在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测A、D间距离，用m表示；如果测D、C间距离，用n表示；如果测角，用、等表示测倾器高度不计）（2）根据你测量的数据，计算顶端到地面的高度HG（用字母表示） 10（2004，昆明，8分）如图1-5-15，初三年级某班同学要测量校园

17、内国旗旗杆的高度，在地面的C点用测角器测得旗杆顶A点的仰角AFE=60°，再沿直线CB后退8米到D点，在D点又用测角器测得旗杆顶A点的仰角AGE=45°；已知测角器的高度是16米，求旗杆AB的高度（的近似值取17，结果保留小数）加试题：竞赛趣味题（10分）在边长为2的菱形ABCD中，B=45°，AE为BC上的高将ABE沿AE所在直线翻折后得ABE，它与四边形AECD重叠部分的面积是多少？参考答案四、1度盘；铅锤；支杆2仰角；直角边；求另一直角边；测倾器3仰角；测倾器间的距离；测倾器一、1153m 解：依据题意，画出草图，其中眼睛的位置在点A，旗杆用CD表示，则AB

18、=15m，BD=24m过点A作AECD，垂足为E，则CAE=30°，AE=24m，DE=AB=15mtanCAE=，=CE=8mCD=158153（m）点拨：解本题应画草图，结合草图把这个实际问题转化为解直角三角形问题230m 点拨：本题通过两个三角形相似的性质，列比例式解题3273m 点拨：本题忽略测倾器的高度4解：（1）设旗杆CD的高度为xm，依题意有EB=ECCB=8，BD=x3RtABE中，ABE=90°，BAE=45°，AB=BE=8RtABD中，ABD=90°，BAD=45°，tan60°=x=83（2）RtAPN中，AP

19、N=90°，NP=3，AP=ABBP=7AN=（m）答：旗杆的高度为（83）m，旗手A沿斜坡AN上到平台至少需走m二、5解：AB高695m 点拨：这是一个不折不扣的“底部不可以到达物体”的高度测量题6解：过D作DFBC于F，BD=5×=1，AD=3×=05在RtBFD、RtDEA中，AC=AEEC=AEDF=AD·sin20°BD·sin15°=05×034201×02588043（km），BC=BFFC=BFDE=BD·cos15°AD·cos20°=1×

20、;0965905×09397=144（km）答：山高约043km，山脚B到山顶的水平距离约为144km点拨：过D作垂线构造直角三角形，把原图分解为两个直角三角形和矩形7解：（1）在RtPBC中，tan=在RtPAC中，tan=，=，解得x=（1）·h（2）得=29°18，=33°59（3）x=（1）×153483088（m） 答：略三、8解法一：设DA为xm，BD=DAAB=x20CBD=45°，CDB=90°，DC=BD= x20在RtCDA中，DAC=60°，tan60°=解得x=10（+1）DC=10（+1）20=（10+30）（m） 答：略解法二：设DC为xmAB=20，CDB=90°，DBC=45°，DC=DB=xm在RtCDA中，DAC=60°，tan60°=，（x20）=x（1）x=20，x=10（+1）=（10+30）答：略点拨：本题由于两个已知角都是特殊角，所以可用三角函数定义去解9解：方