深圳市南山区届高三上学期期末考试数学试题(理科)

1、深圳市南山区2013届高三上学期期末考试 数 学 (理科) 2013.01.16 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟.注意事项：1、答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损. 之后务必用黑色签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、班级、姓名及座位号，在右上角的信息栏填写自己的考号，并用2B铅笔填涂相应的信息点2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上. 不按要求填涂的，答案无效3、非选择题必须用黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每

2、题答题空间，预先合理安排. 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案.不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效4、考生必须保持答题卡的整洁，不折叠，不破损.考试结束后，将答题卡交回5、考试不可以使用计算器第卷(选择题共40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的编号用铅笔涂在答题卡上1、已知全集U=xN*|x<6，A=1，3，B=3，5，则U(AB)等于 A. 1，4 B. 1，5 C.2，4 D.2，5第3题图主视图左视图俯视图2、复数的值是A. 4 B.4i C.4i D.43、如图所示，一

3、个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，第4题图2-2yOAB1那么这个几何体的全面积为A.4 B. 2C.3 D. 开 始S=1，i=1i<输出S结 束是否S=S+2ii=i+1第5题图4、如右图所示为函数f(x)=2sin(x+)(>0，)的部分图像，其中A，B两点之间的距离为5，那么f(1)=A.2 B. C. D.25、阅读右侧程序框图，为使输出的数据为31，则处应填写的数字为A.5 B.4 C.6 D.76、点P(2，1)为圆(x1)2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为A. x+y1=0 B. 2x+y3=0 C.2xy5=

4、0 D. xy3=0 7、将一枚骰子抛掷两次，所得向上点数分别为m和m，则函数在1，+)上为增函数的概率是A. B. C. D.8、定义运算，则为A.奇函数 B.偶函数 C.常函数 D.非奇非偶函数第卷(非选择题共110分)二、填空题：本大题共7小题，第14、15小题任选一题作答，多选的按第14小题给分，每小题5分，共30分请把答案填在答题卡上9、展开式中x4的系数是 (用数字作答). 10、已知等差数列an的公差d0，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是 . 11、已知双曲线 (a>0，b>0)的一条渐近线方程为x+2y=0，则双曲线的离心率e的值为_.12

5、、已知函数f(x)、g(x)分别有下表给出：x123 f(x)133 x123g(x)321则fg(1)的值为 ；满足的fg(x)>gf(x)的值是_. 13、若实数x，y满足约束条件，且x0，则xy的最大值是_.14、(坐标系与参数方程选讲选做题) BCAOP第15题图 已知曲线C的极坐标方程是=6sin，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t为参数)上，则直线l与曲线C相交所得的弦的弦长为_. 15、(几何证明选讲选做题)如右图，O是半圆的圆心，直径，PB是圆的一条切线，割线PA与半圆交于点C，AC=4，则PB=_.三、解答题：本大

6、题共6小题，共80分，解答应写出文字说明或演算步骤.16、(本小题满分12分)已知函数，a为常数，aR，且是方程f(x)=0的解.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)当x0，求函数f(x)的值域.17、(本小题满分12分)某运动员射击一次所得环数x的分布列如下：X0678910P00.20.30.30.2现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为.(1)求该运动员两次都命中7环的概率；(2)求的分布列；(3)求的数学期望E.18、(本小题满分14分)如图，已知四棱柱P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB/CD，ABC=450，DC=1，A B=2，PA平面ABCD

7、，PA=1.(1) 求证：AB/平面PCD； (2)求证：BC平面PAC； ABCDP(3)求二面角A-PC-D的平面角的正弦值.19、(本小题满分14分)设函数(x>0且x1).(1)若f(x0)=0，求x0的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)已知对任意x(0，1)成立，求实数x的取值范围.20、(本小题满分14分)已知椭圆C： (a>b>0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求AOB面积的最大值.21、(本小题满分14分)数列an中，a1=1，an+1=2ann2+3n

8、，(nN*).(1)求a2，a3的值；(2)试求，的值，使得数列an+n2+n为等比数列；(3)设数列bn满足：，Sn为数列bn的前n项和，证明：n2时，.高三数学(理)参考答案及评分标准 2013.01.16一、选择题：(10×5=50)题 号12345678答 案BADCC DDA1、解：U=xN*|x<6=1，2，3，4，5，若A=1，3，B=3，5，则AB=1，3，5，所以U(AB)= 2，4，故选择B.2、解：复数，故选择A.3、解：一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体是底面直径为1，高为1的圆柱，其全面积为，第

9、4题图2-2xyOAB1C故选择D.4、解：如右图所示为函数f(x)=2sin(x+)(>0，)的部分图像，其中|AB|=5，|AC|=4，则|BC|=3，所以A(1，2)，f(x)的最小正周期为6，则，所以，开 始S=1，i=1i<输出S结 束是否S=S+2ii=i+1第5题图把点A(1，2)代入上式，得，()，所以，那么，故选择C.5、解：阅读右侧程序框图，S=1，i=1S=3，i=2S=7，i=3S=15，i=4S=31，i=5.为使输出的数据为31，则处应填写的数字为5，故选择C.6、解：由题意知，点P (2，1)，圆心C(1，0)，则kPC=1，所以kAB=1，故直线AB

10、的方程为y(1)=1×(x2)，即xy3=0，故选择C.7、解：函数，则y=2mx2n，而函数在1，+)上为增函数，等价于在1，+)上y=2mx2n0恒成立，等价于2mn(1m，n6，m，nN*).将一枚骰子抛掷两次，所有事件的基本情况(m，n)：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，

11、5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共有36种.其中2mn有：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)， (3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共有30种，设事件“函数在1，+)上为增函数”为M，则满足条件的概率是，故选择D.8、解：由题意知，则，其函数f(x)的定

12、义域为， 所以x|2x2且x0，即定义域关于原点成中心对称.而，所以，所以f(x)为奇函数，故选择A.二、填空题：(4×5=20) 9、解：展开式中的通项公式：，令3r5=4，则r=3，所以展开式中x4的系数是(1)2C53=10.10、解：已知等差数列an的公差d0，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则a52=a1·a16，即(a1+4d)2=a1·(a1+16d)，整理得a1=2d，而这个等比数列的公比是.11、解：由题意知，双曲线的一条渐近线方程为x+2y=0，即，则双曲线的离心率为：.12、解：已知函数f(x)、g(x)分别有下表给出：x123 f(x)

13、131 x123g(x)321fg(1)= f(3)=1；当x=1时，fg(1)=3，gf(1)=3，fg(x)>gf(x)不成立；当x=2时，fg(2)=3，gf(2)=1，fg(x)>gf(x)成立；当x=3时，fg(3)=1，gf(3)=1，fg(x)>gf(x)不成立.故fg(1)的值为1；满足的fg(x)>gf(x)的值是2.xyOA(1，1)x+2y3=0x+2y3=0xy=013、解：实数x，y满足约束条件，且x0，其平面区域如图所示，设目标函数z=xy，当目标函数线经过点A(1，1)时，则xy的最大值是11=0.14、解：把曲线C的极坐标方程=6sin，

14、化为普通方程为：x2+ y2=6y，即x2+ (y3)2=9，其圆心为(0，3)，半径r=3.直线l的参数方程是(t为参数)化为普通方程为：x2y+1=0，圆心(0，3)到直线l的距离为，BCAOP第15题图 则直线l与曲线C相交所得的弦的弦长为. 15、解：连结BC，在RtABC中，AC=4，由勾股定理得，由射影定理BC2=AC·CP，得CP=2，再由切割线定理PB2=PC·PA=2×6=12，即.三、解答题：(80)16、解：(1) ，则，解得a=2. 3分所以，则， 5分所以函数f(x)的最小正周期为2. 6分(2)由x0，得，则， 10分则，则函数f(x)

15、的值域为. 12分17、解：某运动员射击一次所得环数x的分布列如下：X0678910P00.20.30.30.2(1)该运动员两次都命中7环的概率为P(7)= 0.2×0.2=0.04； 2分(2)可能取值为7，8，9，10， 4分P(=7)= 0.04；P(=8)= 2×0.2×0.3+0.32= 0.21； 5分P(=9)= 2×0.2×0.3+ 2×0.3×0.3+0.32= 0.39； 7分P(=10)= 2×0.2×0.2+ 2×0.3×0.2+ 2×0.3

16、5;0.2+0.22= 0.36； 9分的分布列为78910P0.040.210.390.3610分(3)的数学期望E=7×0.04+8×0.21+9×0.39+10×0.36=9.07. 12分ABCDPE18、解：(1)证明：AB/CD，CD Ì平面PDC，AB平面PDC，AB/平面PDC.3分(2)证明：在是直角梯形ABCD中，过点C作CEAB于点E，则四边形ADCE为矩形，AE=DC=1，又AB=2，BE=1，在RtBEC中，ABC=450，CE=BE=1，4分 AD=CE=1，则，AC2+BC2=AB2，BCAC. 6分又PA平面AB

17、CD，BC Ì平面ABCD，BCPA， 7分而PAAC=A，BC平面PAC； 8分(3)方法1 PA平面ABCD， CDÌ平面ABCD，CDPA，又CDAD，而PAAD=A，CD平面PAD，PDÌ平面PAD，CDPD.又PA=AD=1， 10分点D到PC的距离， 11分在三棱锥P-ACD中，ABCDPzyxVP-ACD=VD-PAC，点D到PAC的距离，13分. 14分方法2如图，分别以AD，AB，AP 为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则由题设可知，A(0，0，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(1，0，0)， 9分，设为平面PAC的一个法向量，则

18、，即，设a=1，则b=1， 10分同理设为平面PCD的一个法向量，求得，11分， 13分. 14分19、解：(1)函数(x>0且x1)，则， 2分若f(x0)=0，可求得. 4分(2)列表如下：x(1，+)f(x)0f(x)单调递增极大值单调递减单调递减8分故单调递增区间是，单调递减区间是和(1，+).(3)在两边取对数，得， 10分由于0<x<1，所以(*)， 11分由(*)的结果可知，当x(0，1)时， 13分为使(1)式对所有x(0，1)成立，当且仅当，即a>eln2. 14分20、解：(1)设椭圆的半焦距为c，依题意， 2分解得，b=1， 3分 ， 4分所求椭圆C的方程为：. 5分(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当ABx轴时，； 6分当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m， 7分由已知，得， 8分把y=kx+m代入椭圆方程，整理得(3k2+1)x2+6kmx+3m23=0， 9分(k0) ， 11分当且仅当，即时等号成立. 12分当k=0时，综上可知，|AB|max=2， 13分当|AB|