浙江省绍兴一中高二下期末数学试卷解析

1、2015-2016学年浙江省绍兴一中高二（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1复数z=1i，则对应的点所在象限为（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2设，则a，b，c的大小关系是（）AabcBacbCbacDbca3已知函数f（x）=x2+2，g（x）=log2|x|，则函数F（x）=f（x）g（x）的大致图象为（）ABCD4一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75、距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为（）A海里/时B34海里/时C海里/时D34海里/时5

2、已知函数f（x）=2sin（2x+）（|），若，则f（x）的一个单调递增区间可以是（）ABCD6已知点F是双曲线=1（a0，b0）的右焦点，点E是左顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于点A，若tanAEF1，则双曲线的离心率e的取值范围是（）A（1，+）B（1，2）C（1，1+）D（2，2+）7若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质下列函数中具有T性质的是（）Ay=sinxBy=lnxCy=exDy=x38已知函数f（x）（xR）是以4为周期的奇函数，当x（0，2）时，f（x）=ln（x2x+b）若函数f（x）在区间2，2上有

3、5个零点，则实数b的取值范围是（）A1b1BbC1b1或b=Db1或b=二、填空题：本大题共7小题，每题4分，共28分9函数y=cos2x+sinxcosx的最小正周期是，最小值是10若抛物线C：y2=2px的焦点在直线x+y3=0上，则实数p=；抛物线C的准线方程为11在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a=2，b=，B=60，则ABC的面积为12已知是第四象限角，且sin（+）=，则sin=tan（）=13在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影若点P（1，0）在直线axya2=0上的投影是Q，则Q的轨迹方程是14已知f（x）=，则 fxR时，如果函数

4、f（x）g（x）恒成立，那么称函数f（x）是函数g（x）的“优越函数”若函数f（x）=2x2+x+2|2x+1|是函数g（x）=|xm|的“优越函数”，则实数m的取值范围是三、解答题：本大题共5小题，共48分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16设函数y=lg（x2+4x3）的定义域为A，函数y=，x（0，m）的值域为B（1）当m=2时，求AB；（2）若“xA”是“xB”的必要不充分条件，求实数m的取值范围17设ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（2bc）cosA=acosC（1）求A；（2）若a=1，求b+c的取值范围18已知椭圆E： +=1（ab0）的一个焦点与短轴

5、的两个端点是正三角形的三个顶点，点P（，）在椭圆E上（）求椭圆E的方程；（）设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：MAMB=MCMD19已知函数f（x）=kx+log2（4x+1）（kR）是偶函数（）求k的值；（）设函数g（x）=log2（a2x4a），其中a0若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，求a的取值范围20已知函数f（x）=lnxx2，g（x）=x2+x，mR，令F（x）=f（x）+g（x）（）求函数f（x）的单调递增区间；（）若关于x的不等式F（x）mx1恒成立，求整数m的最小值；（）若m=1，且正

6、实数x1，x2满足F（x1）=F（x2），求证：x1+x212015-2016学年浙江省绍兴一中高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1复数z=1i，则对应的点所在象限为（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】利用复数的运算法则及其几何意义即可得出【解答】解：复数z=1i，=2i=，其对应的点所在象限为第四象限故选D2设，则a，b，c的大小关系是（）AabcBacbCbacDbca【考点】对数值大小的比较；有理数指数幂的化简求值【分析】利用指数函数

7、和对数函数的单调性即可得出结论【解答】解：，0log321，lg（sin2）lg1=0a1，0c1，b0bca故选B3已知函数f（x）=x2+2，g（x）=log2|x|，则函数F（x）=f（x）g（x）的大致图象为（）ABCD【考点】函数的图象【分析】根据函数的奇偶性和函数值的变化趋势，即可判断【解答】解：f（x）=x2+2=f（x），g（x）=log2|x|=g（x），F（x）=f（x）g（x）=f（x）g（x）=F（x），函数F（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，当x+时，f（x），g（x）+，当x+时，F（x），故选：B4一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75、距塔68海里

8、的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为（）A海里/时B34海里/时C海里/时D34海里/时【考点】解三角形的实际应用【分析】根据题意可求得MPN和，PNM进而利用正弦定理求得MN的值，进而求得船航行的时间，最后利用里程除以时间即可求得问题的答案【解答】解：由题意知MPN=75+45=120，PNM=45在PMN中，由正弦定理，得=，MN=68=34又由M到N所用时间为1410=4（小时），船的航行速度v=（海里/时）；故选A5已知函数f（x）=2sin（2x+）（|），若，则f（x）的一个单调递增区间可以是（）ABCD【考点】正弦函数的单调性【分析】由正弦函数最值的

9、结论，得x=是方程2x+=+2k的一个解，结合|得=，所以f（x）=2sin（2x+），再根据正弦函数的图象与性质，得函数的单调增区间为+k， +k（kZ），对照各选项可得本题答案【解答】解：当x=时，f（x）=2sin（2x+）有最小值为2x=是方程2x+=+2k的一个解，得=+2k，（kZ）|，取k=0，得=因此函数表达式为：f（x）=2sin（2x+）令+2k2x+2k，得+kx+k，（kZ）取k=0，得f（x）的一个单调递增区间是故选：D6已知点F是双曲线=1（a0，b0）的右焦点，点E是左顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于点A，若tanAEF1，则双曲线的离心率e的取值范围是（

10、）A（1，+）B（1，2）C（1，1+）D（2，2+）【考点】双曲线的简单性质【分析】由题意可得E（a，0），F（c，0），|EF|=a+c，令x=c，代入双曲线的方程可得|AF|，再由正切函数的定义，解不等式结合离心率公式，计算即可得到所求范围【解答】解：由题意可得E（a，0），F（c，0），|EF|=a+c，令x=c，代入双曲线的方程可得y=b=，在直角三角形AEF中，tanAEF=1，可得b2a（c+a），由b2=c2a2=（ca）（c+a），可得caa，即c2a，可得e=2，但e1，可得1e2故选：B7若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=

11、f（x）具有T性质下列函数中具有T性质的是（）Ay=sinxBy=lnxCy=exDy=x3【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为1，进而可得答案【解答】解：函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为1，当y=sinx时，y=cosx，满足条件；当y=lnx时，y=0恒成立，不满足条件；当y=ex时，y=ex0恒成立，不满足条件；当y=x3时，y=3x20恒成立

12、，不满足条件；故选：A8已知函数f（x）（xR）是以4为周期的奇函数，当x（0，2）时，f（x）=ln（x2x+b）若函数f（x）在区间2，2上有5个零点，则实数b的取值范围是（）A1b1BbC1b1或b=Db1或b=【考点】函数奇偶性的性质；函数的周期性【分析】由奇函数的性质和函数的周期性，可得0、2是函数f（x）的零点，将函数f（x）在区间2，2上的零点个数为5，转化为当x（0，2）时，x2x+b0恒成立，且x2x+b=1在（0，2）有一解，由此构造关于b的不等式组，解不等式组可得实数b的取值范围【解答】解：由题意知，f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）=0，即0是函数f（x）的零点

13、，因为f（x）是定义在R上且以4为周期的周期函数，所以f（2）=f（2），且f（2）=f（2），则f（2）=f（2）=0，即2也是函数f（x）的零点，因为函数f（x）在区间2，2上的零点个数为5，且当x（0，2）时，f（x）=ln（x2x+b），所以当x（0，2）时，x2x+b0恒成立，且x2x+b=1在（0，2）有一解，即或，解得b1或b=，故选：D二、填空题：本大题共7小题，每题4分，共28分9函数y=cos2x+sinxcosx的最小正周期是，最小值是【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】利用二倍角公式及辅助角公式将y化简，由周期公式及正弦函数性质即可求得y的最小正周期

14、及最小值【解答】解：y=cos2x+sinxcosx，=（2cos2x1）+2sinxcosx+，=cos2x+sin2x+，=sin（2x+）+，y的最小正周期T=，当2x+=2k时，sin（2x+）取最小值为1y的最小值为ymin=1+=，故答案为：，10若抛物线C：y2=2px的焦点在直线x+y3=0上，则实数p=6；抛物线C的准线方程为x=3【考点】抛物线的简单性质；直线与抛物线的位置关系【分析】求出直线与坐标轴的交点，得到抛物线的焦点坐标，然后求出p，即可得到抛物线的准线方程【解答】解：直线x+y3=0，当y=0时，x=3，抛物线的焦点坐标为（3，0），可得p=6，抛物线的标准方程为

15、：y2=12x，它的准线方程为：x=3故答案为：6；x=311在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a=2，b=，B=60，则ABC的面积为【考点】正弦定理【分析】由条件利用余弦定理求得c的值，再根据ABC的面积为acsinB计算求得结果【解答】解：在ABC中，a=2，b=，B=60，则由余弦定理可得b2=7=a2+c22accosB=4+c22c，解得c=3，或c=1（舍去）故ABC的面积为acsinB=23=，故答案为：12已知是第四象限角，且sin（+）=，则sin=tan（）=【考点】两角和与差的正切函数；两角和与差的正弦函数【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求co

16、s（+）的值，进而可求sin，cos，tan的值，从而利用两角差的正切函数公式即可解得得解tan（）的值【解答】解：因为：是第四象限角，所以：，解得：，可得：sin=，所以：，所以：故答案为：，13在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影若点P（1，0）在直线axya2=0上的投影是Q，则Q的轨迹方程是x2+（y+1）2=2【考点】圆的标准方程【分析】直线axya2=0恒过定点M（1，2），PQ垂直直线axya2=0，故PQM为直角三角形，Q的轨迹是以PM为直径的圆【解答】解：直线axya2=0恒过定点M（1，2）点P（1，0）在直线axya2=0上的射影是QPQ直线l

17、，故PQM为直角三角形，Q的轨迹是以PM为直径的圆Q的轨迹方程是x2+（y+1）2=2故答案为：x2+（y+1）2=214已知f（x）=，则 f是周期为6的周期函数，进而可得答案【解答】解：当x0时，f（x）=f（x1）f（x2），f（x1）=f（x2）f（x3），得出f（x）=f（x3），可得f（x+6）=f（x），所以周期是6所以f=f（0），=201=故答案为：15xR时，如果函数f（x）g（x）恒成立，那么称函数f（x）是函数g（x）的“优越函数”若函数f（x）=2x2+x+2|2x+1|是函数g（x）=|xm|的“优越函数”，则实数m的取值范围是【考点】函数恒成立问题【分析】根据“优

18、越函数”的定义转化为不等式恒成立问题，利用数形结合进行求解即可【解答】解：若函数f（x）=2x2+x+2|2x1|是函数g（x）=|xm|的“优越函数”，则等价于2x2+x+2|2x+1|xm|对xR恒成立f（x）=2x2+x+2|2x+1|=，分别作出函数f（x）=2x2+x+2|2x1|和G（x）=|xm|当xm时，G（x）=xm，当xm时，G（x）=x+m，由图象知，当G（x）=xm与f（x）=2x2x+1相切时，由2x2x+1=xm，即2x22x+1+m=0，由判别式=442（1+m）=48（1+m）=0得m=，当G（x）=x+m与f（x）=2x2+3x+3相切时，由2x2+3x+3=

19、x+m，即2x2+4x+3m=0，由判别式=1642（3m）=0得m=1，当G（x）=x+m与f（x）=2x2x+1相切时，由2x2x+1=x+m，即2x2+1m=0，由判别式=042（1m）=0得m=1，综上若函数f（x）=2x2+x+2|2x+1|是函数g（x）=|xm|的“优越函数”，则故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共48分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16设函数y=lg（x2+4x3）的定义域为A，函数y=，x（0，m）的值域为B（1）当m=2时，求AB；（2）若“xA”是“xB”的必要不充分条件，求实数m的取值范围【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；对数函数的

20、定义域【分析】（1）先求出A=（1，3），再求出B=（，2），取交集即可；（2）根据：“xA”是“xB”的必要不充分条件，得不等式解出即可【解答】解：（1）由x2+4x30，解得：1x3，A=（1，3），又函数y=在区间（0，m）上单调递减，y（，2），即B=（，2），当m=2时，B=（，2），AB=（1，2）；（2）首先要求m0，而“xA”是“xB”的必要不充分条件，BA，即（，2）（1，3），从而1，解得：0m117设ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（2bc）cosA=acosC（1）求A；（2）若a=1，求b+c的取值范围【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）由（

21、2bc）cosA=acosC，利用正弦定理可得：2sinBcosAsinCcosA=sinAcosC，化为2sinBcosA=sinB，可得cosA=，即可得出A（2）由余弦定理可得：a2=b2+c22bccosA，化简再利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：（1）由（2bc）cosA=acosC，利用正弦定理可得：2sinBcosAsinCcosA=sinAcosC，化为2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sin（A+C）=sinB，sinB0，可得cosA=，A（0，），A=（2）由余弦定理可得：a2=b2+c22bccosA=（b+c）22bc2bccos，化为1=

22、（b+c）23bc（b+c）2=，b+c1当且仅当b=c时取等号解得1b+c2，b+c的取值范围是（1，218已知椭圆E： +=1（ab0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P（，）在椭圆E上（）求椭圆E的方程；（）设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：MAMB=MCMD【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【分析】（）由题意可得a=2b，再把已知点的坐标代入椭圆方程，结合隐含条件求得a，b得答案；（）设出直线方程，与椭圆方程联立，求出弦长及AB中点坐标，得到OM所在直线方程，再与椭圆方程联立，

23、求出C，D的坐标，把MAMB化为，再由两点间的距离公式求得MCMD的值得答案【解答】（）解：如图，由题意可得，解得a2=4，b2=1，椭圆E的方程为；（）证明：设AB所在直线方程为y=，联立，得x2+2mx+2m22=0=4m24（2m22）=84m20，即设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则，|AB|=x0=m，即M（），则OM所在直线方程为y=，联立，得或C（，），D（，）则MCMD=而MAMB=（105m2）=MAMB=MCMD19已知函数f（x）=kx+log2（4x+1）（kR）是偶函数（）求k的值；（）设函数g（x）=log2（a2x4a），其中a0若函数f（

24、x）与g（x）的图象有且只有一个交点，求a的取值范围【考点】对数函数图象与性质的综合应用【分析】（）根据函数f（x）是R上的偶函数，利用f（1）=f（1），求出k的值；（）a0时，函数g（x）的定义域是（2，+），转化为方程f（x）=g（x）在（2，+）上有且只有一解，构造函数，讨论a的取值，求出满足条件a的取值范围即可【解答】解：（）函数f（x）=kx+log2（4x+1）是R上的偶函数，f（1）=f（1），即k+log2（41+1）=k+log2（4+1），2k=log25log2=2，解得k=1；（）当a0时，函数g（x）=log2（a2x4a）的定义域是（2，+），由题意知，x+log

25、2（4x+1）=log2（a2x4a）在（2，+）上有且只有一解，即方程=a2x4a在（2，+）内只有一解；令2x=t，则t4，因而等价于关于t的方程（a1）t24at1=0在（4，+）上只有一解；设h（t）=（a1）t24at1，当a=1时，解得t=（4，+），不合题意；当0a1时，h（t）的对称轴t=0，故h（t）在（0，+）上单调递减，而h（0）=1，方程（a1）t24at1=0在（4，+）上无解；当a1时，h（t）的对称轴t=0，故只需h（4）0，即16（a1）16a10，此不等式恒成立；综上，a的取值范围是（1，+）20已知函数f（x）=lnxx2，g（x）=x2+x，mR，令F（x）=f（x）+g（x）（）求函数f（x）的单调递增区间；（）若关于x的不等式F（x）mx1恒成立，求整数m的最小值；（）若m=1，且正实数x1，x2满足F（x1）=F（x2），求证：x1+x21【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分