正方形的有关提高练习题

1、正方形专题1、已知正方形ABCD和等腰直角三角形BEF，BE=EF，BEF=90°，按图1放置，使点E在BC上，取DF的中点G，连接EG，CG（1）延长EG交DC于H，试说明：DH=BE（2）将图1中BEF绕B点逆时针旋转45°，连接DF，取DF中点G（如图2），莎莎同学发现：EG=CG且EGCG在设法证明时他发现：若连接BD，则D，E，B三点共线你能写出结论“EG=CG且EGCG”的完整理由吗？请写出来（3）将图1中BEF绕B点转动任意角度（090°），再连接DF，取DF的中点G（如图3），第2问中的结论是否成立？若成立，试说明你的结论；若不成立，也请说明理由2

2、、（2011鸡西）在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EFAB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图（1），易证EG=CG且EGCG（1）将BEF绕点B逆时针旋转90°，如图（2），则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想（2）将BEF绕点B逆时针旋转180°，如图（3），则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明3、已知：如图，在菱形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在BC的延长线上，EF=EB，EF与CD相交于点G（1）求证：EGGF=CGGD；（2）连接DF，如果EFCD，那么FDC与ADC之间有怎

3、样的数量关系？证明你所得到的结论4、已知：如图，在正方形ABCD中，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F（1）求证：DAE=DCE；（2）当CG=CE时，试判断CF与EG之间有怎样的数量关系？并证明你的结论5、已知正方形ABCD和等腰RtBEF，BE=EF，BEF=90°，按图放置，使点F在BC上，取DF的中点G，连接EG、CG（1）探索EG、CG的数量关系和位置关系并证明；（2）将图中BEF绕B点顺时针旋转45°，再连接DF，取DF中点G（如图），问（1）中的结论是否仍然成立证明你的结论；（3）将图中BEF绕B点转动任意角度（旋转角在0°

4、到90°之间），再连接DF，取DF的中点G（如图），问（1）中的结论是否仍然成立，证明你的结论6、已知E是正方形ABCD的一边AB上任一点，AC与BD是正方形ABCD的对角线EGBD于G，EFAC于F，AC=10厘米，则EF+EG= 。7、（1）如图1，已知矩形ABCD中，点E是BC上的一动点，过点E作EFBD于点F，EGAC于点G，CHBD于点H，试证明CH=EF+EG；（2）若点E在BC的延长线上，如图2，过点E作EFBD于点F，EGAC的延长线于点G，CHBD于点H，则EF、EG、CH三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；（3）如图3，BD是正方形ABCD的对角线，L在

5、BD上，且BL=BC，连接CL，点E是CL上任一点，EFBD于点F，EGBC于点G，猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；（4）观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有EF、EG、CH这样的线段，并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论8、已知正方形ABCD和等腰直角三角形BEF，按图放置，使点F在BC上，取DF的中点G，连接EG、CG（1）探索EG、CG的数量关系，并说明理由；（2）将图中BEF绕B点顺时针旋转45°得图，连接DF，取DF的中点G，问（1）中的结论是否成立，并说明理由；（3）将图中BEF绕B点转动任意

6、角度（旋转角在0°到90°之间）得图，连接DF，取DF的中点G，问（1）中的结论是否成立，请说明理由9、已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE=AF（1）求证：BE=DF；（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点G，使OG=OA，连接EG、FG判断四边形AEGF是什么特殊四边形？并证明你的结论10、如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF的中点（1）求证：DP平分ADC；（2）若AEB=75°，AB=2，求DFP的面积 11、如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点，点F

7、是边BC上一点，点G是边CD上一点，BE=2ED，CF=2BF，连接AE并延长交CD于G，连接AF、EF、FG给出下列五个结论：DG=GC；FGC=AGF；SABF=SFCG；AF=2EF；AFB=AEB其中正确结论的个数是（）A、5个 B、4个 C、3个 D、2个12、如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PEBC于点E，PFCD于点F，连接EF给出下列五个结论：AP=EF；APEF；APD一定是等腰三角形；PFE=BAP；PD=2EC其中正确结论的序号是13、（2011重庆）如图，梯形ABCD中，ADBC，DCB=45°，CD=2，BDCD过点C作CEAB于E，交对角线B

8、D于F，点G为BC中点，连接EG、AF（1）求EG的长；（2）求证：CF=AB+AF2013年6月柯老师的初中数学正方形组卷一解答题（共9小题）1以ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形他们分别是正方形ABDI，BCFE，ACHG，试探究：（1）如图中四边形ADEG是什么四边形？并说明理由（2）当ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？（3）当ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？2如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q（1）如图1，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系；并

9、加以证明；（2）如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想3如图，在正方形ABCD中，点M在边AB上，点N在边AD的延长线上，且BM=DN点E为MN的中点，DE的延长线与AC相交于点F试猜想线段DF与线段AC的关系，并证你的猜想4已知，四边形ABCD是正方形，MAN=45°，它的两边AM、AN分别交CB、DC与点M、N，连接MN，作AHMN，垂足为点H（1）如图1，猜想AH与AB有什么数量关系？并证明；（2）如图2，已知BAC=45°，ADBC于点D，且BD=2，CD=3，求AD的长；小萍同学通过观察图发现，ABM和AHM关于AM

10、对称，AHN和ADN关于AN对称，于是她巧妙运用这个发现，将图形如图进行翻折变换，解答了此题你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗？5在图1到图3中，点O是正方形ABCD对角线AC的中点，MPN为直角三角形，MPN=90°正方形ABCD保持不动，MPN沿射线AC向右平移，平移过程中P点始终在射线AC上，且保持PM垂直于直线AB于点E，PN垂直于直线BC于点F（1）如图1，当点P与点O重合时，OE与OF的数量关系为_；（2）如图2，当P在线段OC上时，猜想OE与OF有怎样的数量关系与位置关系？并对你的猜想结果给予证明；（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，OE与OF的数量关系为_；位置

11、关系为_6如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AFAC，垂足为A，AF=AE（1）求证：BF=DE；（2）当点E运动到AC中点时（其他条件都保持不变），问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由7（2005乌兰察布）图1是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，过点A1的直线分别与BC1、BE交于点M、N，且图1被直线MN分成面积相等的上、下两部分（1）求的值；（2）求MB、NB的长；（3）将图1沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒（图2）后，求点M、N间的距离8如图所示，有四个动点P，Q，E，F分别从正方形ABCD的四个顶点出发，沿着AB，BC，CD，DA以同样速度向B，C，D，A各点移动（1）

12、试判断四边形PQEF是否是正方形，并证明；（2）PE是否总过某一定点，并说明理由9已知：如图，在正方形ABCD中，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F（1）求证：DAE=DCE；（2）当CG=CE时，试判断CF与EG之间有怎样的数量关系？并证明你的结论2013年6月柯老师的初中数学正方形组卷参考答案与试题解析一解答题（共9小题）1以ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形他们分别是正方形ABDI，BCFE，ACHG，试探究：（1）如图中四边形ADEG是什么四边形？并说明理由（2）当ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？（3）当ABC满足什么条件时，四边形ADE

13、G是正方形？考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；矩形的判定1663009分析：（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得BDEBAC，所以全等三角形的对应边DE=AG然后利用正方形对角线的性质、周角的定义推知EDA+DAG=180°，易证EDGA；最后由“一组对边平行且相等”的判定定理证得结论；（2）根据“矩形的内角都是直角”易证DAG=90°然后由周角的定义求得BAC=135°；（3）由“正方形的内角都是直角，四条边都相等”易证DAG=90°，且AG=AD由ABDI和ACHG的性质证得，AC=AB解答：解：（1）图中四边形

14、ADEG是平行四边形理由如下：四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，AC=AG，AB=BD，BC=BE，GAC=EBC=DBA=90°ABC=EBD（同为EBA的余角）在BDE和BAC中，BDEBAC（SAS），DE=AC=AG，BAC=BDEAD是正方形ABDI的对角线，BDA=BAD=45°EDA=BDEBDA=BDE45°，DAG=360°GACBACBAD=360°90°BAC45°=225°BACEDA+DAG=BDE45°+225°BAC=180°DEA

15、G，四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）（2）当四边形ADEG是矩形时，DAG=90°则BAC=360°BADDAGGAC=360°45°90°90°=135°，即当BAC=135°时，平行四边形ADEG是矩形；（3）当四边形ADEG是正方形时，DAG=90°，且AG=AD由（2）知，当DAG=90°时，BAC=135°四边形ABDI是正方形，AD=AB又四边形ACHG是正方形，AC=AG，AC=AB当BAC=135°且AC=AB时，四边形ADEG是正方形点评：本

16、题综合考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识点解题时，注意利用隐含在题干中的已知条件：周角是360°2如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q（1）如图1，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系；并加以证明；（2）如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质1663009分析：（1）过P作PEBC，PFCD，证明RtPQFRtPBE，即可；（2）证明思路同（

17、1）解答：（1）PB=PQ，证明：过P作PEBC，PFCD，P，C为正方形对角线AC上的点，PC平分DCB，DCB=90°，PF=PE，四边形PECF为正方形，BPE+QPE=90°，QPE+QPF=90°，BPE=QPF，RtPQFRtPBE，PB=PQ；（2）PB=PQ，证明：过P作PEBC，PFCD，P，C为正方形对角线AC上的点，PC平分DCB，DCB=90°，PF=PE，四边形PECF为正方形，BPF+QPF=90°，BPF+BPE=90°，BPE=QPF，RtPQFRtPBE，PB=PQ点评：此题考查了正方形，角平分线的性

18、质，以及全等三角形判定与性质此题综合性较强，注意数形结合思想3如图，在正方形ABCD中，点M在边AB上，点N在边AD的延长线上，且BM=DN点E为MN的中点，DE的延长线与AC相交于点F试猜想线段DF与线段AC的关系，并证你的猜想考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质1663009专题：探究型分析：猜想：线段DF垂直平分线段AC，且DF=AC，过点M作MGAD，与DF的延长线相交于点G，作GHBC，垂足为H，连接AG、CG 根据正方形的性质和全等三角形的证明方法证明AMGCHG即可解答：猜想：线段DF垂直平分线段AC，且DF=AC，证明：过点M作MGAD，与DF

19、的延长线相交于点G则EMG=N，BMG=BAD，MEG=NED，ME=NE，MEGNED，MG=DNBM=DN，MG=BM 作GHBC，垂足为H，连接AG、CG 四边形ABCD是正方形，AB=BC=CD=DA，BAD=B=ADC=90°，GMB=B=GHB=90°，四边形MBHG是矩形 MG=MB，四边形MBHG是正方形，MG=GH=BH=MB，AMG=CHG=90°，AM=CH，AMGCHGGA=GC又DA=DC，DG是线段AC的垂直平分线ADC=90°，DA=DC，DF=AC即线段DF垂直平分线段AC，且DF=AC点评：本题综合考查了矩形的判定和性质

20、、正方形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，全等三角形的性质和判定等知识点，此题综合性比较强，难度较大，但题型较好，训练了学生分析问题和解决问题以及敢于猜想的能力4已知，四边形ABCD是正方形，MAN=45°，它的两边AM、AN分别交CB、DC与点M、N，连接MN，作AHMN，垂足为点H（1）如图1，猜想AH与AB有什么数量关系？并证明；（2）如图2，已知BAC=45°，ADBC于点D，且BD=2，CD=3，求AD的长；小萍同学通过观察图发现，ABM和AHM关于AM对称，AHN和ADN关于AN对称，于是她巧妙运用这个发现，将图形如图进行翻折变换，解答了此题你能根据小萍同学

21、的思路解决这个问题吗？考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）1663009分析：（1）延长CB至E使BE=DN，连接AE，由三角形全等可以证明AH=AB；（2）作ABD关于直线AB的对称ABE，作ACD关于直线AC的对称ACF，延长EB、FC交于点G，则四边形AEGF是矩形，又AE=AD=AF，所以四边形AEGF是正方形，设AD=x，则EG=AE=AD=FG=x，所以BG=x2；CG=x3；BC=2+3=5，在RtBGC中，（x2）2+（x3）2=52解之 得x1=6，x2=1，所以AD的长为6解答：（1）答：AB=AH，证明：延长CB至E使BE=DN

22、，连接AE，四边形ABCD是正方形，ABC=D=90°，ABE=180°ABC=90°又AB=AD，在ABE和ADN中，ABEADN（SAS），1=2，AE=AN，BAD=90°，MAN=45°，1+3=90°MAN=45°，2+3=45°，即EAM=45°，在EAM和NAM中，EAMNAM（SAS），又EM和NM是对应边，AB=AH（全等三角形对应边上的高相等）；（2）作ABD关于直线AB的对称ABE，作ACD关于直线AC的对称ACF，AD是ABC的高，ADB=ADC=90°E=F=90

23、76;，又BAC=45°EAF=90°延长EB、FC交于点G，则四边形AEGF是矩形，又AE=AD=AF四边形AEGF是正方形，由（1）、（2）知：EB=DB=2，FC=DC=3，设AD=x，则EG=AE=AD=FG=x，BG=x2；CG=x3；BC=2+3=5，在RtBGC中，（x2）2+（x3）2=52解得x1=6，x2=1，故AD的长为6点评：本题主要考查正方形的性质和三角形全等的判断，题目的综合性很强，难度中等5在图1到图3中，点O是正方形ABCD对角线AC的中点，MPN为直角三角形，MPN=90°正方形ABCD保持不动，MPN沿射线AC向右平移，平移过程

24、中P点始终在射线AC上，且保持PM垂直于直线AB于点E，PN垂直于直线BC于点F（1）如图1，当点P与点O重合时，OE与OF的数量关系为OE=OF；（2）如图2，当P在线段OC上时，猜想OE与OF有怎样的数量关系与位置关系？并对你的猜想结果给予证明；（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，OE与OF的数量关系为OE=OF；位置关系为OEOF考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；平移的性质1663009分析：（1）根据利用正方形的性质和直角三角形的性质即可判定四边形BEOF为正方形，从而得到结论；（2）当移动到点P的位置时，可以通过证明四边形BEPF为矩形来得到两条

25、线段的数量关系；（3）继续变化，有相同的关系，其证明方法也类似解答：（1）解：OE=OF（相等）；（1分）（2）解：OE=OF，OEOF；（3分）证明：连接BO，在正方形ABCD中，O为AC中点，BO=CO，BOAC，BCA=ABO=45°，（4分）PFBC，BCO=45°，FPC=45°，PF=FC正方形ABCD，ABC=90°，PFBC，PEAB，PEB=PFB=90°四边形PEBF是矩形，BE=PF（5分）BE=FCOBEOCF，OE=OF，BOE=COF，（7分）COF+BOF=90°，BOE+BOF=90°，EOF

26、=90°，OEOF（8分）（3）OE=OF（相等），OEOF（垂直）（10分）点评：本题考查了正方形的性质，解题的关键是抓住动点问题，化动为静，还要大胆的猜想6如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AFAC，垂足为A，AF=AE（1）求证：BF=DE；（2）当点E运动到AC中点时（其他条件都保持不变），问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质1663009分析：（1）根据正方形的性质判定ADEABF后即可得到BF=DE；（2）利用正方形的判定方法判定四边形AFBE为正方形即可解答：（1）证明：正方形ABCD，AB=AD，BAD=90&

27、#176;，AFAC，EAF=90°，BAF=EAD，AF=AE，ADEABF，BF=DE；（2）解：当点E运动到AC的中点时四边形AFBE是正方形，理由：点E运动到AC的中点，AB=BC，BEAC，BE=AE=AC，AF=AE，BE=AF=AE，又BEAC，FAE=BEC=90°，BEAF，BE=AF，得平行四边形AFBE，FAE=90°，AF=AE，四边形AFBE是正方形点评：本题考查了正方形的判定和性质，解题的关键是正确的利用正方形的性质7（2005乌兰察布）图1是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，过点A1的直线分别与BC1、BE交于点M、N，且图1被

28、直线MN分成面积相等的上、下两部分（1）求的值；（2）求MB、NB的长；（3）将图1沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒（图2）后，求点M、N间的距离考点：正方形的判定与性质；一元二次方程的应用；相似三角形的判定与性质1663009专题：代数几何综合题；压轴题；数形结合分析：（1）本题可通过相似三角形A1B1M和NBM得出的关于NB，A1B1，MB，MB1的比例关系式来求，比例关系式中A1B1，BB1均为正方形的边长，长度都是1，因此可将它们的值代入比例关系式中，将所得的式子经过变形即可得出所求的值；（2）由于直线MN将图（1）的图形分成面积相等的两部分，因此BMN的面积为，由此可求出MBNB的值，

29、根据（1）已经得出的MB+NB=MBNB可求出MB+NB的值，由此可根据韦达定理列出以MB，NB为根的一元二次方程，经过解方程即可求出MB、NB的值；（3）根据（2）的结果，不难得出B1M=EN，由于折叠后E与B点重合，因此B1M=BN，那么四边形B1MNB是个矩形，因此MN的长为正方形的边长解答：解：（1）A1B1MNBM且A1B1=BB1=1，即整理，得MB+NB=MBNB，两边同除以MBNB得；（2）由题意得，即MBNB=5，又由（1）可知MB+NB=MBNB=5，MB、NB分别是方程x25x+5=0的两个实数根解方程，得x1=，x2=；MBNB，MB=，NB=；（3）由（2）知B1M=

30、1=，EN=4=，图（2）中的BN与图（1）中的EN相等，BN=B1M；四边形BB1MN是矩形，MN的长是1点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，一元二次方程的应用等知识点，综合性比较强8如图所示，有四个动点P，Q，E，F分别从正方形ABCD的四个顶点出发，沿着AB，BC，CD，DA以同样速度向B，C，D，A各点移动（1）试判断四边形PQEF是否是正方形，并证明；（2）PE是否总过某一定点，并说明理由考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质1663009专题：动点型分析：（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形，故可根据正方形的定义

31、证明四边形PQEF是否使正方形（2）证PE是否过定点时，可连接AC，证明四边形APCE为平行四边形，即可证明PE过定点解答：解：（1）在正方形ABCD中，AP=BQ=CE=DF，AB=BC=CD=DA，BP=QC=ED=FA又BAD=B=BCD=D=90°，AFPBPQCQEDEFFP=PQ=QE=EF，APF=PQB四边形PQEF是菱形，FPQ=90°，四边形PQEF为正方形（2）连接AC交PE于O，AP平行且等于EC，四边形APCE为平行四边形O为对角线AC的中点，对角线PE总过AC的中点点评：在证明过程中，应了解正方形和平行四边形的判定定理，为使问题简单化，在证明过程中，可适当加入辅助线9已知：如图，在正方形ABCD中，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F（1）求证：DAE=DCE；（2）当CG=CE时，试判断CF与EG之间有怎样的