正弦定理余弦定理综合应用典型例题

1、正弦定理、余弦定理综合应用例1.设锐角三角形的内角的对边分别为，（）求的大小；（）求的取值范围解：（）由，根据正弦定理得，所以，由为锐角三角形得（）由为锐角三角形知， ，所以 由此有，所以，的取值范围为例2.已知的周长为，且（I）求边的长； （II）若的面积为，求角的度数解：（I）由题意及正弦定理，得， ，两式相减，得（II）由的面积，得，由余弦定理，得，所以例3.已知a，b，c为ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m（），n（cosA,sinA）.若mn，且acosB+bcosA=csinC，则角B .例4.设的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且A=，c=3b.求的值；解：由余弦定理

2、得 故例5.在中，三个角的对边边长分别为,则的值为 . 例6.在ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c ，若，则_.例7.(2009年广东卷文)已知中，的对边分别为若且，则 【解析】由可知,所以,由正弦定理得,例8.（2009湖南卷文）在锐角中，则的值等于 2 ，的取值范围为 . 解: 设由正弦定理得由锐角得，又，故，例9.（2009全国卷理）在中，内角A、B、C的对边长分别为、，已知，且 求b 解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.又由已知.解得. 解法二:由余弦定理得: .又,。所以又，即由正弦定理得，故 由，解得。10.设ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、

3、c，,，求B.解：由 cos（AC）+cosB=及B=（A+C）得 cos（AC）cos（A+C）=， cosAcosC+sinAsinC（cosAcosCsinAsinC）=, sinAsinC=.又由=ac及正弦定理得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 故 ， 或 （舍去），于是 B= 或 B=. 又由 知或 所以 B=。例11.在中，（）求AB的值。 （）求的值。【解析】（1）解：在 中，根据正弦定理，于是（2）解：在 中，根据余弦定理，得于是=， 从而例12.在ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，sinC=2sinB，则A=【解析】由sinC=2sinB结合正弦定理

4、得：，所以由于余弦定理得：，所以A=30.例13（2010年高考广东卷理科11）已知a,b,c分别是ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=, A+C=2B,则sinC= .【解析】由A+C=2B及A+ B+ C=180知，B =60由正弦定理知，即由知，则，.例14.在ABC中，D为边BC上一点，BD=DC，ADB=120，AD=2，若ADC的面积为，则BAC=_.解析：设，则，由已知条件有，再由余弦定理分别得到，再由余弦定理得，所以例15（2010年高考北京卷理科10）在ABC中，若b = 1，c =，则a = 。【解】由正弦定理，解得，又，所以，所以a = b = 1。例16在ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且 （）求A的大小；（）求的最大值.解：（）由已知，根据正弦定理得即 由余弦定理得 故 ，A=120 （）由（）得：故当B=30时，sinB+sinC取得最大值1。 例17（2010年高考浙江卷理科18）在中，角A，B,C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C= -。（）求sinC的值；（）当a=2，2sinA=sinC，求b及c的长。解：（）因为cos2C=1-2sin2C=，及0C 所以sinC=.（）解：当a=2，2sinA=sinC时，由正弦定理，得 c=4由cos2C