概率论与数理统计习题库

1、长沙理工大学二手货QQ交易群146 808 417#00001已知随机变量X与Y独立，其分布律分别为X10 Y-101pX0.40.6PY0.20.30.5分别求随机变量Z=max(X,Y)，与W=X-Y的分布律。并求(Z,W)的分布律。*00001解:作下表，表中第一行是自变量(X,Y)的全部可能取值点；第二行是第一行各取值相应的概率；第三、第四行分别是第一行各取值点相应的Z、W的取值。（X，Y）(1,-1)(0,-1)(1,0)(0,0)(1,1)(0,1)Pi,j0.080.12,0.120.180.20.3Z=max(X,Y)101011W=X+Y0-11021从上表可以确定

2、Z的取值域为0,1,W的取值域为-1,0,1,函数变量取某值的概率等于该值在表中相应概率之和。例如PZ=0=0.12+0.18=0.3于是，Z、W的分布律分别为：Z01 W-1012PZ0.30.7PW0.120.260.420.2 #00002袋中有两只红球，三只白球，现不放回摸球二次，令(1)求(X,Y)的分布律。(2)求X与Y的相关系数*00002解：（1）显然X、Y的全部可能取值为X=1，0；Y=1，0而PX=1，Y=1=P两次均摸到红球=，同理计长沙理工大学二手货QQ交易群146 808 417算其它的Pij，故有(X,Y)的分布律为：1011/103/1003/

3、103/10（2）#00003设(X,Y)具有概率密度，1)求常数c；2)求PY>2X ； 3)求F(0.5,0.5)*00003解：1) 如图所示区域D为(X,Y)的非0定义域由归一性 图 3)由F(x,y)的几何意义，可将F(0.5,0.5)理*00004解为(X,Y)落在X£0.5,Y£0.5区域（见如图G1）上的概率。故有 #00004已知(X,Y)的分布函数为 （1）求X与Y的边缘概率密度。（2）问X与Y是否相互独立？*00004解：（1） （2） #00005(X,Y)的分布函数为.（1）求X与Y的联合概率密度及边缘概率密度。

4、（2）问X与Y是否不相关？*00005解：（1）先求出(X,Y)的概率密度（2） #00006已知(X,Y)的分布律为xy1011/103/1001/103/10 （1）边缘分布律。（2）求X、Y的相关系数，（3）问X与Y是否不相关？*00006解：（1）xy10pi.11/103/102/503/103/103/5p.j2/53/5 03/103/10（2）（3） #00007已知(X,Y)的概率密度为，（1）求X、Y的边缘分布函数（2）问X与Y独立吗？*00007解：（1） 故与不独立。  #00008已知随机变量(X,Y)的分布律为X Y

5、1200.150.151ab且知X与Y独立，（1）求a、b的值。（2）令，求X与Z的相关系数*00008解：（1）首先，a+b=1-0.15-0.15=0.7又X与Y独立，由定理.a=(a+b)(0.15+a)Þa=0.35b=0.7-0.35=0.35（2） #00009甲乙约定8:009:00在某地会面。设两人都随机地在这期间的任一时刻到达，先到者最多等待15分钟，过时不候。求两人能见面的概率。*00009解：设甲于8点零分钟到达、乙于8点另分钟到达。由题意，与独立且U(0,60)（分）,YU(0,60)（分）,两人能见面等价于<15。为求p|X-Y|<15

6、需求出(X,Y)的概率密度。由定理. 图  #00010(X,Y)的概率密度为（1）试判断 （X,Y)的独立性。（2）问X与Y是否不相关？*00010解：（1）ÞA=2求各一维边缘密度函数fX(x)= 类似可得 故X，Y相互独立。（2）X与Y独立，故X与Y是不相关的。 #00011设某昆虫的产卵数X服从参数为50的泊松分布，又设一个虫卵能孵化成虫的概率为0.8,且各卵的孵化是相互独立的，求此昆虫的产卵数X与下一代只数Y的联合分布律。*00011解：本题已知随机变量X的分布律Pi·:Px=i=由题意易见，该昆虫下一代只数Y在X=i的条件下服从参数为i,0.

7、8的二项分布，即Y|X=iB(I,0.8),故有又由式(),PX=i,Y=j=P(Y=yj|X=xiPX=xi,于是，(X,Y)的分布律为： #00012将一枚硬币连抛三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示在三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出(X，Y)的联合分布律、关于X和Y的边缘分布律*00012解：设“第i次出现正面”(i1，2，3)，则此随机试验共包含8个基本事件，它们及相应的(X，Y)取值为 从而，(X，Y)的联合分布律为将其填入表格，进而得边缘分布律： #00013已知F(x,y)=A(B+arctg, 1)求常数A，B，C。2

8、)求P0<X<2,0<Y<3*00013解： #00014设二维随机变量(X,Y)在矩形域G=(x,y)|0<x<2,0<y<1上服从均匀分布，试求边长为X和Y的矩形面积S的概率密度。*00014解：此题显然是已知(X,Y)的分布，求S=XY的概率密度问题。(X,Y)的概率密度为 图2.7S的分布函数为FS(s)=PS£s=PXY£s当s£0时，FS(s)=0当s³2时，FS(s)=1现在，设0<s<2,曲线xy=s与矩形G的上边交点(s,1);位于曲线xy=s上方的点满足xy>

9、s, 位于曲线xy=s下方的点满足xy<s,于是FS(s)=PS£s=PXY£s=1-PXY³s=于是 #00015设随机变量X与Y独立且均服从标准正态分布，求Z=X+Y的概率密度。*00015解：由题意，随机变量X、Y的概率密度分别为： ， 随机变量Z=X+Y的概率密度为： 故ZN(0,2)一般地，设X1,X2,Xn独立，且XiN(mi,si2)则 #00016设二维随机变量(X,Y)的概率密度为（1）问X与Y是否独立？（2）问X与Y是否不相关？*00016（1）故X与Y不独立。（2）X与Y不是不相关的。 #00017设两个相

10、互独立的子系统L1,L2的寿命分别为X与Y，已知它们的概率密度分别为 其中a>0，b>0,（1） （1） 若系统L由L1,L2串联而成试写出L的寿命Z的概率密度（2） （2） 若系统L由L1,L2并联而成试写出L的寿命Z的概率密度*00017解：（1）由于当L1，L2中有一个损坏时，系统L就停止二作，所以这时L的寿命为Z=min(X,Y)由已知得，X、Y得分布函数分别为 Zmin(X，Y)的分布函数为于是，Zmin(X，Y)的概率密度为（2）由于当且仅当都损坏时，系统L才停止工作，所以这时L的寿命Z为Z=max(X,Y)Z的分布函数为FZ(z)=FX(z)FY(z) =于是，Z=m

11、ax(X,Y)的概率密度为 #00018设(X，Y)服从二维正态分布，其概率密度函数为试求P(XY)*00018 #00019(12分)设随机变量（X，Y）的联合密度函数为（1）求常数C；（2）求关于X和关于Y的边缘密度函数；（3）问X与Y是否相互独立？ *00019解（1）根据得（4分）（2）（8分）（10分）（3），X与Y不独立。 #00020(12分)设随机变量（X，Y）的联合密度函数为（1）求常数C；（2）求；*00020解（1）根据得（4分） （2）（8分）（12分） #00021(12分)设随机变量（X，Y）的联合密度函数为（1）求

12、常数C；（2）求Z=X+Y的密度函数*00021解（1）根据得（4分） （2）根据两个随机变量和的密度函数公式（6分）得当z<0时，而当z0时（10分）因此（12分） #00022(14分)设随机变量（X，Y）的联合密度函数为（1）求常数C；（2）求M=max（X，Y）和m=max（X，Y）的密度函数*00022解（1）根据得（4分） （2）当x<0时，。当x0时，（6分）即（8分）所以随机变量M=max（X，Y）的密度函数为当x<0时，当x0时，（12分）因此m的密度函数为（14分） #00023 一台机器制造直径为X的轴，另一台机器

13、制造内径为的轴套。设（X,Y）的密度函数为如果轴套的内径比轴的直径大0.004但不大于0.036，则两者就能很好地配合成套。现随机地选择轴和轴套，问两者能很好地配合的概率是多少？*00023解：设A轴与机器配套   #00024 一电子部件含两个主要元件，它们的寿命(以小时计)分别为X和Y。设(X，Y)的分布函数为 （1） （1）           求两元件寿命都超过120小时的概率。 （2）求至少有一元件寿命超过120小时的概率。*00024（2） #

14、00025设X与Y的联合密度函数为 求P(X+2Y<1) *00025解：注意到：f(x，y)的表达式中含未知数A，先利用密度函数归一性求出A值。f(x，y)的非零值定义域记为D，则A=4.8 #00026设随机变量X与Y相互独立，且同服从0，1上的均匀分布，试求：Z=|X-Y|的分布函数与密度函数*00026解:先求Z的分布函数 Z的密度函数为（12分） #00027设某公司有100件产品进行拍卖，每件产品的成交价为服从正态分布N(1000,1002）的随机变量，求这100件产品的总成交价不低于9.9万元的概率。*00027解：设第i件产品的成交价为Xi,

15、则XiN(1000,1002)，i=1,2,n又由于X1,X2,Xn独立,总成交价，故有故总成交价不低于9.9万元的概率为13% #00028 设随机向量(X，Y)的联合概率密度函数为试求：(1)常数C；(2)联合分布函数F(x，y)；(3)P(0x1，0Y2)*00028当X，Y为其他情况时，F(x，y)0所以，联合分布函数为 #00029(12分)设随机变量（X，Y）的联合密度函数为（1）求常数C；（2）求（X，Y）的联合分布函数；*00029解（1）根据得（4分）（2）当x<0或y<0时，（6分）当时，（8分）当时（10分）因此（X，Y）的联合分布函数为（

16、12分） #00030(10分)设随机变量（X，Y）的联合密度函数为（1）求常数C；（2）求P（X+Y<1）。*00030解（1）根据得（4分） （10-分 #00031设（X，Y）在圆域上服从均匀分布。（1）求（2）求X与Y的边缘概率密度（3）试判断X与Y是否相互独立？*00031解：（1）（2）（3），X与Y不独立。 #00032(12分) 设随机变量X与Y相互独立，且同服从0，1上的均匀分布，试求：求U与V的相关系数。并判断X与Y是否不相关。（9分）因X与Y独立且同分布，所以DX=DY，因而Cov(U,V)=0，从而，即U与V不相关。（12分

17、）*00032 #00033设随机向量（,）具有下列密度函数，(1)求参数a,(2)判断X与Y的独立性。*00033 #00034设离散型随机向量（X，Y）的联合分布列为：m=0，1，n；n=0，1，2，（>0,0<p<1），求X,Y的边际分布列。*00034 #00035在一个袋中装有n个球，其中有n1个红球，n2个白球，且n1+n2n，现从中任意取出r个球rmin(n1,n2)，设取出的红球数为，取出的白球数为，求（，）的联合分布列及它们各自的边际分布列。*00035 #00036在一批产品中一等品占50%，二等品占30%，三等品占

18、20%，从中任取4件，一、二等品的件数分别为X,Y，求（X,Y）的联合分布列与它们各自的边际分布列。*00036 #00037掷三次均匀的硬币，以X表示出现正面的次数，以Y表示正面出现次数与反而出现次数之差的绝对值，求（X,Y）的分布列及边际分布列。*00037 #00038 设二维随机变量（Z，Y）的联合概率密度为求：1）边缘概率密度2）P（Z+Y>1）3）Z与y的协方差，并判断Z与y是否相关。*00038 #00039设随机向量（,）具有下列密度函数，判断X与Y的独立性。  *00039 #00040设随机向量（X

19、,Y）的密度函数为求（X,Y）的分布函数。*00040 #00041设随机向量（X,Y）的分布函数为求其概率密度及关于X与Y的边缘概率密度。*00041 #00042设随机向量（X,Y）的联合密度为（1）求常数k，（2）求P（0<X<1,0<Y<2），（3）求其分布函数。*00042 #00043设随机向量（X,Y）有密度函数求常数A及（X,Y）的分布函数。*00043 #00044设随机向量（X,Y）的分布函数为求常数A、B、C及（X,Y）的密度函数。*00044 #00045设随机向量（X,Y）的密度函数为：求（1）

20、，（2）， （3），（4）。*00045 #00046设随机向量（X,Y）的密度函数为求。*00046 #00047设随机向量（X,Y）的密度函数为求。*00047 #00048设随机向量（X,Y）的密度函数为求X与Y中至少有一个不小于的概率。*00048 #00049一个电子部件包含两个主要元件，分别以X,Y表示这两个元件的寿命（以小时计），设（X,Y）的分布函数为求两个元件的寿命都超过120小时的概率。*00049 #00050设随机向量（X,Y）具有下列密度函数，(1)求c,(2)求PX<1,(3)判断X与Y的独立性。*00050&

21、#160;#00051设随机向量（X,Y）具有密度函数， (1)求：PX>0.5,Y>0,(2)判断X与Y的独立性。*00051 #00052设随机向量（X,Y）具有下列密度函数，判断X与Y的独立性。*00052 #00053设,是相互独立的随机变量，且都服从0，1上的均匀分布，试求方程x2+x+=0有实根的概率。*00053 #00054设某类电子管的寿命（以小时计）具有密度函数：一架无线电在最初使用的150小时中，三个这类管子没有一个要替换的概率是多少？三个这类管子全都要替换的概率又是多少？假定三个管子的寿命是相互独立的。*00054&#

22、160;#00055设随机向量（X，Y)的分布函数为F(x,y)，用它表示下列概率：（1）P（aX<b,cY<d）,（2）P（aXb,Y<y）,（3）P（X=a,Y<y）,*00055 #00056设随机向量（X，Y)的分布函数为F(x,y)，用它表示下列概率：（1）P（X=a,Y<y）,（2）P（X<x,Y<+）,（3）P（X<-,Y<+）。*00056 #00057 设离散型随机向量（X,Y）的分布列为(X,Y)（1，1）（1，2）（1，3）（2，1）（2，2）（2，3）P问与取什么值时X与Y独立？*00057

23、60;#00058设随机向量（X,Y）有密度函数(1) (1) 求常数c，且证明X与Y独立。(2)求PX>Y*00058 #00059设离散型随机变量X与Y的分布列均为X012P且X与Y独立，求Z=X+Y的分布列。*00059 #00060设随机变量服从0，1上的均匀分布，求一单调增加函数h(x)，使=h()服从指数分布（其参数为）。*00060 #00061设随机变量只能取5，6, 7，16这十二个值，且取每一个值的概率均相同，试求：(1)P(8)，(2)P(014，*00061 #00062设随机变量与独立，服从相同的柯西分布，其密度函数为*0

24、0062 #00063在三角形ABC内任取一点P，连接AP交BC于D，证明D点在BC上服从均匀分布。*00063 #00064设随机变量服从（0，5）上的均匀分布，求方程0有实根的概率。*00064 #00065设随机变量服从正态分布N(0，1)。求： (1)P(002233)， (2)P(一1850.04)， (3)P(一280一121。*00065 #00066设随机变量服从正态分布N(108，9)， (1)求P(101.116)， (2)求常数a，使P(a)090，(1) (1)      

25、;                  求常数a使P(|-a|la)001。*00066 #00067设随机变量服从正态分布N(60，9)，求分点x1,x2,x3,x4,使落在(一，x1)，(x1，x2)，(x2，x3)，(x3,x4)，(x4，)内的概率之比为5:20:50:20:5*00067 #00068设随机变量只能取5，6, 7，16这十二个值，且取每一个值的概率均相同，试求： (1)P(8)， (

26、2)P(014)(2) (2)                        P(10)。*00068 #00069设随机向量（,）服从二元正态分布N（m1,m2,，），求*00069 #00070随机变量的分布函数F(x)为严格单调的连续函数，服从0，1上的均匀分布。试证的分布函数与的分布函数相同。*00070 #00071已知随机变量

27、的密度函数为（1） （1） 求相应的分布函数F(x)，（2）求P（<0.5），P（>1.3），P（0.2<<1.2）。*00071 #00072设随机向量（X,Y,Z）有密度函数试证明X,Y,Z两两独立但不相互独立。*00072 #00073设随机向量（X,Y,Z）有密度函数证明：X与Y独立，但Z与（Y,Z）不独立。*00073 #00074设随机向量（X1,X2,）的联合密度函数为试证（X1,X2）与（X3,X4）相互独立。*00074 #00075设随机向量（，)的分布函数为F(x,y)，用它表示下列概率：（1）P（a<

28、b,c<d）,（2）P（ab,<y）,（3）P（=a,<y）,（4）P（<x,<+）,（5）P（<-,<+）。*00075 #00076设随机向量（，）的分布函数为F(x,y)，用它表示（，）落在区域D（如图所示）内的概率。*00076 #00077证明：二元函数对每个变元单调非降，左连续，F（-，y）=F(x,-)=0,F(+,+)=1，但不是二元分布函数。*00077 #00078设独立随机变量X与Y分别服从二项分布。求X+Y的分布列。*00078 #00079设独立随机变量与分别服从参数为与的普哇松分布，求+的分布列。*00079 #00080设X与Y为独立同分布的离散型随机变量，其分布列为求X+Y的分布列。*00080 #00081设随机变量X与Y独立，X服从（-h,h）上的均匀分布(h>0)，Y的分布函数为F(x)，求X+Y的分布函数。*00081 #00082设随机变量X与Y独立，且X为连续型随机变量，证明：X+Y也是连续型随机变量。设随机变量X与Y独立，假如：*00082 #0008