例析含双量词的数学问题的转化

1、例析含双量词的数学问题的转化安徽省板阳县会宫中学(246740)朱贤良付朝华我们知道，含量词的数学问题不仅考查到逻辑推理知识，还涉及到相关的数学知识和重要的数学思想方法.而求解含两个量词的数学问题比求解单量词的数学问题更为复杂，是考查考生对所学数学知识掌握理解水平与数学思维能力的一种重要题型，在高考与竞赛中屡见不鲜.本文拟在对含单个量词的数学问题理解的基础上，以含两个量词的数学问题为研究对象，归纳总结出含双量词的数学问题中参数范围的 求解方法.类型一任意-任意”型这类问题的表现形式为：x1 D1, x2 D2,不等式成立.a 一1【例1】(2008天津)已知函数f x x b x 0 ,其中a

2、,b R.若对于任意的a ,2 ,不x2一，1等式f x <10在1,1上恒成立，求b的取值范围4【解析一】先看成关于x的不等式恒成立，再看成关于a的不等式恒成立，逐步确定主元.a由题知f (x) 1 )，结合a 0,可得f(x)的单调性与极值情况如下： xx(，插Va(va,0)(0,国y函，)f (x)十0一一0十f(x)极大值极小值11故f (x)在-,1上的最大值为f( )与f(1)的较大者 4411由题意，对于任意的 a 1,2,不等式 f (x)< 10在，1上恒成立，当且仅当 f(x)max<10,即 24一 139 .f(4)T0,即八1 4a对任意的a 1,

3、2成立.2f(1尸 10 b< 9 a2从而得b< 7,所以满足条件的b的取值范围是(,-.44【解析二】分离双主元a与x,再转化为两个独立函数的最值大小问题，一步到位.1b< 10在7,1上恒成乂1a12,2由题忌，任后J勺a 一,2,不等式x 2x12x -,1 ,a < x (10 b)x41 a ,22即2w 162< 110 b410 b7 b< - -412x -,1 ,amax < x2 (10 b)xmin，4【评注】求解多元变量的不等式恒成立问题，通常可以利用逐步确定主元的策略.在本例中，涉及到的变量有三个，固定 a与b，先解决关于x

4、的不等式恒成立问题，进而求解关于a的不等式恒成立问题，是为思路一.一般地，若双主元易于分离，可分离之，则问题演变为“ X D1, x2 D2，f(x1)&g(x2)"，等价于 D1,x2 D2 时，f(x1)max & g(x2)min"，从而实现一步到位，是为思路二.类型二任意-存在”型这类问题的表现形式有二：x1 D1, x2 D2，等式成立；x1 D1, x2 D2，不等式成立.4x【例 2】(1)已知 f(x) ,x (0,2);设 a 0，g(x) ax a,x (0,2) .若对任意 x (0,2)， x 1总存在x2 (0,2)，使f(x1)

5、g(x2)，求实数a的取值范围.1 a(2) (2010 山东)已知函数 f(x) lnx ax 1 (a R). x1 ，. . (I )当a 一时，讨论f (x)的单倜性； 22 _.1,(n)设 g(x) x 2bx 4.当 a 时，若对任意 x (0,2),存在 x21,2,使 f(x1) g(xz)，4求实数b取值范围.解析：(1) x1 (0,2)，x2 (0,2)，f(x。 gd)x1 (0,2), x2 (0,2)时，函数f(x1)值域是g(x2)值域的子集. 4x 4先求函数f(x，)的值域：x1 (0,2)时，f(x1)1，其值域为(0,2;'1 x工x1x再求函数

6、g(x2值域：当a 0时，g(x2) ax2 a在(0,2)上递增，其值域为(a,a);当 a 0 时，g(x2)ax2 a在(0,2)上递减，其值域为(a, a).)增;2) (2,).a 0 a 0题意等价于或(0,2( a,a) (0,2(a, a)(2)第(I )问答案为：当a 0时，f (x)在(0,1)减，(1,一 1-11当 0 a 时，f(x)在(0,1)减，(1- 1)增，(一1,)减;2aa1 一当a 时，f(x)在(0,)减. 2第(n)问中， 为(0,2),X21,2,使 fM) g(X2)(0,2) , X21,2 时，f(X1)min g(X2)min.11由(I)

7、知，a -,X1 (0,2)时，f(X1) m. f(1)-.2又 g%) X22bX2 4, X21,2 ,1当 b1 时，g(X2)min g(1) 52b,故252b b2,1/, 2.当 1b 2时，g(X2)min g(b)4b ,故24bb一117当 b 2时，g(X2)ming(2) 8 4b,故 一8 4b b .28综上，b178【评注】这种 任意-存在”型问题的常见题型及具体转化策略为: X1 D1, X2 D2, f(X1) g(X2)f (X1)在D1上的值域g(X2)在D2上的值域；X1D1, X2D2, f (X1) g(X2)f (X)在D1上的最小值g(X2)在

8、D2上的最小值；X1D1, X2 D2, f(X1) g(X2)f (X1)在D1上的最大值g(X2)在D2上的最大值读者可以小试下例:【例3】(1 ) (2008天津)设a 1 ,若对于任意的x a ,2a ,都有ya, a2满足方程log a x log a y 3 ,这时a的取值的集合为()C. a 2< a< 3 D. 2,33(答案：由题意，x a,2a , y a,a2 ,y .xa,2a 时，y3的值域是a,a2X的一个子集2即- ,a22a,a2 a 2.)(2)设a 1 ,若对于 xa,2a , y a,2a满足logaX loga y 3,这时a的取值范围3a(

9、答案：由题息，x a, 2a , y a, 2a , 一 y .3 a 即x a,2a ,y a, a 时，一的取大值小于y的取大值，即a 2a 1 a 2.)x类型三存在-存在”型这类问题的表现形式也有两种：x1D1,x2D2,等式成立；x1D1,x2D2,不等式成立.【例4】(1)若实数m 0,存在为1,272 ,x21,1满足方程 尿8 mx2 1 ,这时m的取值范围为 .(2)若实数m 0,存在x 1,2夜,x21,1满足不等式 Jx； 8& mx2 1 ,这时m的取值范围为 .【解析】(1)记函数f(x1)N 8, x1 1,2/，g(x2) mx2 1,x21,1 .则题意

10、中,x11,2 .2 ,x21,1，f(x1) g(x2)x11,2 2 ,x21,1 时,函数f(x1)值域与g(x2)值域的交集非空.即 m,4°1m,1 mm 03,41 m,1 mm 01 m> 3或m 01 m> 3(2)题意中，x11,2 2 ,x21,1， f (x1)< g(x2)x11,2 2 ,x21,1 时，函数 f(x1)min < g(x2)max.m 0 T即或3< 1 mm > 3< 1 m2或 m< 2.【评注】本例中这种双主元的存在-存在”型问题的转化策略可总结为:x1 D”x2 D2,f(x1)g(x

11、2)f (x1)在D1上值域与g(x2)在D2上值域的交集非空；x1 D1, x2 D2 , f (x1)g(x2)f (x1)在D1上的最大值g(x2)在D2上的最小值.【变式】已知函数f(x)2ax33ax21 ， g(x)a3x -,其中 a 0.42(1)若对任意 x10,20,2,都有“为)g(x2)成立，求实数a的取值范围;(3)(4)若对任意x2若对任意0,20,2若存在x10,2,，总存在x1,总存在x20,2,使得0,2,使得f(x1) g(x2)成立，求实数a的取值范围;f(x1) g(x2)成立，求实数a的取值范围;x2 0,2,使得f (x1) g(x2)成立，求实数a

12、的取值范围;(5)若存在 x1 0,2,X2 0,2,使得f (Xi) g(X2)成立，求实数a的取值范围【参考答案】由题意，f (x) 6ax2 6ax 6ax(x 1), a 0 ,故有X0(0,1)1(1,2)2f (X)0+0-f(x)1Z极大值1 a1 4a(1)任意 X 0,2 , X2 0,2,都有 ”)g(X2)成立 f (XLgMLn ,即 f(1) g(0),一 31即 1 a 一，即 一 a 0. 22(2)任意X20,2，总存在X1 0,2,使得f(X1)g(X2)成立g(X2)在0,2上的值域是f国)在0,2上值域的子集，即3,a31 4a,1 a,即 -<1

13、a,即 a< -.222222(3)任意 X1 0,2,总存在 X2 0,2,使得 f(X1) g(X2)成立f(X1)maxg(X2)max ,即 f (1) g(2)(4)存在x10,2 , X2 0,2,使得 f(x1) g(x2)成立f (X1)的值域与g(x2)的值域的交集非、一3空，即1 4a,1 a- 232rr3 rr1,即1 a) 即 a< .22(5)存在为0,2 , x20,2,使得 f(x1) g(x2)成立f (X1)maxg(X2)min ,即 f (1) g(0),中，即 1 a a 3,即 1 a 0. 2 2即 1 a 3 ,即 a 1. 22通过对以上例题的求解与总结，我们可以感悟到在求解含双量词数学问题中参数范围时，关键要