应用泛函分析复习小结

1、第一章实分析概要本章将简要的介绍数学分析与实变函数的一些基础知识，特别是点集的勒贝格测度与勒贝格积分理论。这些知识不仅是学习泛函分析的必要准备，而且在数学及 其它学科中有直接的应用。第一节集合及其运算第二节实数的完备性第三节可数集与不可数集第四节 直线上的点集与连续函数 第 五节点集的勒贝格测度与可测函数第六节 勒贝格积分第一节 集合及其运算1) A UA A, A AA A;2) A UA, AA；3)若 A ? B ,贝U A UB B, A A B A, A B ；4) 设 X 为基本集，则A U ACX , A A AC,(AC )CA, A B A A BC又若 A ? B ，则AC

2、? BC 。集合的运算法则：2a iv (a v)v(zD(91)c(”wi)(乙I)I)o(”w)i «wn)«'ll童其3'童幸之父x ® L L w® (ou a)(ou v) ou (aw) (on a)u (on v) on (au v) (ou a)n (ou v) ou (an v)留取3 ou au v (ou a)u v ou (au v) on an v (on a)n v on (an v)就导存 vu a au vVn a an v就引芟第二节 实数的完备性2.1 有理数的稠密性2.2 实数的完备性定理定义 2.1

3、 ( 闭区间套 )设 an ,bn ( n 1,2,L, ) 是一列闭区间，anbn ，如果它满足两个条件：1)渐缩性，即 a1 ,b1 ? a2 ,b2 ? L? an ,bn ? L;2) 区间长度数列 bn- an 趋于零，即lim(bn- an ) 0nco定理 2.1 （区间套定理）设an ,bn 为实数轴上的任一 闭区间套，其中an与bn都是实数，那么存在唯一的一个实数己属OC于一切闭区间an ,bn （n1,2,L）,即 E 6 an ,bn ,并且n1lim an lim bn己nocnx利用区间套定理，可以直接推出所谓的 列紧性定理 （定理 2.2），这个定理的名称的含义在第

4、二章中解释。我们先介绍一个有关的概念。命题2.1设xn 是一个数列，则lim xna的充分必要条件是：ncoxn 的每一个子列都收敛而且有相同的极限值定理2.2 （列紧性定理）V任何有界数列必有收敛子列定义2.3设Xn 是一个数列，如果当 m, n f 8时，有xm - xn f 0 ,那么就说xn 是一个基本数列 或 柯西数列。定理2.3柯西（Cauchy）收敛原理（完备性定理）V数列 xn 收敛的充分必要条件是，它是一个基本数列 。定理2.4 （单调收敛定理），单调有界数列（即单调增有上界数列或单调减有下界数列）必然收敛定义2.4 （确界）设A是一个数集，M是A的一个上（下）界。如果对任意

5、的£ 0 ,必存在A中的数x£,使得x£M - £(x eM ）,那么就称M为数集A的上（下）确界定理 2.5 确界存在定理（不讲）由上（下）界的数集必有上（下）确界。定义2.5（覆盖）设a , b是一个闭区间，A （T a | a e I是一个区间族，其中区间 （Ta可以是开的，闭的或者半开半闭的， 而指标集 I 可以是有限集，也可以是无限集。如果 a , b 中的每一点必含于区间族 A的某一区间ba之中，那么就称 A覆盖区间a , b,或者区间a , b被A覆盖。定理 2.6 （有限覆盖定理 ） （不讲 ）若闭区间a , b被区间族 A覆盖,则能从

6、A中选出有限个开区间覆盖a , b上面我们介绍了刻画实数完备性的六个定理，它们是按这样的逻辑顺序进行的：从定理2.1 （区间套定理）出发，推出 定理 2.2 （列紧性定理），又从定理2.2推出 定理 2.3柯西（Cauchy）收敛原理（完备性定理） ，又从定理2.3 推出 定理 2.4 （单调收敛定理）， 又从定理 2.4 推出 定理 2.5 确界存在定理），最后，从定理2.5 推出 定理 2.6 （有限覆盖定理 ）第三节 可数集与不可数集3.1 映射定义 3.1 设 A 与 B 是两个 非空 集合，如果按照一定的法则 f ，对于 A 中的每个元x ,者B存在B中的一个确定的元y与x相对应，那

7、么我们称f为定幺A上取值于B中的一个映射，记作y f (x)。y称为x在映射f下的象，对于固定的y , A中适合关系式y f (x)的x的全体称为y的原象。集A称为映射f的定义域，f ( A) f (x) | x CA称为 映射f的值域，一般f ( A) ? B。为方便起见，今后常将把从集A到f ( A) ? B的映射写成f : A B特别，若B是一个数集，此时映射 f称为泛函；若A与B都是数集，f就是通常的函数。3.2 可数集与不可数集，集合的势定理 3.1 有理数集是可数集。定理3.3可数个可数集的并是可数集。定理3.4区间0, 1中的点是不可数的。第四节 直线上的点集与连续函数本节先 讨

8、论直线上的点集的基本性质，然后， 在此基础上研究4.1 开集、闭集及其性质4.2 开集的构造4.3 点集上的连续函数，函数的一致连续性4.4 函数列的一致收敛性4.1 开集、闭集及其性质定义 4.1 设 E 是直线 R 上的任一点集， a 是直线上的任意一点，我们把直线上包 含a的任一区间（a , 3）称为点a的邻域；设a是E中的点，如果存在着 a的一个邻域（a , B ）整个包含于E内，则称a是E的内点；如果点集E的每一点都是它的内点，则称E 是一个 开集 。定理 4.1 开集具有下列的性质：1）空集与直线R的本身都是开集;2）任意多个开集的并是开集；3）有限多个开集的交是开集.定义4.2设

9、E是直线R上的任一点集，a是直线上的任意一点（不一定属于E ）。如 果a的任一邻域（“，3）中含有E中不同于a的点，则称a为E的极限点（或聚点）。定理4.2点a是集E的极限点的充要条件是存在E中的点列an （an w a）,使lim an anco定义4.3设E为直线上的点集，由 E的所有极限点构成的集称为E的导集，记作E ',称集E U E 为E的闭包，记作E T若集E的余集E C R E为开集，则称 E为闭集.定理4.3非空集E是闭集的充要条件是 E ' ? E定理4.4集合E为闭集的充要条件是E E。定理 4.5 闭集具有下列基本性质1）空集与全直线R是闭集；2 ） 任意

10、多个闭集的交是闭集；3 ） 有限多个闭集的并是闭集.4.2 开集的构造定义4.4设G是直线R上的一个有界开集，如果开区间（a , B ）满足条件：1） （%份？ G2） a ?G, B ?G则称（a , B ）为开集G的一个构成区间。定理 4.6 （ 开集的构造原理） 设 G 为直线上的任意非空有界开集，则 G 可以表示为至多可数个互不相交的构成区间之并，即G U (ak,侏)k日其中 I 为有限的或可数的指标集.4.3 点集上的连续函数，函数的一致连续性定义在区间上的连续函数的概念几乎可以逐字逐句的推广到直线的点集上去。定义 4.5 设 E 是直线 R 上的点集 ， f (x) 是定义在 E

11、 上的一个函数(即映射f : E f R ),xo是E中的任意一点。如果对于 E中任何收敛于xo的点列xn,都有lim f (xn )f (x0 )xn -X0那么称函数f (x) 在点x0 连续。如果f (x) 在 E 中每点都连续，那么称f (x) 在集 E 上连续。 定理 4.7 设 F 是直线 R 上的有界闭集， f (x) 是定义在 F 上的连续函数，则16(1) f (x)在集F上必有界， 并且能取得它的最大值(上确界)与最小值(下确界)设f (x)定义在点集E ? R上，如果对于任意的e0 ,都能找到6(e)定义4.6 0(注意6(g)与点x无关)，使得对于E中的任意两点Xi与X

12、2 ,只要|xi- X216 ,就有f(Xl)-f(X2) |e(1.13)成立，则称函数f (x)在集E上一致连续。定理4.8设f (x)在有界闭集F ? R上连续，那么f (x)在F上必一致连续。4.4函数列的一致收敛性定义4.7设 fn (x)是定义在点集 E ? R上的函数列。如果存在E上的函数f (x),15对于任意给定的e 0 ,都能找到正整数N (e),使得当n N (e)时，不等式fn(X)- f(X)£对于所有X E的成立，那么就称fn (X)在集E上的一致收敛于f (x)。定理4.9定义在点集E ? R上的函数列 fn (X) 一致收敛于f (x)的充要条件是：对

13、于任给的g 0 ,存在正整数N (e),使得当m, n N (e)时，不等式fm (X) - fn (X) I £(1.17)对于所有X E的成立.定理4.10设 fn (X)是E上的一个连续函数列，如果在 E上它一致收敛于 函数f(X),那么极限函数f(X)也在集E上连续。定理4.11设 fn (X)是区间a,b上的连续函数列，若 fn (X)在a,b上一致收敛于f (x),则极限函数f (X)在a,b上可积，并且或写成f f (X)dX lim /fn(x)dx an0°a(1.18)bb(lim f (x)dx lim (f(x)dx第五节 点集的勒贝格测度与可测函数

14、本节将简要地介绍点集的勒贝格测度与可测函数的基本理论，它不但是建立勒贝格积分的必要准备，而且在其他的学科（如概率论与随机过程）中也经常用到。5.1 从黎曼积分到勒贝格测度命题5.1如果f (x)在区间a,b上连续，那么f (x)在a,b上必R可积5.2 点集的勒贝格测度定义 5.1 设 G 为直线上的有界开集，定义G 的测度为它的一切 构成区间 的长度之和，也就是说，若GU(ak，国)，其中(a , B k )是G的构成区间，则kmGE(Bk- ak)(1.23)k定义 5.2 设 F 为直线上的有界闭集， F ? (a,b) ，则 G (a,b F 是有界开集，定义F 的测度为18mF (b

15、 - a) - mG1.24)定义 5.3 设 E 为直线上的任一有界点集，我们称所有包含 E 的开集的测度的下确界为集 E 的外测度，记作m? E ：m? EinfmG | G ? E,G 为开集而把所有含于 E 中的闭集的测度的上确界称为集E 的内侧度，记作m? E ：m? E supmF | F? E, F为闭集定义 5.4 设 E 直线上的有界点集，若 m? E m? E ，则称 E 为勒贝格可测集，简称 为 L 可测集，它的外测度与内侧度的共同值称为 E 的勒贝格测度，简称为 L 测度，19记作 mEmE m? E m? E定理 5.1 设 X (a,b) 为基本集， E , E1

16、与 E2 为 X 的子集。1)若E可测，则其余集EC也可测；2)若Ei, E2可测，则 Ei U E2 ,EiI E2 ,EiE2均可测；又若EiI E2，则m(E1 U E2 ) mE1 mE2205.3可测函数定义 5.5 设 E 为直线上的可测集(有界或无界)， f (x) 是定义在 E 上的实值函数，如果对于任何实数a ,集合E( f >a) x | f (x) >a, x E都是勒贝格可测的，那么称 f (x) 是 E 上的勒贝格可测函数，简称为可测函数。定理5.4函数f (x)在可测集上可测的充要条件是对于任何实数a与B ,集合E(a< fB) x | a<

17、f (x)B, x E是 L 可测的。21定理 5.5 函数 f (x) 在可测集 E 上的可测的充要条件是下列条件之一成立：1) E(fa)x|f(x)a,x GE是可测集；2) E(f< a)xf(x)<a,x GE是可测集：3) E( fa)x |f (x)a,x GE是可测集：4)对于直线上的任何开集 G,它的原象f-1(G)是可测集，其中a是任意实数。30第二章 距离空间第一节 距离空间的基本概念定义 1.1 设 X 是任一集合。如果对于 X 中任意 两个元素 x 与 y ，都对应 一个实数p(x, y),并且满足条件：1)非负性，p(x, y) >0且p(x, y

18、) 0当且仅当x y ;2)对称性，p(x, y)p( y, x);3)三角不等式，对任意的x,y,zX,有p(x, y) < p(x, z)p(z, y)则称p(x, y)为x与y之间的距离，而称X为以p(x, y)为距离的距离空间或度量空间。例1.1 n维欧氏空间Rn设Rn表示n维向量xX1 , X2 ,L, Xn的全体所组成的集合，其中Xi ,i 1,2,L, n都是实数，如果x(XI , X2y ( yi , y2 ,L, yn) 6 R n ,定义1 n-2X, y) Bxi - yi )2i 1条件1)与2)显然成立。为了证明条件3)成立，现证明重要的 Cauchyn 2 n

19、 nzfi bi<!>i2 !>i2i 1i 1 i 1,L, Xn ),(2.(4)不等式：(2.(5)其中ai ,bi ,i 1,2,L, n都是实数例1.2连续函数空间Ca,b令Ca,b x(t) | x(t)为a,b连续函数在Ca,b上定义p(x, y)max |x(t) - y(t)(2.6)t qa,b 11现在我们来证明p (x, y)是距离。例1.3有界数列空间m。设m表示所有的有界数列x (a,，L,瓜，L)(其中&|&kx,i 1,2,L, k x是常数)所构成的集合。如果x (a,a,L, &)Cm,y (邛，平上，牛)C m,定

20、义p(x, y)sup|&-ri I(2.7)i类似于例1.2,容易验证p(x, y)是距离，从而m按这个距离构成距离空间。例1.4离散距离空间。设X为任一非空集合，定义0, x yp(x, y)(2.8)1, x 丰 y容易验证P (x, y)满足距离的三个条件，于是 X按照P (x, y)成为距离空间。由于X中任 两个不同点间的距离均等于 1,因此常称X为离散距离空间。定义 1.2 设 X 是一个距离空|可，xn , x X , (n 1,2, L),如果当 n - 0cB寸，p(xn , x) - 0 ,则称点列xn按距离p收敛于x ,而x叫做点列xn的极限，记作lim xnx

21、或 xn 一x, (n 一 衿noo定理1.1设X是距离空间1) X中任何收敛点列Xn的极限是唯一的；2)若点列Xn-X,(n f)3则Xn的任何子列Xnk X,(k 衿定义1.3设X是距离空间1)如果X0 CX , r 0 ,则称集合S(xo , r)x | x X , p(x, X0) r是以xo为中心，r为半径的开球，或xo的一个邻域；称集合S (xo , r) x | x X , p(x, xo ) < r是以X0为中心，r为半径的闭球2) 设 A? X ，如存在一个开球S(x0 ,r) ，使得A ? S(x0 , r)则称 A 是 X 中的 有界集 。定理 1.2 设 X 是距

22、离空间，则X 的任何收敛点列必是有界的。第二节 距离空间中的开集、闭集与连续映射本节将直线上 点集 的有关概念以及定一在直线上的 连续函数 的概念推广到 距离 空间 中去。 由于 许多概念的定义及定理的证明几乎可以 逐字逐句 地移植， 因此 ，我 们省略了某些定理的证明，留给读者作为练习自行补足。2.1 距离空间中的开集和闭集定义2.1设X为距离空间。G ? X , X0 6 X ,如果存在X0的邻域Sx0 , r) ? G ,则称xo 为G的内点。如G的每个点都是内点，则称 G为开集。例2.1任一开球S(xo,r)是开集。定理 2.1 距离空间 X 中的开集具有下列性质：1)空集于全空间X是

23、开集；2) 任意多个开集的 并 集是开集；3) 有限个开集的交 是开集.F 是开集。定理 2.3 设 X 是距离空间，则 F ? X 是闭集的充要条件是? F X定理 2.4 距离空间 X 中的闭集具有下列性质：1)空集与全空间X都是闭集；2) 任意多个闭集的交是闭集；3) 有限个闭集的并集是闭集.2.2 距离空间上的连续映射定义2.3设X与Y都是距离空间，分别以 P与仍为距离，T : X - Y , X0 X ,如果对任意的£0 ,存在60 ,使得当p(x, xo )6时，有pi (Tx,Tx0 )£则称映射 T 在 x0 连续。若 T 在 X 中每一点都连续，则称T 为

24、 X 上连续映射。如果 Y R ，则称 T 为 连续函数 。此时，常将T 为记作 f 或 g 。例 2.4 设 X 是距离空间，x0 为 X 中一个固定点，则f (x)p(x, xo )是 连续函数 。定理2.5设X ,Y都是距离空间，T : X - Y ,则下列命题是等价的3i1) t在xo ex连续;2)对于Txo的任一邻域S(Txo , e),必存在xo的邻域S(X0 , g ,使得T (S(xo , g) ? S(Txo , £)3)对于X中任一点列xn，若xn -xo ,则必有Txn f Txo第三节 距离空间的可分性与完备性我们知道，有理数在实数中的稠密性以及实数的完备性

25、在数学分析中起着重要的作用，本节将这两个概念推广到一般的距离空间中去。3.1 距离空间的可分性定义3.1设X为距离空间，A与B都是X的子集，如对于任意的 x C A ,存在x n ? B使xn - x ,则称B在A中稠密。如果A X ,则称B在X中处处稠密。显然，B在A中稠密与下面两个命题之一是等价的：1)对任意的x CA , x的任何邻域中都含有 B中的点。2) A ? B,特别地如A X ,则B- X。定义3.2设X为距离空间，如 X中存在一个处处稠密的可数子集，则称 X是可 分的距离空间。定义3.3设X为距离空间1)如点列xn ?X,满足lim p(xm,xn) 0,即任取e 0,存在正

26、整数N,使得当 m,n7m, n N时，有p(xm , xn)£,则称xn为基本列或柯西列2)若X中的每个基本列 都收敛，则称X为完备的距离空间。定理3.1设X为距离空间1) X中任何收敛点列都是基本列；2)若X是完备距离空间，则xn ?*是基本列的充要条件是Xn收敛点列；3)在完备距离空间X中，X的任何闭子空间F都是完备的。例3.4 Ca,b是完备的距离空间。设x n ? Ca,b是基本列。故任取£ 0,必存在正整数N,使得当m N,n N时有p(Xn , Xm ) max Xn (t) - Xm (t)£t Qa,b即当 m N , n N ,对每一个 t q

27、a,b有Xn (t) - Xm (t)由 第一章定理4.9，存在x(t) ，使 xn (t) 一致收敛于x(t) ，又由 第一章定理4.10，得x(t) Ca,b,即存在 x Ca,b,使 xn -x ,故 Ca,b是完备的。第四节 压缩映射原理及其应用定义4.1 (压缩映射)设X是距离空间，T : X - X (从X至IJ X的自身映射)，如存在常数a , 0 W a 1,对于任何x, y G X ,都有KTx,Ty)(x, y)称 T 是 X 上的一个压缩映射。定理4.1设X是完备的距离空间，T : X f X是压缩映射。则T在X中存在唯一的一一，. 一，不动点 x ，即有 xTx35推论

28、4.1设X是完备的距离空间，T : X f X ,如T在闭球S (Xo , r)上是压缩映射，并且P(Txo , xo ) < (1 - a )r则T在S中存在唯一的不动点。推论4.2 设X是完备的距离空间，T : X - X。如存在常数a (0 < a 1)及正整数 n0，使对任何x, y G X都有P(Tnox,Tnoy) <a (x, y)则T存在唯一的不动点。(其中T no可以归纳定义如下：T 2 x T(Tx),T 3 x T (T 2 x),)36第三章 巴拿赫空间、希尔伯特空间及其线性算子第一节 线性赋范空间与巴拿赫空间在线性代数中学过 n维欧氏空间Rn ,在R

29、n中有两种基本的代数运算，即 向量的 加法和向量与数的乘法，而且对这两种运算分别满足对加法的交换律、结合 律、存 在零向量、逆向量和对数乘满足结合律、分配律，存在单位元等。这些基本 的运算 法则对Rn空间是不可的，因而在定义抽象的线性空间的运算法则时， 必须保留上述性质。在Rn中，除了上述线性结构外，还有一种拓扑结构，而这种结构是通过对Rn中的 任意一点，确定 它与原点之间的距离（向量长度）来实现的，其实现过程如下：37§1.1 线性空间定义1.1设X为任一非空集合，若在X中规定了线性运算一一元素的加法和元素与数（实数或复数，实数域记为R ,复数域记为C ）的乘法，并满足下列条件：4

30、）由子集张成的子空间，设M为线性空间X的子集，L表示M中元素所有可能的线性组合构成的集合，即n为数，n为任意自然iii 1容易验证，L为X的线性子空间，称L为由子集M张成的线性子空间，记作L= spanM6）线性同构设 X 和 Y 为两个线性空间（同为实的或复的），如果存在从X 到 Y 上的某个 1-1映38射？，使对任意xi , x2 e x ,及任意 入，成立?(xi X2 ) ?(xi ) ?(X2 )(3.13)?(M )入 7xi )(3.14)则称X与Y是线性同构的，映射？称为X到Y的线性同构映射。定义1.2设X为线性空间，A为X的一个子集，若对任意x, y 6 A及数a (0 &

31、lt; a < 1),ox (1 - a) y CA ,则称A为X中的凸集。必(1- a) y称为x与y的凸组合。显然，线性空间的任意线性子空间都是凸集。§1.2线性赋范空间与巴拿赫空间定义1.3设X为(实的或复的)线性空间，如对任意x CX ,有一个确定的非负实数ix与它对应，并满足1)对任意 xCX, x*0。当且仅当 x 9 x II 0(3.15)2)对任意xCX及数入，|刈1M(3.16)3)对任意 x,y GX, IX yll<IU I N I(3.17)则称X为线性赋范空间。X称为x的范数。正如本节开始时分析的那样，有了范数就可以引入任意两点之间的距离。令p(x, y) |y - X l(3.18)易证P (X, y)满足距离空间距离的三个条件，因而线性赋范空间按式(3.18)定义的距离成为距离