浙江农林大学静电场的高斯定理习题

1、四、计算题1、 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为和，试求空间各处场强两面间 , 面外 , 面外 . （填写A、B、C或D，从下面的选项中选取）A、 B、 C、 D、答案：A，C，D 解: 如图所示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为与，两面间， 面外， 面外， ：垂直于两平面由面指为面abcl2、一无限长带电直线,电荷线密度为l,傍边有长为a, 宽为b的一矩形平面, 矩形平面中心线与带电直线组成的平面垂直于矩形平面，带电直线与矩形平面的距离为c，如图，求通过矩形平面电通量的大小. . （填写A、B、C或D，从下面的选项中选取）A、 B、 C、 D、答案：BabclxyErq

2、解：取窄条面元,该处电场强度为过面元的电通量为3、 如图所示，在xy平面内有与y轴平行、位于xa / 2和x-a / 2处的两条“无限长”平行的均匀带电细线，电荷线密度分别为l和l求z轴上任一点的电场强度. . （填写A、B、C或D，从下面的选项中选取） A、 B、 C、 D、答案：C解：过z轴上任一点(0 , 0 , z)分别以两条带电细线为轴作单位长度的圆柱形高斯面，如图所示按高斯定理求出两带电直线分别在该处产生的场强大小为 场强方向如图所示 按场强叠加原理，该处合场强的大小为 方向如图所示 或用矢量表示 4、均匀带电球壳内半径6cm，外半径10cm，电荷体密度为2×C·

3、;m-3求距球心5cm的场强 ，8cm的场强 ,12cm的场强 . （填写A、B、C或D，从下面的选项中选取）A、， 方向沿半径向外 B、 , 沿半径向外C、,方向沿半径向外 D、 0答案： D, A，B解: 高斯定理,当时，,时， ， 方向沿半径向外cm时, 沿半径向外.5、有两个半径分别为、的同心球壳，带电分别为、，试求空间电场分布。(1) , . （填写A、B、C或D，从下面的选项中选取）(2)， .(3)， .A、 B、C、 D、 0答案： D, A，B解：对称性分析：球对称高斯面：闭合球面(1) ，(2)， ，(3)，6、 一个半径为R的带电球体，电荷分布均匀，体密度为，试求此带电球

4、体内的场强, . （填写A、B、C或D，从下面的选项中选取）球体外的场强, .A、 B、C、 D、 0答案：B, A解： 以球心为圆心，为半径作一高斯面，根据高斯定理由高斯定理。 - 则各区域内的电场分布为： ， ； ： ，； 7、如图所示，两个带有等量异号电荷的无线长同轴圆柱面，半径分别为 和()单位长度上的电荷为。求离轴线为处的电场强度 （1）, . （填写A、B、C或D，从下面的选项中选取）（2）, . （填写A、B、C或D，从下面的选项中选取）（3）, . （填写A、B、C或D，从下面的选项中选取）.A、 B、C、 D、 0答案：D, B, DR1R2解 电荷轴对称分布，因此电场的分布

5、具有轴对称性。在离轴线为r处作单位长度的同轴圆柱形高斯面，根据高斯定理，有 其中为高斯面包围的电荷。(1) ：，(2)：，(3)：，8、 实验表明，在靠近地面处有相当强的电场，电场强度垂直于地面向下，大小约为100N/C，在离地面1.5km高的地方，E也是垂直于地面向下的，大小约为25 N/C，求：（1）从地面到此高度大气中电荷的平均体密度 . （填写A、B、C或D，从下面的选项中选取）；（2）假设地球表面处的电场强度完全是由均匀分布在地表面的电荷产生的，求地面上的电荷面密度 . （填写A、B、C或D，从下面的选项中选取）。A、 B、C、 D、答案： B, C解 (1) 设大气中电荷的平均体密

6、度为，如图（a）所示取圆柱形高斯面，侧面垂直底面，底面 平行地面，上下底面处的场强分别为和，则通过高斯面的电通量为圆柱形高斯面包围的电荷为，由高斯定理有因此得 (2) 设地面上的面电荷密度为，取高斯面如图（b）所示。由于电荷只分布在地表面，所以电力线终止于地面，通过高斯面的电通量为由高斯定理，有 因此得 9、如图，在电荷体密度为的均匀带电球体中，存在一个球形空腔，若将带电体球心O指向球形空腔球心的矢量用表示。试证明球形空腔中任一点电场强度为 . （填写A、B、C或D，从下面的选项中选取）。A、 B、C、 D、答案：A 证 球形空腔可以看成是由电荷体密度分别为和的均匀带电大球体和小球体叠加而成。

7、空腔内任一点P处的场强，可表示为 其中和分别为带电大球体和小球体在P点的场强。由几何关系，上式可写成即证。RaddPO10、半径为R的无限长圆柱体内有一个半径为a(a<R)的球形空腔,球心到圆柱轴的距离为d(d>a),该球形空腔无限长圆柱体内均匀分布着电荷体密度为的正电荷,如图所示。求：(1) 在球形空腔内，球心O处的电场强度EO. . （填写A、B、C或D，从下面的选项中选取）。(2) 在柱体内与O点对称的P点处的电场强度EP. . （填写A、B、C或D，从下面的选项中选取）。A、 方向向右 B、 方向向右C、 方向向右 D、 方向向左答案：A, D解：球形空腔无限长圆柱带电体可

8、认为是均匀带正电(体电荷密度为r)无限长圆柱体与均匀带负电(体电荷密度为-r)球体组成.分别用高斯定理求无限长均匀带电圆柱体激发的电场E1与均匀带电球体激发的电场E2.为求E1,在柱体内作同轴的圆柱形高斯面,有方向垂直于轴指向外;为求E2,在球体内外作同心的球形高斯面,有球内r<a ，球外r>a ，负号表示方向指向球心.（1）对于O点 (因r2=0)得 ，方向向右;（2）对于P点, 得 方向向左.一、判断题1.1. 已知一高斯面所包围的体积内电量代数和=0，则高斯面上各点场强均为零。错误分析：高斯面上的电通量只与高斯面内电荷代数和有关，与外部电荷无关，但高斯面上的电场强度是空间所有

9、电荷共同产生的，是矢量叠加的结果。注意区分电场强度和电通量是两个不同的物理量。1.2. 穿过整个高斯面的电通量为零，则可以肯定高斯面内所包围的体积内电量代数和=0.正确分析：高斯面上的电通量只与高斯面内电荷代数和有关。因此电通量为零时，必然有=0。1.3. 只有当穿过高斯面上每一面元的电通量均为零时，穿过整个高斯面的电通量才为零。错误分析：高斯面上每一面元的电通量均为零时，高斯面的电通量必然为零，但反之则不成立。电场线从一侧穿进，另一侧穿出，高斯面电通量为零，但穿进传出处的面元的电通量均不为零。2. 半径为R的均匀带电球平面，若其电荷面密度为，则在其两侧的电场强度大小均为。错误分析：当半径，所

10、得结论正确。3.静电场的高斯定理中取决于高斯面内部的电荷。错误分析：高斯面上的电场强度是空间所有电荷共同产生的，是矢量叠加的结果。4. 若高斯面上处处为0，则该面内必无净电荷.正确5.1. 若高斯面上处处不为0，则高斯面内必有净电荷. 错误分析：高斯面上处处不为0，但又可能电通量为零，此时高斯面内无净电荷。5.2. 若高斯面内有电荷，则高斯面上处处不为0。错误分析：高斯面上的电场强度是空间所有电荷共同产生的，是矢量叠加的结果。因此不能排除高斯面上可能存在一些地方所有矢量叠加的结构为零。三 填空题：1、由一根绝缘细线围成的边长为l的正方形线框，使它均匀带电，其电荷线密度为l，则在正方形中心处的电

11、场强度的大小E_答案：0分析：答案为0，相对的两条带电细线产生的电场强度刚好大小相同，方向相反。2、一面积为S的平面，放在场强为的均匀电场中，已知与平面间的夹角为，则通过该平面的电场强度通量的数值_。答案：ES sin分析：答案为，电通量的定义。-s2s图3.53、如图, 两块“无限大”的带电平行平板，其电荷面密度分别为-s (s > 0 )及2s.试写出各区域的电场强度.区E的大小 ，方向 .区E的大小 ，方向 .区E的大小 ，方向 .答案：/(20), 向左; 3/(20), 向左; /(20), 向右.分析：答案分别为,向左; ,向左; ,向右.无限大均匀带电平面（电荷面密度s）两

12、侧的电场强度大小为，对每个分区，根据电场强度矢量叠加便可以得到上述答案。4、三个平行的“无限大”均匀带电平面，其电荷面密度都是+,则A、B、C、D四个区域的电场强度分别为，EA_，EB_，Ec_，ED_ 。(设方向向右为正)答案：-3/(20); -/(20); /(20); 3/(20).分析：答案分别为, , , ，分析同上。5、电荷分别为q1和q2的两个点电荷单独在空间各点产生的静电场强分别为和，空间各点总场强为现在作一封闭曲面S，如图所示，则以下两式分别给出通过S的电场强度通量 _， _答案：q1/0; (q1+ q2) /0. 分析：答案分别为 、；解答第一个问题其实就是高斯定理在高

13、斯面内仅存在q1时的直接运用，第二个问题就是高斯面内仅存在q1和q2高斯面内仅存在的直接运用。6、S-Q+Qba2RRO图3.6如图所示, 真空中有两个点电荷, 带电量分别为Q和-Q, 相距2R.若以负电荷所在处O点为中心, 以R为半径作高斯球面S, 则通过该球面的电场强度通量F = ；若以r0表示高斯面外法线方向的单位矢量，则高斯面上a、b两点的电场强度分别为 、 .答案：-Q/e0, -2Qr0/(9pe0R2), -Qr0/(2pe0R2).分析：答案分别为-Q/e0, -2Qr0/(9pe0R2), -Qr0/(2pe0R2).根据高斯定理，高斯面上的电通量只与高斯面内的电荷有关，因此

14、，a点的电场强度由-Q与+Q共同叠加而成，因此同理，要注意r0表示高斯面外法线方向的单位矢量。· q1· q3· q4S图3.7q27、电荷q1、q2、q3和q4在真空中的分布如图所示, 其中q2 是半径为R的均匀带电球体, S为闭合曲面，则通过闭合曲面S的电通量= ，式中电场强度E是电荷 产生的.是它们产生电场强度的矢量和还是标量和?答:是 .答案：(q1+ q2) /0. 所有电荷共同，矢量。分析：答案分别为，所有电荷共同，矢量。高斯面上的电通量只与高斯面内电荷代数和有关，与外部电荷无关，但高斯面上的电场强度是空间所有电荷共同产生的，是矢量叠加的结果。注意区分

15、电场强度和电通量是两个不同的物理量。8、在点电荷+q和-q的静电场中，作出如图所示的三个闭合曲面S1、S2、S3，则通过这些闭合曲面的电场强度通量分别是：_；_； _。答案：q /0; 0, q /0.分析：答案分别为，高斯面上的电通量只与高斯面内电荷代数和有关。9、如图所示，一点电荷q位于正立方体的A角上，则通过侧面abcd的电场强度通量Fe_ 答案：q /(240)分析：答案为，)电荷在顶点时，将立方体延伸为边长的立方体，使处于边长的立方体中心，则边长的正方形上电通量。对于边长的正方形，如果它不包含所在的顶点，则，10、由一半径为R，电荷体密度为的无限长均匀带电圆柱体产生的电场空间，当r&

16、lt;R时，E=，当r>R时，E=。答案：r /(20), R2 /(20r)分析：答案分别为，。去单位高度的同轴圆柱面为高斯面，根据高斯定理，时，则；，则二、选择题EOxy1、 如图所示，有一电场强度E平行于x轴正向的均匀电场，则通过图中一半径为R的半球面的电场强度通量为A、pR2E .B、pR2E/2 .C、2pR2E .D、0 .答案：D分析：答案为（D），E从左至右，左侧穿进的电场线又要从右侧传出，总的通量为零。2、 关于高斯定理，以下说法正确的是：A、高斯定理是普遍适用的,但用它计算电场强度时要求电荷分布具有某种对称性;B、高斯定理对非对称性的电场是不正确的;C、高斯定理一定可

17、以用于计算电荷分布具有对称性的电场的电场强度;D、高斯定理一定不可以用于计算非对称性电荷分布的电场的电场强度.答案：A分析：答案为（A），高斯定理是普遍适用的，它的适用性与电荷分布是否具有对称性没有任何关系，只是当它用于计算电荷分布具有某种对称性的电场的电场强度时，使用高斯定理可以方便快速的求解。3、有两个点电荷电量都是+q，相距为2a，今以左边的点电荷所在处为球心，以a为半径作一球形高斯面. 在球面上取两块相等的小面积S1和S2，其位置如图3.2所示. 设通过S1和S2的电场强度通量分别为F1和F2，通过整个球面的电场强度通量为F，则xOqqa2aS2S1A、F1 >F2 , F =

18、q /e0 .B、F1 <F2 , F = 2q /e0 .C、F1 = F2 , F = q /e0 .D、F1 <F2 , F = q /e0 .答案：D分析：答案为（D）, 电场强度通量的比较可以通过穿过两块面积的电场线的条数进行比较，两个点电荷电量都是+q， 两个点电荷分别在S1上的电通量相减，在S2上的电通量相加，显然F1 <F2 , 而根据高斯定理，通过整个球面的电场强度通量为F只与高斯面内的电荷有关，F = q /e0 .abcdqll/24、如图所示，一个带电量为q的点电荷位于一边长为l的正方形abcd的中心线上，q距正方形l/2,则通过该正方形的电场强度通量

19、大小等于：A、. B、.C、.D、.答案：B分析：答案为（B），取以q为中心，正方形abcd为其中一个侧面的立方体为高斯面，则该立方体的总的电通量为，正方体共6个面，故正方形abcd的电通量为。5、点电荷放在球形高斯面的中心处，下列哪种情况高斯面的电通量会发生变化A、将另一点电荷放在高斯面外 B、将球心处的点电荷移到高斯面内另一处C、将另一点电荷放进高斯面内 D、改变高斯面半径大小答案：C分析：答案为（C），根据高斯定理，通过整个球面的电场强度通量F只与高斯面内的电荷有关，F = q /e0 。因此只要高斯面内的电荷代数和不变，高斯面的电通量就不会发生改变。6、如图所示，任一闭合曲面S内有一点电荷q，O为S面上任一点，若将q由闭合曲面内的P点移到T点，且OP=OT，那么 。 A、穿过S面的电通量改变，O点的场强大小不变；B、 穿过S面的电通量改变，O点的场强大小改变；C、穿过S面的电通量不变，O点的场强大小改变；D、穿过S面的电通量不变，O点的场强大小不变。答案：D分析：答案为（D），只要高斯面内的电荷代数和不变，高斯面的电通量就不会发生改变。另外将q由P点移到T点，由于离O点的距离不变，因此强大小不变，但务必注意场强的方向已经发生了变化。rEµ1/r2E4图4O4图4R4图47、图所示为一球对称性静电场的E r关系曲线，请指出该电场是由哪种带