张齐华《认识方程》课堂实录

1、张齐华?认识方程?课堂实录上传：程海毅 更新时间：2022-12-3015:20:15师：我来测测大家的反响怎么样？上课！生：起立。师：同学们好！生：老师好！师：请坐！师：生活当中经常遇到各种各样的数，对吗？比方说，谁愿意告诉我你今年多大了？ 生1 ：我今年12岁。师：真不错，长这么小个儿已经 12岁了。你! 生2 :我今年11岁。师：瞧，人家长的高，11岁。你！生3:我今年也是12岁。师：也是12岁。行！其实光知道自己的年龄 并不稀奇，有谁知道自己爸爸多大了？生1 :我爸爸37岁。师：37岁，挺年轻的。生2 :我爸爸42岁。师：好，再来一个。你！生3:我爸爸39岁。师：真好！同学们看，自己的

2、年龄知道吗？生：知道。师：爸爸的年龄知不知道？生：知道。师：像这些都知道的数，数学上给他这个名称。板书：数师：叫数，咱们都知道了是不是？那既 然有数，就一定有。生：未知数。师：好感觉，还有未知数。板书：未知数师：那么自己的年龄、爸爸的年龄对大伙来 说这些都是数。那生活当中对你们来说 是未知数呢？举个例来说一说，你来。生1 :大海有多深？师：大海有多深？对他来说是个未知数。真好，你呢？生2:全世界有多少人？师：全世界有多少人口？你！生：天上有多少颗星星？师：真好！看来生活中数有很多，未知数。生：也很多。师：真好，再举个例子。刚刚是谁说爸爸的 年龄是数的？举手告诉我，你爸爸的年 龄多大了？生：37

3、岁。师：你知道你爸爸银行卡里有多少钱吗？生：他说临死前会告诉我。师：用一种很智慧的方式告诉了我，这会你还不知道，多聪明的一个女孩。她既要说明现在是一个未知数，但是早晚会成为一个。生：数。师：看来，现在对她来说暂时是一个未知数。 师：看，今天来了很多听课老师，目前来了 一共多少位老师知道吗？生：不知道。师：什么数？生：未知数。师：这样的未知数多不多？生：多。师：那么张老师问大家一个问题，实话实说。 是喜欢数还是喜欢未知数？你来！生1 :我喜欢未知数。师：为什么？生1 :因为未知数有探究性。师：真好！附小的孩子不一样。还有什么？你！生2:我也喜欢未知数，因为未知数越多， 我就能知道越多的数。师：棒

4、啊！瞄着每一个未知数等着它成为已 知数，对吧。还有谁来？你！生：我喜欢数，因为只有有了数， 你才能求出未知数。 师：太棒了，一个比一个卓越优秀。喜欢未 知数的告诉我是因为未知数能让我们更多地 去探索。但是，不管你喜欢什么数，有一点 是形成共识的，就是遇到未知数，我们总会 想方设法把它变成 。生：数。 师：那未知数怎样才能变成数呢？你比 方，她爸银行卡里的钱不知道？别等了到那 一天了，有什么方法能知道？大伙给她想想 方法？你！生 1 ：可以去问。 师：直接问爸爸，可不可以。直接问就是一 个好方法呀！还有没有好方法？你！ 生 2 ：去银行输他的帐号查。 师：专业。还有其他方法吗？你！ 生：爸爸取钱

5、的时候看。师：可以，偷偷瞄两眼。好，台下那么多老 师，到底有多少？也是一个未知数。怎么才 能变成数？你来！ 生 1 ：问问工作人员。师：问问工作人员，可不可以。生 2 ：用我们知道的数来求。 师：好，想方法借助数来求。看来，要 获得一个未知数有两种思路，一种是思路是 想方法直接去了解，对不对？还有一种是根 据数想方法来求知未知数，对吧？换个 话题好不好？刚刚我们讨论了银行的钱，台 下老师的人数。下面我们知道张老师今年多 大吗？目前张老师多少岁？对你们来说是个 。生：未知数。师：数学上未知数怎么表示？生： x.师：可以用字母 x 表示，当然 y、z 也都可以。 同学们，想不想让它变成一个数？ 生

6、：想。师：有什么方法？我就站这儿，有什么方法求出来？ 生：问你一些信息，然后设法求出来。 师：直接问我。差不多就这个思路了，今天 张老师就和大家来学习不通过直接了解，怎 样想方法用别的思路找到未知数的结果？想 不想试试？生：想。 师：张老师的年龄是一个未知数，谁的年龄 是一个数？ 生：我们的。师：你们的年龄是一个数，谁来？谁的 年龄是个数？你来。生： 11。 师：你 11 岁，什么数？ 生：数。 师：写下。师板书。 师：同学们！现在要是张老师告诉你，我的 年龄和他的年龄之间的某一种关系，你们能 不能知道张老师的年龄？ 生：能。师： 确定？我们来试一试。 看谁的反响最快。 师：看屏幕， 1、 2

7、，悄悄的告诉你，张老师 的年龄比他大， 如果我的年龄减去 20 岁，我 的年龄还比他大。实话告诉我，能确定吗？ 生：不能。师：可能是多少岁？ 生 1：可能是三十多岁。 师：三十多，能再具体点吗？有可能是三十 多少？你来！ 生 2： 32。师： 32，有道理。还可能是三十多少？你！ 生 3： 34。师： 34，还有没有可能？你！ 生 4： 33。师：能不能确定？ 生：不能。师：看来，光知道这个信息还不行，换一个 好不好！看， 1、 2。师：如果我的年龄减去 30 岁，我的年龄比他 小。实话告诉我，能确定吗？ 生：不能。师：还是不能，张老师就好奇了。你看，这 么跟你讲，你也不能确定。那么跟你讲，你

8、 也不能确定。你到底想要我说什么？你才能 确定呢？你说！生 1 ：告诉你的年龄是我们的几倍？ 师：可以吗？还有？你说！ 生 2 ：你的年龄比我们大多少？ 师：也就是说，几倍也好，比他大多少也好， 你得确定下来我的年龄和你的年龄到底有怎 样的相等关系？对吧？那就出来了哦！谁要 知道了把手高高举起来。师：如果我的年龄减去 25 岁，我的年龄就和 他正好相等了。告诉我多大？ 生： 36.师：我就有问题了。同学们，你看，这三句 话都表示出了我的年龄和他的年龄之间的一 种关系，对不对？那为什么前面两个出来以 后不知道我的年龄？而第三个一出来，大伙 都确定了，为什么？前后左右商量商量为什 么？生前后讨论

9、师：好了没有？为什么前面两个都不行，后 面一个却成功了？你来！生 1 ：我认为前两个只告诉你张老师的年龄 和他之间的关系， 没告诉你准确的等量关系。 师：多专业的一个词。他的意思是你给了我 关系还不行， 还得告诉我是怎样的等量关系， 真专业。不过同学们，光这么说我估计有的 同学还不能领会，从数学的角度，我们再琢 磨琢磨，好不好？ 生：好！ 师：我有一个建议，我们把三种关系用含有 字母的式子表示出来，看看大家还能发现什 么？第一个。师：我的年龄怎么表示？生： x-20>11 师板书 师：反响真快！ x-20>11 师板书真好！第 一句话我们就用这一个式子表示出来了，第 二句话行不行？

10、一起说！ 生： x-30<11 师板书 师：一起看第三个，一起来。生： x-25=11 师板书 师：这是能找到年龄的一个式子，这是不能 找到年龄的式子，比拟一下，发现了什么？ 师：不用举手，发现了什么？一起说。 生：上面两个是 >或 <，下面是 =。 师：可别小看了这个 =，就象刚刚这位女同学 说的， 正是因为这个 =，我们就在未知数和已 知数之间建立了一种什么关系？ 生：等量关系。师：等量关系。 板书 师：孩子们，像这样在未知数和数之间 建立的等量关系的式子，你知道数学上叫什 么吗？生：方程。 师：未知数和数之间建立的等量关系式， 数学上我们就把它叫做方程。 板书方程 这

11、两个叫方程吗？生：不是。师：大声找理由，说为什么？ 生：没有等号。师：没有等号，也就是未知数和数之间 没有 。生：等量关系。 师：这样看来，只有在未知数和数之间 建立等量关系的式子才是 。生：方程。 师：学到现在，相信大家对方程已经有了初 步的认识。 看，张老师又给大家带来了什么？ 大家看屏幕。生：苹果、梨、西瓜、西红柿、草莓。 师：这会儿知道他们有多重吗？ 生：不知道师：什么数？生：未知数 师：想不想让它们变成数？ 生：想 师：有一样工具可以实现这个目的，告诉我 是什么？生：太土 天枰、砝码师：借助天枰和砝码可以让它们变成数， 是吧？不过我有个问题，同学们，是不是我 有了天枰和砝码就一定能找

12、到这几个水果的 重量呢？别着急，课的一开始呀张老师利用 这些工具进行了四次测量的活动，想不想看 看测量的结果？生：想师：瞪大眼睛，各不相同。一 藏在心里， 二三四看完了没有？我只有一 个问题：看这四幅图告诉我，是不是所有的 水果的重量你都知道了？生；不是师：有没有一些已经知道了？别告诉我，我 给大家一个问题好不好？观察屏幕，你觉得 借助这几个天枰图，哪几种水果的重量你已 经知道了？嘘 为什么？哪几种水果的重量 现在还不知道，又是为什么？在我们的前后 四人小组里边好好的商量商量好不好？赶 紧，开始！生：讨论师：好了没有？看看大伙儿经过讨论意见是 否一致？告诉我，谁已经知道了？ 都同 意？好，看样

13、子，这两种水果的重量已经知 道了，那么我的问题就来了同学们， 奇怪了， 二号也有天枰也有砝码，为什么西瓜的重量 不知道呢？为什么？你说。生：西瓜重量加 50千克的砝码大于 200 千克， 它缺乏于建立等量关系。师：这个缺乏于说得好，天枰？以后能找 到等量关系吗？那这个时候我们能根据 的数找到未知数吗？生：不能师：真好，不能建立等量关系，所以找不到 西瓜的重量。哎，三号，三号可是等量关系 噢，怎么也不行呢？生：因为它没有数，是两个未知数，两 个未知数没法算出等量关系师：话快要到头的时候稍微绕了一下，有没 有等量关系？有只可以左右两边都是未 知数，没有数，所以找不到解决问题的 突破口，对不对？对那

14、这样看来，它不 含等量关系，它没有数，那什么情况下 才能找到未知数的结果？既得有数 也得有数还得建立等量关系。好， 那这样看来，一和四可不可以？可以正 因为他们建立了等量关系，那你能不能结合 一和四的这两幅图列出两个方程，行不行？ 好，翻开作业本，把这两个方程都写下来， 我请两个同学上来写，一人写一个，来，你 一个，你一个。 你写第一个好不好？就 写这边，你写四号真好学生写 师：好了没？我们一起来看一下，重新看一 下四号，可不可以？一号， X+50=200 ，对吗？ 都写对的举手，手放下，真好。哎，那我问 一问，这里的二号和三号可不可以列出方 程？ 师：其实呀，这里的三号也是可以列出方程 的，

15、只不过它不是我们小学阶段要研究的方 程，二我们小学阶段只研究在未知数和 数之间建立等量关系所形成的方程。明白了 吗？真好 师：好，刚刚我们已经认识了方程，下面如 果让你们找一找方程。行不行？老师这儿给 大家带来了 8 个式子，那这 8 个式子当中哪 些是方程呢？哪些不是呢？想试试吗？ 想 一起来看啊 师：可是很遗憾的是，一不小心啊，有两个 式子上面被滴了一滴墨水，现在有点儿看不 大清楚了，至于说那墨水的背后到底是 数还是未知数张老师已经记不得了。 孩子们， 这 8 道式子里有方程吗？有 师：俩问题，一、哪几个是方程，哪几个不 是。二、为什么他们不是方程。好不好？还 是老规矩，前后四个人商量商量

16、，说说你的 看法。学生讨论 师：好了，这样，把最有把握的说出来，好 不好？来，从前往后，几号是方程？ 1 号 然后呢？ 4 号然后呢？ 5 号还有？也 就是 7 号有争议，有争议就先放下来， 师：未知数和数都没有建立等量关系， 没有等量关系能算方程吗？谁有争议？ 7 号 有争议？为什么 7 号有争议？ 生：7 号如果把墨水揭开以后像 2 号一样是 一个整数的话这不是未知数的话，那么它就 不是一个方程，那如果是 X 或一个未知数的 话它就是方程 师：如果是一个未知数的话是有可能还是一 定是方程？一定把掌声送给这位姑娘， 分析问题非常的精辟。 8 号有争议吗？没 有 8 号不是也有一个墨迹吗？说说

17、什么原 因？ 生：没有未知数 师：要不要揭开看看？ 生；不要 师：揭开来也没用，如果是一个未知数为什 么也不行呢？ 生：没有等量关系 师：没有等量关系都不行吗？是不是？那现 在谁能用一句话来说说什么是方程？说出来 让我听听？ 生：在数与未知数之间建立等量关系 师：建立的等量关系式我们就把它叫做方 程？好了，既然是这样的话，那行，张老师 给大家带来一些图，这些图都藏着等量关系 式，你能根据隐藏的等量关系式列出方程吗？能有信心吗？有第一个，准备 举手就可以了 生： X+50=100 师：再自然不过了，左边 X+50 ，右边 100. 等量关系有没有？有 5 个同样的球，一 起说6X=50丨还6X，

18、几X ? 5X丨对， 左边是5X，右边是50，有没有建立等量关 系？有真好！挑战一下好不好？非常简 单，谁来？生： 80+X=200师： 80+X=200 可以吗？可以倒过来， X+80=200 可以吗？ 可以 这样似乎同样的 问题可以留出不同的方程，对不对？想试试 吗？这样行，张老师真的要出难题了，注意 观察，线段图能列出方程吗？记住我们前面 的约定，想不想在小组里试一试？我们来比 一比，那个小组思路最开阔，根据不同的等 量关系列出不同的方程，可不可以？来，三 人小组，赶快！学生讨论师：可以了吗？可以 师：我看到这一小组只有几个？ 2 个后 来一商量几个？ 4 个了不起！谁来一口 气都把它报

19、出来，我就佩服你。生： X+350=800,350+X=800,800-350=X 师：还有吗？好，他就找到这三个，别着急， 我先把这三个找出来，你们还有补充吗？生： 800-350=X师：找到没有，真好。 800-350=X ，都说附小 的孩子厉害，就这一幅图找到了几个方程？ 生：四个师：别蒙我，光找方程不稀奇，这里的方程 你根据什么等量关系列式的， 我就真佩服你， 第一个。这边时机比拟少，你来说 生：我是根据少年宫到第二个竖线的，他走了 X米师：也就是走了的米数 生：然后加上剩下的米数，总共是 800 米， 它们加起来就是 800 米 师：可不可以？ 生：可以 师：如果用标准的语言那等量关

20、系式就是： 用已走得米数 +还剩的米数 =总共的米数，可 不可以？ 生：可以 师：真好！第二个谁来说说？ 生：还剩的米数 +一走的米数 =800 师：可不可以？一起来： 也就是还剩的米数 + 已走得米数 =总共的米数， 可不可以？ 可以 真好！ 师：第三个，一起来。生：一共的米数 -已走得米数 =还剩的米数 师：有列出了一个独特的方程，最后一个？ 生：用一共的米数 -还剩的米数 =已走得米数 师：你们说了四个等量关系，不是蒙的，那 是正儿八经经过思考想出来的，不过我要考 考你们，在四个方程中有一个方程通常不用 的，你猜一猜是哪个方程？猜错了没有关系， 说说你的想法 生： 350+X=800 师

21、：觉得这个不太好？ 生： 800-X=350 师：为什么是这个？ 生：换成第四个是比拟好的 师：真好 生： 800-350=X 最适宜。师：为什么呀？ 生：我们通常不求未知数的，求数的。 师： 它们就有矛盾了， 一个说是求的数， 一个说是求未知数的，有意思 生：方程是未知数和数的等量关系，而 第四个是数与数的等量关系 师：哎，有点感觉了，据我了解，很多同学 觉得有一个方程学生认为特好，四号，你会 觉得方程特舒服，这个方程算起来好简单， 但是我站在这个小伙子这边告诉你，你们觉 得很好的方程是我们不常用的方程，你们感 觉不太好的方程恰恰是我们数学上的好方 程，你觉得心理上能接受吗？ 生：能！师：我

22、还担忧你不能接受呢，坦率的说，我 在小时候特不能接受，好端端的一个方程你 非得说它不行，不过不适应没关系，当我们 从计算进入到方程领域时我们会遇到新的规 那么， 许多新的思考方式， 今天不适应没关系， 随着方程的学习，相信同学们能适应的，有 信心吗？生：有，能适应！ 师：同一问题，我们能列出不同的方程，有 一个方程不太好先藏起来。那么，倒过来， 不同的问题有没有可能列出相同的方程？有 没有可能？有可能想试试吗？这个小伙 子特别严谨，说有可能，好！我们来看，准 备好，看谁最先列出这个方程，预备 生： 4X=320 师：并列第一名，确认确认 ，再来 生： 4X=320师：第三 孩子们已经充满期待 生： 4X=320师；三个方程一出， 大伙儿都笑了， 为什么？ 生：都一样的师：这三个问题一样吗？不一样第一个 卖书包，第二个开汽车，第三个比藏书，三 个不同的问题列出一样的方程，这是一个有 挑战性的问题，同桌互相商量一下 学生讨论师：为什么？生：把 320 分成 4 个等量的，我们不知道而 已 师：从一个不同的地方讲到骨子里的不同， 了不起 生 1：数据一样生 2：方程不是一个特定的单位，放在哪儿 都可以师：好样的