条件收敛与绝对收敛

1、第四节 条件收敛与绝对收敛对于任意项级数，我们已经给出了其收敛的一些判别方法，本节我们讨论任意项级数的其他性质 条件收敛与绝对收敛。定义10.5 对于级数，如果级数是收敛的，我们称级数绝对收敛。如果发散，但是收敛的, 我们称级数条件收敛。条件收敛的级数是存在的，如收敛级数可以看成是有限和的推广，但无限和包含有极限过程。并不是有限和的所有性质都为无限和所保持。大体说来，绝对收敛的级数保持了有限和的大多数性质，条件收敛的级数则在某些方面与有限和差异很大。下面我们讨论条件收敛与绝对收敛的性质。定理10.17 绝对收敛级数必为收敛级数，反之则不然.证明：设级数收敛，即收敛，由Cauchy收敛准则,对,

2、 存在N，当n>N时，对一切自然数p, 成立着 于是:再由Cauchy收敛准则知收敛。由级数可看出反之不成立。注：如果正项级数发散，不能推出级数发散。但如果使用Cauchy判别法或DAlembert判别法判定出发散，则级数必发散，这是因为利用Cauchy判别法或DAlembert判别法来判定一个正项级数为发散时，是根据这个级数的一般项|an|当时不趋于0，因此对级数而言，它的一般项也不趋于零，所以级数发散。例10.38 讨论级数的敛散性，如收敛指明是条件收敛或绝对收敛。解，当时,由于 所以级数发散.当时, 因为而收敛，所以原级数绝对收敛。当时,因unun+1=>=故un单调减少,

3、且由Leibniz判别法知 收敛，显然发散，所以当时级数条件收敛。前面已经指出，一个收敛级数（不论是绝对收敛或条件收敛），将其项任意加括号后，得到的新级数仍收敛，这个性质称为收敛级数满足结合律。下面我们讨论收敛级数的交换律。设是一个级数，将级数项任意交换顺序，得到的新级数记为，我们有下列定理:定理10.18 设级数绝对收敛，则重排的级数也是绝对收敛的，且其和不变。证明：先设是正项收敛的级数，此时有=M, 对m=1,2, 均成立即正项级数的部分和数列有界，从而收敛，且而正项级数也可看成是的重排, 从而也有所以=对一般项级数，设收敛记 un=, vn=, n=1,2,显然有 0, 0, 由比较判别

4、法知正项级数与均收敛。因而重排后的级数与也收敛，且有 =从而，级数=也收敛，即绝对收敛，且有 = =下面我们讨论条件收敛级数的重排:定理10.19（Riemann）设是条件收敛级数, 则(1) 对任意给定的一个，必存在的一个重排 使得=;(2) 存在的重排级数使 =(或)证明：记 un=, vn= n=1,2,显然, 都是正项级数，且有un=vn=0易证得和均发散（请读者自行证明）现考察序列 a1, a2, an, , (*)用pm表示数列(*)中第m个非负项，用Qm表示其中的第m个负项的绝对值。显然pm是un的子列，Qm是vn的子列，(pm为un中删去了一些等于零的项后剩下的数列)，因此 p

5、m=Qm=0 我们依次考察p1,p2,中的各项，设为其中第一个满足以下条件的项p1+p2+>再依次考察Q1,Q2中的各项，设是其中第一个满足以下条件的项。 p1+p2+Q1Q2<再依次考察 +中的各项，设是其中第一个满足以下条件的项。p1+p2+Q1Q2+>照此下去，我们得到的一个重排如下 p1+p2+Q1Q2+再分别用Rk与Lk表示级数的末项为的部分和与末项为的部分和，则有 |Rk|, k=2,3,否则与的选取有矛盾。同理有|Lk|, k=1,2,3,因为 =0 Rk=Lk=因为级数的任一部分和必介于某一对Lk与Rk之间，所以也应有 =即 =（2）首先，任意选取一个严格单调

6、上升并趋于+的实数，列k（例如, 可选k =k,k=1,2,）. 其次，用pk表示序列中的第k个非负项，用Qk表示序列的第k个负项，设pm是p1,p2,中第一个满足以下条件的项 p1+p2+>1设是Q1,Q2 ,中第一个满足以下条件的项 p1+p2+Q1Q2<1再依次考察+中的各项,设是其中第一个满足以下条件的项 p1+Q1+>2再依次考察,中各项，设是其中第一个满足以下条件的项，p1+Q1+>2依次做下去，我们得到的一个重排, 这个重排级数满足条件 同样可以得到一个重排，使得下面我们考察两个级数的乘积。设与是两个级数,将()()定义为下列所有项的和 由于级数运算一般不

7、满足交换律与结合律。所以这无穷多项如何排序是我们需要考虑的一个问题。事实上，上述无穷多项有很多的排序方式，下面我们介绍两种最常用的排序方式对角线排序法和正方形排序法。定义10.6 a1b1 a1b2 a1b3 a1b4 a2b1 a2b2 a2b3 a2b4 a3b1 a3b2 a3b3 a3b4 a4b1 a4b2 a4b3 a4b4 令c1= a1b1, c2= a1b2+ a2b1, c3= a1b3+ a2b2+ a3b1, cn= a1bn+a2bn-1+anb1 我们称=a1bn+a2bn-1+anb1)为级数与的Cauchy乘积。a1b1 a1b2 a1b3 a1b4 a2b1

8、a2b2 a2b3 a2b4 a3b1 a3b2 a3b3 a3b4 a4b1 a4b2 a4b3 a4b4 令 d1= a1b1, d2= a1b2+ a2b2+ a2b1dn= a1bn+ a2bn+ anbn+ anbn-1+ anb1则级数称为级数与按正方形排列所得的乘积. 定理10.20 如果级数与均收敛，则按正方形排序所得的乘积级数总是收敛的，且=证明：因为sn=a1bk+ a2bk + akbk +a2bk-1+akb1) =()() =其中与分别为与的部分和， 当记=,=时，有=所以级数收敛，且=()().但是两个收敛级数的Cauchy乘积却不一定是收敛的。例如 =与=这两个级

9、数显然都是收敛，但它们的Cauchy乘积的一般项为 cn=(1)n+1显然 =从而 >所以 故发散.定理10.21 如果级数与都绝对收敛，则它们的Cauchy乘积和正方形排列所得的乘积都是绝对收敛的，且=()()证明: 设sn=a1bk +a2bk-1+akb1| ()() ()()由正项级数的部分和数列有界知收敛，又因为绝对收敛级数有交换律和结合律。 同理可证，绝对收敛所以=()().我们可以将上定理的条件适当放宽定理10.22（Mertens）设级数绝对收敛，级数收敛，记=A, =B则它们的Cauchy乘积也收敛, 且=AB证明: 记An=, Bn=cn=(a1bn +a2bn-1+

10、anb1)前n项部分和sn=a1bk +a2bk-1+akb1)= a1Bn +a2Bn-1+anB1当令=BBn 时, (n=1,2,)sn= a1Bn +a2Bn-1+anB1= a1(B)+a2(B)+an(B)= A nB(a1 +a2+an)= A nBRn下面我们估计 Rn = a1+a2+an因为序列趋于0，可设 |M, N取k充分大使 |<这里D>再取m充分大，使 <,于是当N充分大时，对上面取定的m有|Rn|(|a1|+|am|)+(|am+1|+|an|) <D+M=所以 =0从而 . 证毕.定理10.23（Abel定理）设级数与都收敛，且=A, =B, 是它们的Cauchy乘积，如果收敛，其和为c，则必有cB证明：在数列极限理论中，我们已经证明如 =A, =B, =c, 则 当记时，有所