两条直线的位置关系；点到直线的距离

1、.两条直线的位置关系；点到直线的间隔 一.教材分析：1.本节教材在本章中的地位和作用：本章内容作为高中数学中仅有的两章解析几何知识的第一章，是属于解析几何学的根底知识，不但是进一步学习圆锥曲线以及其他曲线方程的根底，也是学习导数，微分、积分等的根底，在解决许多实际问题中有着广泛的应用，而本节教材是本章教材三大部分的第一部分中的重要内容，是本章环环紧扣的知识链中必不可少的一环。这节课“点到直线的间隔 是本节教材“两直线的位置关系的最后一个内容，在解决实际生活问题中以及代数、解析几何、立体几何中都有着重要而广泛的应用。例如：求最小值问题，对一些新知识新概念的定义，建立方程的问题等等，立竿见影，运用

2、点到直线的间隔 公式都可以简便迅速地解决问题，还可使学生形成完好的直线这部分知识的构造体系。2、本节内容的详细安排及编写思路：出于简洁性的考虑，教材编写单刀直入地直接提出核心问题，并给予解决的方法。我编写本节教案时，通过创设问题情境引入课题，降低难度，教给学生从特殊到一般的研究问题的方法和策略，激发学生去解决问题，探究问题，得出结论。在这个过程中，老师作适当的点拨、引导，让学生逐步逼近目的，充分展示数学知识产生的思维过程，让学生均能自觉主动地参与进来。老师的主导作用，学生的主体地位都得以充分表达，然后让学生自己归纳、总结得出结论，享受成功的喜悦和快乐。对教材上的例10、例11，由于是直接应用点

3、到直线的间隔 公式，较易，故我让学生直接去阅读、去理解，熟悉点到直线的间隔 公式。但对例11的稍许变化，却抓住不放，通过例11的解法的启示，激发学生进一步去应用点到直线的间隔 公式去探究二平行直线间的间隔 公式，利用有限的时间和学生刚成功的那一股学习的惯性，对教材进展拓广，让学生对归纳总结出的公式有更加深化、透彻的理解和掌握，到达灵敏应用的目的。3.教学目的：1、使学生掌握点到直线的间隔 公式及构造特点，并能纯熟准确的应用这一公式，到达理解掌握知识的目的。2、学会寻找点到直线间隔 公式的思维过程及推导方法，培养学生发现问题、探究问题的才能。3、教学中表达数形结合、转化的数学思想，分类讨论的数学

4、思想，培养学生在研究讨论问题时的数学技能和实际动手才能以及思维的严密性。4、教学中鼓励同学互相讨论，取长补短，培养学生的合作意识和团队精神。4.重点、难点：理解和掌握点到直线的间隔 公式，纯熟的应用公式求点到直线的间隔 是本节学习的重点，难点是点到直线间隔 公式的推导。二.学情分析：我所在的学校四川省渠县中学，虽然是一个国家级重点中学，但同时又由于渠县是一个农业大县，一个国家级贫困县，80%以上的学生来自偏远的乡村及山区，教育理念和教育程度都较落后，学生在小学、初中阶段根本上都是在死记硬背、囫囵吞枣中渡过的，很少在数学上享受过真正意义上的研究问题、探究发现问题的乐趣，都习惯于跟着老师的思路走，

5、不擅长自己开动脑筋去研究问题、探究问题。鉴于此，我们在教学中正逐步采用探究式教学，引导学生自己理解、掌握知识，逐步培养和进步学生发现问题、探究问题的才能，以及合作意识和合作精神的目的。三.主要教学设想：通过创设问题情景自然引入课题，降低教材难度。主要由学生去探究，去发现，去讨论，去归纳总结得到公式，再辅以适当的例题、习题帮助学生熟悉公式，学会运用。特别是引导学生对例11的进一步探究，既拓广了教材，又进一步加深了同学们对从特殊到一般的研究方法的理解。从而到达探究讨论归纳总结完善结论结实掌握灵敏运用的目的。四.教学过程：1.创设问题情境：实例：某××局方案年底解决本地区最后一个

6、村庄的用电问题，经过测量，假设按部门内部设计的坐标图即以××局为直角坐标原点，正东方向为x轴的正半轴，正北方向为y轴的正半轴，长度单位为千米，得知这个村庄的坐标是15，20，离它最近的只有一条直线线路通过，其方程为：3x–4y–10=0,问要完成任务，至少需要多长的电线?如图41所示字幕出示题及图，让学生阅读、理解、考虑，约2分钟引入课题：师讲同学们，通过刚刚的读题和理解已经知道，这实际上是一个求点到直线的间隔 的问题，也即我们这节课所要研究讨论的问题。2.解决问题情境：师继续讲下面，请同学们应用已学过的知识，自己想一个方法来解决此问

7、题，甚至不一定要求结果，只要得出一个思路即可。让同学考虑、讨论约5分钟，然后让学生自己举手答复，老师点评，约10分钟学生可能的答复：答一拉一根绳子量一下即可。师问可以，但哪里去找那么长的绳子?还有其它方法吗?可能会有学生众补充：测距仪!测距仪!师肯定好方法!将来肯定是做工程师的材料!请坐下。师继续但假如由于条件的限制，我们手里仅有纸、笔及三角板或直尺，能不能发挥我们的数学特长，用所学数学知识来解决呢?可以肯定，被开方式是一个二次项系数为正的二次函数，x0又不受限制，应该有最小值，从而PQ有最小值，此最小值即为所求。师肯定好思路!既利用了直线方程设出了直线上的一点，又利用两点间的间隔 公式得到了

8、一个二次项系数为正的二次函数，且不管根号的影响，大着胆子求二次函数的最小值，求出的最小值开平方即得结果。但要考虑两个问题：求出的二次函数的最小值有无为负数的可能?此种方法的运算量是否偏大?同学们可利用课后时间试着推演一下。答三要求点P到直线上的点的最短间隔 ，即求点P到直线的间隔 ，由点到直线间隔 的概念，直接过点P作PQ垂直于直线于Q点，那么线段PQ的长即为所求。如图42所示Q的坐标，再由两点间的间隔 公式可得出：PQ=9师肯定好思路!直接运用了刚学过的直线的方程，二直线的交点，二直线垂直的条件，两点间的间隔 公式等知识，用到理解析几何的根本方法。在有数据做详细运算时不失为一种好方法，但仍有

9、一定的运算量。不信，同学们下来后又可验算一番。答四<可能预习过教材的同学>过P作PQ垂直于直线于Q点，那么PQ即为所求，再过点P分别作轴、轴的平行线分别交直线于M，N点如图43所示师肯定方法相当不错!既有数形结合的思想，构造的思想，又妙用理解析几何中坐标的概念，直线上的点的概念及两点间的间隔 公式等知识。但为什么如此做呢?老师分析、归纳：该做法充分运用了点P的坐标的意义，通过表达点P的坐标，发现过P作轴、轴的平行线时与直线有二交点，这二交点与点P自然而然地构成了一个直角三角形，又由于这二交点在直线上，从而可得二交点的坐标，再由两点间的间隔 公式可进一步得到直角三角形

10、的三条边长，至此，由直角三角形面积公式得到点P到直线的间隔 |PQ|也就是水到渠成的事情了。但仍显得有一定的运算量。假如学生还有其它解法，老师可在黑板上随机应变地板书。假如学生一个方法均未想到，老师可作如下引导：<字幕逐条显示，图形中的线段依顺序逐一显示> 什么是点P到直线的间隔 ?过P作直线的垂线，垂足为Q，那么|PQ|即是点P到直线的间隔 。如图44所示 点P的坐标的意义如何?过P分别作轴、轴的垂线，垂足分别为K、I，那么有向线段KP、IP的数量即为点P的坐标。 表达一下点P的坐标如何?发现，过P作轴的垂线时，与直线有一交点N，且N点的横坐标与点P的横坐标一致，

11、而N点在直线上，从而由直线的方程可得N点的纵坐标，进而得线段PN的长。受此启发，过P作轴的垂线PI时，由于与直线无交点，故作PI的反向延长线与直线交于点M，从而点M的纵坐标与点P的纵坐标一致，且横坐标通过直线的方程也易求得，线段PM的长也就求得了。眼前一亮，直角三角形MPN已浑然天成，且MN的长也可由两点间间隔 公式求得，从而由直角三角形面积公式可求得|PQ|的长。3.点到直线间隔 公式的推导：15分钟师讲通过前面答二、答三、答四，我们都遇到了同一个拦路虎，即运算量较大的问题，而我们今后将会遇到大量的类似问题，假如都如此运算，未免太浪费珍贵的时间。此时此刻，我们多么需要有一个简便的运算点到直线

12、的间隔 的公式来挽救我们!下面，就让我们去探究这个公式吧，用我们今天的辛苦去换取我们明天的简捷吧!暗示公式的存在，激发同学们探究的兴趣，增强同学们探究成功的信心。出示问题在平面直角坐标系中，假如某点P的的坐标为,直线的方程是Ax+By+C=0,如下图，怎样由点的坐标和直线的方程去直接求点P到直线的间隔 ?师讲下面，仍然请同学们自己想方法解决此问题。可以让前面一排的同学转过去与后面的同学每四个人一组进展讨论解决。老师到同学们中间去巡视，理解同学们的思路，及时的加以点拨，同时也对同学们的探究方法和探究才能做到心中有数。老师估计由于有前面的答二、答三、答四或老师的引导作铺垫，这个铺垫非常重要!故前面

13、占用了较多的时间也不可惜!故大多数同学可能会按答四的方法做：<老师可以作预见性的字幕板书，在大多数同学完成后再出示。如有同学按答三的思路做，老师提示，运算量太大，一般不采用。>过点P作轴的平行线，交于点R;作轴的平行线，交于点S。如图45所示此时，可能同学们会大舒一口气，但老师紧接着进一步提出：“诸位，考虑到A,B为零的情况没有?请进一步考虑一下A,B为零的情况如何?<抓住同学们思维不慎密之处，表达严密的逻辑思维，表达分类讨论的思想>同学们的思维可能又重新活泼起来，进展分类讨论：我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能

14、识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。为什么在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在1978年就锋利地提出:“中小学语文教学效果差,中学语文毕业生语文程度低,十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时间,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数不过关,岂非咄咄怪事!寻根究底,其主要原因就是腹中无物。特别是写议论文,初中程度以上的学生都知道议论文的“三要素是论点、论据、论证,也通晓议论文的根本构造:提出问题分析问题解决问题,但真正动起笔来就犯难

15、了。知道“是这样,就是讲不出“为什么。根本原因还是无“米下“锅。于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来,抄人家的名言警句,抄人家的事例,不参考作文书就很难写出像样的文章。所以,词汇贫乏、内容空洞、千篇一律便成了中学生作文的通病。要解决这个问题,不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫,必须认识到“死记硬背的重要性,让学生积累足够的“米。要练说，得练听。听是说的前提，听得准确，才有条件正确模拟，才能不断地掌握高一级程度的语言。我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的才能，课堂上，我特别重视老师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，上下起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。当我发现有的幼儿不专心听别人发言时，就随时表扬那些静听的幼儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们专心听，用心记。平时我还通过各种兴趣活动，培养幼儿边听边记，边听边想，边听边说的才能，如听词对词，听词句说意思，听句子辩正误，听故事讲述故事，听谜语猜谜底，听智力故事，动脑筋，出主意，听儿歌上