人教版同步教参数学九年级上册-圆：圆的概念和性质

1、圆第1节圆的概念与性质【知识梳理】1、圆的定义，有两种方式：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点 。旋转一周，一个端点A随之旋转说形成的图形叫做圆。固定端点 。叫做圆心，以。为圆心的圆记作eO,线段OA叫做半径;圆是到定点的距离等于定长的点的集合。注意：圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小。2、与圆有关的概念:弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如图 1所示线段AB, BG AC都是弦；直径：经过圆心的弦叫做直径；如 AC是eO的直径，直径是圆中最长的弦；弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线BC,BAC都是e O中的弧，分别记作?C和?AC ；半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆

2、成两条弧，每条弧都叫做半圆，如Ac是半圆；劣弧和优弧：像 Bc这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧，像？AC这样大于半圆周的圆弧叫做优弧；同心圆：圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆；弓形：由弦及其说对的弧所组成的图形叫做弓形；等圆和等弧：能够重合的两个圆叫做等圆，在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧；圆心角：定点在圆心的角叫做圆心角如图1中的 AOB, BOC是圆心角，圆心角的度数：圆心角的读书等于它所对弧的度数；圆周角：定点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角；如图 1中的 BAC, ACBtB是 圆周角。3、圆的有关性质圆的对称性圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条。圆是中心对称图

3、形，圆心是对称中心，优势旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合。垂径定理A垂直于弦的直径平分这条弦，且评分弦所对的两条弧；B平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且评分弦所对的两条弧。如图2所示【诊断自测】1 .圆上的各点到圆心的距离都等于 ;在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在 .因此，圆是在一个平面内，所有到一个 的距离等于 的 组成的图形.要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是,另一个是,其中，确定圆的位置， 确定圆的大小.2 .连结 的 叫做弦.经过 的 叫做直径,并且直径是同一圆中 的弦.3 .圆上 的部分叫做圆弧，简称 ,以A, B为端点的弧记作 ,读作 或.在一个圆中 叫做

4、优弧； 叫做劣弧.4 .垂直于弦的直径的性质定理是 .在同 圆或等圆中，两个圆心角及它们所对的两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么5 .在同一圆中，一条弧所对的圆周角等于其所对圆心角的 .6 .在同圆或等圆中， 所对的圆周角 .7 . 所对的圆周角是直角. 90。的圆周角 是直径.8 .圆是 对称图形，它的对称轴是 ;圆又是 对称图形,它的对称中心是.【考点突破】类型一：与圆有关概念及性质例1、下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称图形的有 （）(B) 2 个(C) 3 个（口 4个（A） 1 个答案：B11解析：根据中心对称的概念对各图形分析判断即可得解.解答：解：第

5、一个图形是中心对称图形，第二个图形不是中心对称图形，第三个图形是中心对称图形，第四个图形不是中心对称图形，所以，中心对称图有 2个.故选：B.OE：OC 3：5,求弦类型二：垂径定理及其应用例2、如图，在。中，CD是直径，弦 AB C口垂足为 E, CD=15AB和AC的长.答案：AB=6 AC= 3 5解析：连结 OA CD=15 OA=Oc7.5, OE=4.5, CE=3AEOA2 OE27.5 2 4.52 6AB 2AE 12, AC . AE2 CE262 32 3万例3、如图，AB是。的直径，弦CD AB，CDB 30，CD 2,则阴影部分的面积A. 2 B.C. 3 D. 3答

6、案：D解析：在弓形CBD中，被EB分开的上面空白部分和下面的阴影部分的面积是相等的，所以阴影部分的面积之和转化到扇形CO眯求例4、CD是。的一条弦，作直径 AB,使ABCDD垂足为 E,若AB= 10, CD- 8,则BE的长是()A.8B.2C.2或 8D.3 或 7答案：C解析：如图(1),(1)(2) .AB= 10.OA= OC= OB= 5,.直径 AB, AB CD.CE= ED . CD- 8,CE= 4连结 OC 在 RtACOE,由勾股定理得，OE= -OC2 CE2 . 52 42 3 .OB= 5.1. BE= 53=2. BE= 2如图(2), . AB= 10, OA

7、= OC= OB= .5 .直径 AB , AB CD.CE= ED . CD- 8, CE= 4连结 OC 在 RtACOE,由勾股定理得，OE= OC2 CE252 42 3 .OB= 5.1. BE= OE+OB= 3+5= 8故选C例5、如图，。的直径AB的长为10,弦AC的长为5, /ACB的平分线交。O于点D.(1)求弧BC的长;(2)求弦BD的长.120510答案：弧BC的长为 1803.2. 2AB 10 5. 2BD= 22解析：(1)连接OC. AB为。的直径，ACB4 ADB=90在 Rt ABC中,AC 51 cos / BAC=AB 102 , .-.z BAC=60

8、 , ./BOC=ZBAC =120 .1205 10 弧BC的长为1803 .连接 OD：分/ ACB / ACDhBCD, / AODh BOD.AD=BQ ./ BAD=/ ABD=45 . AB 10 5. 2在 RtMBD中,BD= 22.类型三：圆周角定理例 6、如图，O O直径 AB= 8,/CBD= 30 ,则 CD=/ A= 50 , / B=30 ,则/ADC勺度数为A第10题答案：4解析：连接OG OD . / CBD= 30 / COD 60,.OC= OD . CO渥等边三角形.CD= OC= OB= 4例7、如图，点A, B, C在O O上，COW延长线交 AB于点

9、D,答案：110ADC之 B+/ BOD=30 + 80解析：/ A=50 , .BOC=10O , . BOD=80 ,，乙=110其长度分别为52和5石，例8、在半径为5的圆中，AB为直径，AC和AD为圆的两条弦, 求/ CAD的度数。答案：/ CAD=15或者75解析：本题要根据条件画出图形。如图:（点C不与A，B重合），C连结CB BD.AB为直径,ACB = / ADB =90图 1 中，在 RtABC中,AC=5J2,皿 / AC 2AB=10,贝U cos/CAB= ab=2同理在 RtADB中，/ DAB= 30 . ./ CAD=45 - 30 = 15同样根据图2,我们可得

10、：/CADN5。+30 = 75故答案为/ CAD=15或者75例9、如图， ABC是。的内接三角形，点C是优弧AB上一点设 OAB , Co（1）当 35时，求的度数；（2）猜想与之间的关系，并给予证明.答案：（1）55一；（2）90解析：（1）解：连结OB ,则0A OB ,OBA OAB 35oAOB 180oOAB OBA 110o1 oC AOB 55o2（2）答： 与之间的关系是90 o.证一：连结OB,则0A OBOBA OABAOB 180o 211ooC AOB -(180 2 ) 90 2290 0证二：连结OB,则OA OB .AOB 2 C 2过。作OD AB于点D ,

11、则OD平分AOB八1 八AOD AOB2在 RtzXAOD 中， OAD AOD 900,90 0例10、已知：如图 AB为。O的直径，点 C D在O O,且BC= 6cmi AC= 8cm, / ABD= 45o. ( 1)求BD的长；(2)求图中阴影部分的面积.答案： BD=5y2cm S 阴影=25 7t4 50cm2.解：(1) .AB为。的直径，ACB= 900. BC= 6是cm, AC= 8cm, . . AB= 10cm. . . OB= 5cm.连 ODOD= OB,，/ODB= /ABD= 4广o. . . / BOD= 900. . . BD= OBa OD2= 572c

12、m.(2) S 阴影=黑兀 52-1X 5X 5= 257t 50 cm236024【易错精选】1、判断题(1)直径是弦(2)弦是直径(3)半圆是弧弧是半圆(5)长度相等的两条弧是等弧(6)等弧的长度相等两个劣弧之和等于半圆(8)半径相等的两个圆是等圆(9)两个半圆是等弧(10)圆的半径是R,则弦长的取值范围是大于 0且不大于2R2、在圆柱形油槽内装有一些油.截面如图所示，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽度为8分米，圆柱形油槽直径 MN为()A. 6分米C. 10分米.12分米3、A.B如图，eO是ABC的外接圆,BAC60，若e 0的半径OC为2,则弦BC的

13、长2.31B4、如图,ABC内接于eO, ABBCABC 120,AD 为 e O 的直径 AD 6那么BD5、小英家的圆镜子被打破了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（的一块碎片）C . 22D , 3【精华提炼】遇到求角度问题：思路：同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等或同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的遇到求线段长度问题：思路：利用垂径定理构造直角三角形，利用勾股定进行求解【本节训练】训练【1】下列命题中，错误的是（）A.圆是轴对称图形B.圆是中心对称图形C.过三点一定确定一个圆D. 一个三角形只能确定一个外接圆则 AO

14、D训练【2】如图，AB是OO的直径，点C、D在OO上，BOC 110 , AD / OC ,AB训练【3】如图，AB为eO的直径，CD为弦，AB CD，如果BOC 70，那么A的大小为（）A. 700B ,350 c , 300 D . 20训练【4】一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（）基础巩固1 .在。中，若圆心角/ AOB=100 , C是4月上一点，则/ AC睹于（）A. 80 B, 100C. 130D. 1402 .在圆中，弦 AB, CD相交于 E.若/ ADC=46 , / BCD=33 ,则/ DE睹

15、于（）A. 13 B, 79 C. 38.5 D. 1013 .如图，AC是。的直径，弦 AB/ CD若/ BAC=32 ,则/ AO*于（）.15A.64 B. 48 C. 32 D. 764.如图，O O的半径OC为6cm,弦AB垂直平分 OC则AB=cm / AOB=B5.如图，AB为。O的弦，/ AOB=90 , AB=a,则 OA=O点到AB的距离=6.已知：如图， A、B、C、D在OO, AB=CD 求证：/ AOCW DOB7.8.已知：如图， ABC内接于。O, BC=12cm Z A=60 .求。O的直径.已知：如图， AB是。O的直径，弦 CDAB于E, / ACD=30

16、, AE=2cm 求DB长.9 .已知：如图，O O的直径 AE=10cm Z B=Z EAC求AC的长.10 .已知：如图，AB为。的直径，C, D为。上的两点，且C为AD的中点，若/ BAD=20 , 求/ ACO的度数.巅峰突破1、已知：如图，A, B是半圆。上的两点，CD是。的直径，/ AOD=80 , B是他 的中点.在CD上求作一点 巳 使得 AP+ PB最短；(2)若CD=4crp求 AP+ PB的最小值.2、如图，有一圆弧形的拱桥，桥下水面宽度为 7.2m,拱顶高出水面2.4m,现有一竹排运送 一货箱从桥下经过，已知货箱长 10nl宽3m,高2m（竹排与水面持平）.问：该货箱能

17、否顺利通过该桥？3、如图，O。中，直径AB=15cm有一条长为9cm的动弦CD在加上滑动（点C与A,点 与B不重合）,C。CDX AB于F, D已CD交AB于E.求证：AE=BF（2）在动弦CD滑动的过程中，四边形CDE用勺面积是否为定值？若是定值，请给出证明并求这 个定值；若不是，请说明理由.4、已知：如图， ABC内接于。O, AMFF分/ BAC交。于点 M AD，BC于D.求证：/ MAO= /MADM5、已知：如图，AB是。的直径，CD为弦，且 AB CD于E, F为DC延长线上一点，连结AF交。于 M 求证：/ AMD=FMC参考答案【诊断自测】1、半径；圆上；定点；定长；点；圆心

18、；半径；圆心；半径2、圆上任意两点；线段；圆心；弦；最长3、任意两点；弧；AB;圆弧AB;弧AB大雨半径的弧；小于半径的弧4、垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；其他量都相等5、一半6、同弧或等弧；相等7、直径；所对的弦8、轴；直径所在直线；中心；圆心【易错精选】1、对错对错错、对错对错对2、C3、D4、3.35、B【本节训练】1、C2、403、B4、D【基础巩固】1、C2、B3、A 4、63;120 5、 6、略7、8,38、4.3 9、5 . 2 10、55巅峰突破1、(1)作BB _CD,交圆于B,然后连接AB,交CD于P点，P就是所求的点;t鸾】延长圆于风连接65加帛.说厂占D才“且OR二刖*,。是学的中点.jLz二1川加二町 M 2=ir 1f及 ,二/启二、戚 乜4门以二1口益.2；7E是国的直径,叫直角-也即中r=l-411x4=2 r& i=必胖-心=116-4=标，#2、如图r连接ON r 03 .VOCXAB fj.D为AB中点,7,AB=7.2in rhYb=3万m .25Z.,. CD = 2.4m fi50B=0C=0N=r r 财OD= C r-2.4 ) m .在Rt-BOD中r根据勾股定理得；d= (r-2,4产+