弹簧类问题的求解

1、i弹簧类问题的求解由于涉及到的弹簧弹力是变力，学生往往对弹力大小和方向的变化过程缺乏清晰的分 析，不能建立与之相关的物理模型，导致解题思路不清、效率低下，错误率较高。下面我们 归纳六类问题探求解法。一、“轻弹簧”类问题在中学阶段，凡涉及的弹簧都不考虑其质量，称之为"轻弹簧"，是一种常见的理想化物理模型。由于“轻弹簧”质量不计，选取任意小段弹簧分析，其两端所受张力一定平衡，否 则，这小段弹簧的加速度会无限大。故：轻质弹簧中各部分间的张力处处相等，均等于弹簧两端的受力。弹簧一端受力为 F,另一端受力一定也为 F。若是弹簧秤，则弹簧秤示数为 F。例1、如图所示，一个弹簧秤放在光滑

2、的水平面上，外壳质量m不能忽略，弹簧及挂钩质量不计，施加水平方向的力Fi、F2,且Fl>F2则弹点簧秤沿水平方向的加速度为 ,弹簧秤的读数 飞 嬴荷分析与解 以整个弹簧秤为研究对象：利用牛顿运动定律Fi F2F1 F2 maa m仅以轻质弹簧为研究对象：则弹簧两端的受力都是Fi,所以弹簧秤的读数为 Fi说明F2作用在弹簧秤外壳上，并没有作用在弹簧左端，弹簧左端的受力是由外壳内侧 提供的。二、弹簧弹力瞬时问题因弹簧（尤其是软质弹簧）其形变发生改变过程需要一段时间，在瞬间内形变量可以认为不变。因此，在分析瞬时变化时，可以认为弹力大小和方向不变，即弹簧的弹力瞬间不突 变。例2、如图所示，木块

3、A与B用一轻弹簧相连，竖直放在木块C上，三者静置于地面，A、B、C的质量之比是1 ： 2 ： 3.设所有接触面都光滑，当沿水平方向迅速抽出木块C的瞬时，木块 A和B的加速度分别是aA=, aB=分析与解 由题意可设A、B、C的质量分别为 m、2m、3m以木块A为研究对象，抽出木块 C前，木块A受到重力和弹力一对平衡力，抽出木块 C的瞬时，木块 A受到重力和弹力的大小和方向均没变，故木块 A的 瞬时加速度为0以木块AB为研究对象，由平衡条件可知，木块C对木块B的作用力FcB=3mg以木块B为研究对象，木块 B受到重力、弹力和 Fcb三力平衡，抽出木块 C的瞬时， 木块B受到重力和弹力的大小和方向

4、均没变， Fcb瞬时变为0,故木块C的瞬时合外力为竖 直向下的3mg。瞬时加速度为1.5g说明 区别不可伸长的轻质绳中张力瞬间可以突变 三、弹簧长度的变化问题设劲度系数为k的弹簧受到压力为一F i时压缩量为一x i,弹簧受到拉力为F 2时伸长 量为x 2,此时的“”号表示压缩的含义。若弹簧受力由压力F1变为拉力F 2,弹簧长由胡克定律有:F i = k (x 1)度将由压缩量X 1变为伸长量为X 2 ,长度增加量为X 1 + X 2F 2 = k x 2.Fi(F2)=kxi(X2) 即： F = kZx表示的物理含义加 簧 “ 弹EWWV10;。M H 变2) gm说明弹簧受力的变化与弹簧长

5、度的变化也同样遵循胡克定律，此时x是弹簧长度的改变量，并不是形变量。例3、如图所示，劲度系数为 ki的轻质弹簧两端分别与质量为 mi、 m2的物块1、2拴接，劲度系数为k2的轻质弹簧上端与物块 2拴接，下端 压在桌面上(不拴接)，整个系统处于平衡状态.现施力将物块1缓慢地竖 直上提，直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面 .在此过程中，物块2的重力 势能增加了 ,物块1的重力势能增加了 .分析与解 由题意可知：弹簧k 2长度的增加量就是物块2的高度增 加量，弹簧k 2长度的增加量与弹簧k 1长度的增加量之和就是物块1的高 度增加量，由物体的受力平衡可知：弹簧k2的弹力将由原来的压力(m 1 +m 2

6、)k i的弹力将由原来的压力m ig变为拉力m 2 g,弹力改变量也为(m i +所以1、2弹簧的伸长量分别为(m1+m2)g和(m1+m2)gk,k2故物块2的重力势能增加了 一 m2 (m1+m2)g2, k2物块1的重力势能增加了( 工工)m1 (m1+m2)g2k1 k2四、弹力变化的运动过程分析弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力， 当题目中出现弹簧时， 要注意弹力的 大小与方向时刻要与当时的形变相对应。 在题目中一般应从弹簧的形变分析入手， 先确定弹 簧原长位置、现长位置及临界位置， 找出形变量x与物体空间位置变化的几何关系， 分析形 变所对应的弹力大小、方向，弹性势能也是与

7、原长位置对应的形变量相关。 以此来分析计算 物体运动状态的可能变化结合弹簧振子的简谐运动， 分析涉及到弹簧物体的变加速度运动， 往往能达到事半功倍 的效果。此时要先确定物体运动的平衡位置， 区别物体的原长位置， 进一步确定物体运动为 简谐运动。结合与平衡位置对应的回复力、加速度、速度的变化规律， 则很容易分析物体的 运动过程例4、如图所示，质量为 m的物体A用一轻弹簧与下方地面上质量也为 m的物体B相连，开始时A和B均处于静止状态，此时弹簧压缩量为xo, 一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮， 一端连接物体 A、另一端C握在手中， 各段绳均处于刚好伸直状态，A上方的一段绳子沿竖直方向且足够长。现在C端

8、施水平恒力F而使A从静止开始向上运动。(整个过 程弹簧始终处在弹性限度以内)(1)如果在C端所施恒力大小为 3mg ,则在B物块刚要离开地 面时A的速度为多大？(2)若将B的质量增加到2m,为了保证运动中 B始终不离开 地面，则F最大不超过多少？分析与解由题意可知：弹簧开始的压缩量Xomg在B物块刚要离开地面时弹簧的伸长量也是X0 mgk(1)若F=3mg,在弹簧伸长到xo时，B开始离开地面, 等，F所做的功等于A增加的动能及重力势能的和。即此时弹簧弹性势能与施力前相1 _ 2F 2x0 mg 2x0 - mv可解得:V 2 2gXo(2)所施力为恒力F0时，物体B不离开地面，类比竖直弹簧振子

9、，物体A在竖直方向上除了受变化的弹力外，再受到恒定的重力和拉力。故物体 A做简谐运动。在最低点：F0 mg+kx 0=mai式中k为弹簧劲度系数，ai为在最低点A的加速度。在最高点，B恰好不离开地面，此时弹簧被拉伸，伸长量为2x0,则：K (2x0) +mg F0=ma2考虑到：kx0=mg简谐运动在上、下振幅处ai=a2,口 3mg解得：F0=2也可以利用简谐运动的平衡位置求恒定拉力F0。物体A做简谐运动的最低点压缩量为x。，最高点伸长量为 2x0,则上下运动中点为平衡位置，即伸长量为&所在处。2由： mg k F0解得：F0=-mg说明 区别原长位置与平衡位置。与原长位置对应的形变

10、量与弹力大小、方向、弹性势 能相关；与平衡位置对应的位移量与回复大小、方向、速度、加速度相关。五、与弹簧相关的临界问题通过弹簧相联系的物体，在运动过程中经常涉及到一些临界极值问题： 如物体速度达到 最大；弹簧形变量达到最大时两物体速度达到相同； 使物体恰好要离开地面；相互接触的物 体恰好要脱离等等。此类题的解题关键是利用好临界条件，得到解题有用的物理量和结论例5、如图所示，A、B两木块叠放在竖直轻弹簧上，已知木块A、B质量分别为0.42 kg和0.40 kg,弹簧的劲度系数 k=100 N/m ,若在木块 A上作用一个竖直向 上的力F,使A由静止开始以 0.5 m/s2的加速度竖直向上做匀加速

11、运动 (g=10 m/s2).(1)使木块A竖直做匀加速运动的过程中，力F的最大值；(2)若木块由静止开始做匀加速运动，直到A、B分离的过程中，弹簧的弹性势能减少了0.248 J,求这一过程F对木块做的功。分析与解确定两物体分离的临界点，即N =0时，恰好分离.此题难点和失分点在于能否通过对此物理过程的分析后, 当弹簧作用下的两物体加速度、速度相同且相互作用的弹力x,当F=0 (即不加竖直向上 F力时)，设A、B叠放在弹簧上处于平衡时弹簧的压缩量为kx=(mA+mB)g 即(mA+mB)g x对A施加F力，分析A、B受力如右图所示对 A F+N-m Ag=m Aa5对 B kx '-N

12、-m Bg=mBa'可知，当NW0时，AB有共同加速度a=a',由式知欲使 A匀加速运动，随N减小F增大.当N=0时，F取得了最大值Fm,即 Fm=m A (g+a)=4.41 N,mB(a+g)x'= B' 切 d k又当N=0时，A、B开始分离，由式知,此时，弹簧压缩量 kx'=mB(a+g)AB 共同速度v2 =2a(x-x')由题知，此过程弹性势能减少了Wp=Ep=0.248 J设F力功Wf,对这一过程应用功能原理12 .Wf=2( mA+mB)v +(mA+mB)g(x-x')-Ep可知，Wf=9.64X10-2 J联立，且注意

13、到 Ep=0.248 J六、弹力做功与弹性势能的变化问题弹簧弹力做功等于弹性势能的减少量。弹簧的弹力做功是变力做功，求解一般可以用以下四种方法：1、因该变力为线性变化，可以先求平均力，再用功的定义进行计算；2、利用Fx图线所包围的面积大小求解；3、用微元法计算每一小段位移做功， 再累加求和；4、据动能定理和能量转化和守恒定律求解。由于弹性势能仅与弹性形变量有关，弹性势能的公式高考中不作定量要求，因此，在求弹力做功或弹性势能的改变时，一般以能量的转化与守恒的角度来求解。特别是涉及到两个物理过程中的弹簧形变量相等时，往往弹性势能的改变可以抵消，或替代求解。例6、如图所示，挡板 P固定在足够高的水平

14、桌面上，小物块A和B大小可忽略，它们分别带为+qa和+Qb的电荷量，质量分别为m a和m b o两物块由绝缘的轻弹簧相连，一个不可伸长的轻绳跨过滑轮，一端与B连接，另一端连接轻质小钩。整个装置处于场强为E、方向水平向左的匀强电场中，A、B开始时静止，已知弹簧的劲度系数为k,不计一切摩擦及A、B间的库仑力，A、B所带电荷量保持不变，B不会碰到滑轮。M的物块C并由静止释放，可使物块 A对挡板P的压力恰C下降的最大距则当A刚离开挡(1)若在小钩上挂质量为 为零，但不会离开 P,求物块 离h(2)若C的质量为2M, 板P时，B的速度多大？分析与解通过物理过程的分析可知：当A刚离开挡板P时，弹力恰好与A所受电场力平衡，弹簧伸长量一定，前后两次改变物块C质量，在第2问对应的物理过程中，弹簧长度的变化及弹性势能的改变相同，可以替代求解。设开始时弹簧压缩量为 xi由平衡条件：kxi EQb可得x1 -EQbk设当A刚离开档板时弹簧的伸长量为x2 :由：kx2 EQa可得x2 -EQak故C下降的最大距离为：h x1 x2由一式可解得h E(QB QA)k(2)由能量转化守恒定律可知：C下落h过程中，C重力